數(shù)學(xué)例題與探究：向量的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1用向量法證明平行四邊形兩對角線的平方和等于四條邊的平方和.思路分析：考查應(yīng)用向量解決幾何問題。把平行四邊形的邊和對角線的長看成向量的長度，轉(zhuǎn)化為證明向量長度之間的關(guān)系.基向量法和坐標(biāo)法均可解決.解：已知：四邊形ABCD是平行四邊形,求證:｜|2+||2=2|｜2+2|｜2。證法一:如圖2—4-1所示,設(shè)=a，=圖2∴=a+b,=b-a.∴｜|2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，|｜2=(b-a)2=a2-2a·b+b2?！啵鼃2+｜|2=2a2+2b2.又∵2|｜2+2｜｜2=2a2+2b2，∴||2+||2=2|｜2+2｜|2,即平行四邊形兩對角線的平方和等于四條邊的平方和。證法二：如圖2—圖2設(shè)A(0，0）、D(a,b）、B(c，0)，∴==（c，0）+(a，b)=（a+c，b),==（a,b）-（c,0)=（a-c，b).∴|｜2=(c+a)2+b2，｜|2=（a—c）2+b2?！鄚|2+｜|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|｜2+2｜｜2=2｜|2+2|｜2=2a2+2c2+2b2，∴|｜2+||2=2|｜2+2|｜2，即平行四邊形兩對角線的平方和等于四條邊的平方和。綠色通道：（1）向量法解決幾何問題的步驟：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算（有基向量法和坐標(biāo)法兩種），研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.這是用向量法解決平面幾何問題的“三步曲"，又簡稱為：一建二算三譯;也可說成為:撿便宜（建算譯）。（2）平面幾何經(jīng)常涉及距離、夾角的問題.而平面向量的運(yùn)算,特別是數(shù)量積主要涉及向量的模及向量的夾角.因此,我們可以用向量方法解答幾何問題。在具體問題中，先用向量表示相應(yīng)的點、線段、夾角等幾何元素，然后通過向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等幾何元素之間的關(guān)系，最后將結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何問題。變式訓(xùn)練如圖2—圖2思路分析:證明EF∥BC，轉(zhuǎn)化為證明∥，選擇向量基底或建立坐標(biāo)系均可解決.證法一:（基向量法）設(shè)=a,=b，則有=b-a?！摺?，∴存在實數(shù)λ＞1使=λ=λb.∵E為BD的中點，∴==(b-a).∵F為AC的中點，∴+=+(）=()=（)=(λb-a）.∴=（λb—a）-（b-a）=（λ-)b.∴=[(λ—)·]?！唷巍！郋F∥BC。證法二：（坐標(biāo)法）如圖2—圖2-4設(shè)A(a，b），D(c,b)，C(d，0）,∴E(，）,F（,）.∴=（,)—（，)=（,0）,=(d，0).∵×0-d×0=0,∴∥.∴EF∥BC.例2如圖2—4—5，一艘船從A點出發(fā)以圖2-4-5思路分析:考查向量在物理中的應(yīng)用。船的實際航行速度是船的速度與水流速度的合速度，用平行四邊形法則合成即可.解:設(shè)=a表示船垂直于對岸行駛的速度，=b表示水流的速度,以AD、AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船的實際航行速度，即=a+b,∵｜a｜=2，｜b｜=2，a·b=0,∴｜｜2=（a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即｜|=4?！摺?（a+b）·b=a·b+b2=4，∴cos〈，〉===.又∵0°≤〈,〉≤180°,∴〈,〉=60°,即船的實際航行速度的大小為4km/h,方向與水流速度間的夾角為60°。綠色通道：用向量法解決物理問題的步驟（類似于用向量方法解決平面幾何問題的步驟）：(1)把物理問題中的量用向量來表示；(2）將物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量運(yùn)算解決數(shù)學(xué)問題；(3）把結(jié)果還原為物理問題。變式訓(xùn)練如圖2—圖2思路分析：由于力和重量都是向量，求A和B處所受力的大小轉(zhuǎn)化為求向量的模|｜和｜｜。A和B處所受力的合力是10N,即物體W的重量,用平行四邊形法則解決.解:由題意得四邊形CEWF是矩形,則有,⊥，｜|=10，∠FCW=60°?！唷?0。∴｜|2=（）2=｜|2+2·+｜|2.∴｜｜2+|｜2=100。又∵·=0，〈，〉=60°,∴·=·（+)=+·=.∴cos〈，〉===.∴|｜=｜|=5，｜|=5，即A和B處所受力分別是5N和5N。例3（2006湖南高三百校第二次考試,文9）O是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足λ（)，λ∈[0，+∞）,則P的軌跡一定通過△ABC的()A。外心B。垂心C。內(nèi)心D.重心思路解析:本題主要考查向量的概念、運(yùn)算與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用向量解決幾何問題的能力.+λ(+）可以化為=λ（+)，所以∥(+）.又+所在直線平分BC，所以AP所在直線也平分BC.所以P的軌跡一定通過△ABC的重心.答案：D綠色通道:判斷圖形的特點，主要從已知出發(fā),利用向量運(yùn)算的幾何意義或由已知向量的關(guān)系判斷出線線的位置關(guān)系或等量關(guān)系,從而對圖形的特殊性作出判斷。要作出準(zhǔn)確判斷，還要結(jié)合幾何圖形即數(shù)形結(jié)合。另外還要掌握三角形和特殊四邊形的性質(zhì)，例如三角形的四心（內(nèi)心、外心、重心、垂心)的定義和性質(zhì)，四邊相等的四邊形是菱形,對角線相等且相互平分的四邊形是矩形等.變式訓(xùn)練1在四邊形ABCD中，·=0，且=,則四邊形ABCD是(）.A。梯形B。菱形C。矩形D.正方形思路解析:由·=0得AB⊥BC,又=，∴AB與DC平行且相等.從而四邊形ABCD是矩形。答案:C變式訓(xùn)練2(2005全國高考卷Ⅰ,文12）點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足·=·=·,則點O是三角形ABC的（）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點B。三條邊的垂直平分線的交點C。三條中線的交點D.三條高線的交點思路解析:由·=·，得·—·=0，∴·(—）=0，即·=0.∴⊥。同理，可證⊥,⊥?！郞B⊥CA,OA⊥CB，OC⊥AB.答案:D變式訓(xùn)練3(2006遼寧高考卷，理12)設(shè)O（0，0),A（1,0)，B(0，1)，點P是線段AB上的一個動點,=λ，若·≥·，則實數(shù)λ的取值范圍是（)A.≤λ≤1B.1-≤λ≤1C.≤λ≤1+D.1—≤λ≤1+思路解析:∵=λ=(1—λ）+λ=(1—λ，λ)，=—=(1-λ)=（λ-1，1—λ），=λ=（—λ，λ），∴·≥·（1—λ，λ)·(—1,1)≥(λ，-λ)·（λ-1,1—λ)2λ2—4λ+1≤0?！?-≤λ≤1+.又∵點P是線段AB上的一個動點,∴0≤λ≤1，即滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍是1-≤λ≤1.答案:B問題探究問題（1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化簡|｜2+|｜2—2｜|·|｜cos〈,〉;(2)在等邊△ABC中,化簡｜｜2+｜|2—2｜|·｜|cos〈，〉;(3)由（1)和(2)你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，并加以證明。導(dǎo)思：探究思路是歸納、猜想、證明，觀察式子的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合向量的數(shù)量積便可發(fā)現(xiàn)結(jié)論。探究:(1)∵∠BAC=90°，∴cos〈,〉=0.∴｜｜2+||2-2||·|｜cos<，〉=｜|2+｜|2=｜｜2。（2）∵｜|2=|｜2=｜|2，∴||2+|｜2—2｜｜·|｜cos<,>=||2+||2—|｜2=|｜2=|｜2。(3）可發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：在△ABC中,有｜｜2+||2—2｜｜·｜|cos<，〉=|｜2；|｜2+｜|2—2||·||cos〈，〉=｜|2;｜|2+||2—2｜｜·||cos〈，〉=｜｜2?？梢杂谜Z言敘