河南省周口市扶溝縣包屯高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

河南省周口市扶溝縣包屯高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.2．一道數(shù)學(xué)試題，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立完成，設(shè)命題是“甲同學(xué)解出試題”，命題是“乙同學(xué)解出試題”，則命題“至少一位同學(xué)解出試題”可表示為（）A. B.C. D.3．①直線(xiàn)在軸上的截距為；②直線(xiàn)的傾斜角為；③直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)；④兩條平行直線(xiàn)與間的距離為.以上四個(gè)命題中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.505．若則（）A.?2 B.?1C.1 D.26．已知一個(gè)圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線(xiàn)a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.不存在8．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.9．過(guò)點(diǎn)，且斜率為2的直線(xiàn)方程是A. B.C. D.10．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測(cè)試成績(jī)（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績(jī)低于13秒為優(yōu)，成績(jī)高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為1811．已知向量，，且，則的值為（）A. B.C.或 D.或12．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程是______14．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.15．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.16．桌面排列著100個(gè)乒乓球，兩個(gè)人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個(gè)乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個(gè)數(shù)至少要拿1個(gè)，但最多又不能超過(guò)5個(gè)，這個(gè)游戲中，先手是有必勝策略的，請(qǐng)問(wèn)：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏(yíng)得這個(gè)游戲，你第一次該拿走_(dá)__個(gè)球三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).（1）求過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程，并求出兩平行直線(xiàn)間的距離；（2）求過(guò)點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線(xiàn)的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點(diǎn)M是線(xiàn)段PD上的一點(diǎn)，且，當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖是一個(gè)正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.21．（12分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項(xiàng)和，，（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求22．（10分）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）（1）已知點(diǎn)，求的最小值；（2）若，直線(xiàn)AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時(shí)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒2、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題，或乙同學(xué)解出試題”.故選：D.3、B【解析】由直線(xiàn)方程的性質(zhì)依次判斷各命題即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，直線(xiàn)，令，則，直線(xiàn)在軸上的截距為-，則①錯(cuò)誤；對(duì)于②，直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為，則②正確；對(duì)于③直線(xiàn)，由點(diǎn)斜式方程可知直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，則③正確；對(duì)于④，兩條平行直線(xiàn)與間的距離為，則④錯(cuò)誤.故選：B.4、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B5、B【解析】分子分母同除以，化弦為切，代入即得結(jié)果.【詳解】由題意，分子分母同除以，可得.故選：B.6、B【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B7、B【解析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得，或者根據(jù)對(duì)勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極大值；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極小值.故選：B8、B【解析】根據(jù)a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線(xiàn)方程.【詳解】由雙曲線(xiàn)的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，即，故選：B.9、A【解析】由直線(xiàn)點(diǎn)斜式計(jì)算出直線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且斜率為2，所以該直線(xiàn)方程為，即.故選【點(diǎn)睛】本題考查了求直線(xiàn)方程，由題意已知點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，故選用點(diǎn)斜式即可求出答案，較為簡(jiǎn)單.10、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項(xiàng)正確.眾數(shù)為，B選項(xiàng)正確.成績(jī)低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.成績(jī)高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D11、C【解析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)得，代入數(shù)值解方程組即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得?故選：C.12、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計(jì)算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為，該雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所求的雙曲線(xiàn)方程為：，整理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題．與共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.14、【解析】通過(guò)觀(guān)察、分析、歸納，找出規(guī)律運(yùn)算求解即可【詳解】前行共有正整數(shù)個(gè)，即個(gè)，因此第行第個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第個(gè)，即為故答案為：15、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡(jiǎn)可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.16、4【解析】根據(jù)題意，由游戲規(guī)則，結(jié)合余數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，第一次該拿走4個(gè)球，以后的取球過(guò)程中，對(duì)方取個(gè)，自己取個(gè)，由于，則自己一定可以取到第100個(gè)球.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；.（2）或.【解析】(1)首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線(xiàn)方程，再根據(jù)兩平行直線(xiàn)之間距離公式即可計(jì)算距離；(2)根據(jù)截距式方程的求法解答【小問(wèn)1詳解】由得設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線(xiàn)的方程為∴兩平行線(xiàn)間的距離【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線(xiàn)的方程的方程為，即綜上所述，直線(xiàn)的方程為或18、（1）證明見(jiàn)解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線(xiàn)面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線(xiàn)段之比，從而得到的值.【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因?yàn)椋?，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因?yàn)椋?，易得，，∴，?又因?yàn)锳C，PA是平面PAC的兩條相交直線(xiàn)，∴平面PAC.【小問(wèn)2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點(diǎn)M到平面ABC的距離為，∴，∴.19、（1）；（2）.【解析】（1）將不等式分解因式，即可求得不等式解集；（2）根據(jù)不等式解集，考慮其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的特征，即可求出參數(shù)的范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，即，也即，則，解得或，故不等式解集為.【小問(wèn)2詳解】不等式的解集為，即的解集為，也即的解集為，故其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，,可得四邊形為平行四邊形，從而可得，然后證明平面，從而可證明.(2)過(guò)作截面平面，分別交，于，，連接，作于,由所求幾何體體積為從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn).所以且又因?yàn)?，，所以且，故四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)檎切危堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面又，所以平?【小問(wèn)2詳解】如圖，過(guò)作截面平面，分別交，于，，連接，作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)，則平面因?yàn)?，，，所?所以所求幾何體體積為21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和的方法求得答案.小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：;【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以22、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，故可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為