福建福州市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

福建福州市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．俗話說(shuō)“好貨不便宜，便宜沒(méi)好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm3．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.4．在正方體中，P，Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B和點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在棱BA和上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A和點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線PQ與平面ABCD所成角的變化范圍為A. B.C. D.5．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說(shuō)法：①；②若抽取100人，則平均用時(shí)13.75小時(shí)；③若從每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③6．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)7．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動(dòng)作用，促進(jìn)教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學(xué)校支教，開(kāi)展送教下鄉(xiāng)活動(dòng)，每所學(xué)校至少分派一人，其中教師甲不能到學(xué)校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.1008．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為（）A. B.C.1 D.9．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b10．“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種11．在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.612．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.14．若正實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_(kāi)_______________________15．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該橢圓的離心率為_(kāi)_____16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知：圓是的外接圓，邊所在直線的方程為，中線所在直線的方程為，直線與圓相切于點(diǎn).（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求圓的方程.18．（12分）一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆正六面體骰子次，每次擲得的點(diǎn)數(shù)均相互獨(dú)立，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān).（1）這個(gè)游戲最多過(guò)幾關(guān)？（2）某人連過(guò)前兩關(guān)的概率是？（3）某人連過(guò)前三關(guān)的概率是？19．（12分）2020年3月20日，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》（以下簡(jiǎn)稱《意見(jiàn)》），《意見(jiàn)》中確定了勞動(dòng)教育內(nèi)容要求，要求普通高中要注重圍繞豐富職業(yè)體驗(yàn)，開(kāi)展服務(wù)性勞動(dòng)、參加生產(chǎn)勞動(dòng)，使學(xué)生熟練掌握一定勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，具有勞動(dòng)自立意識(shí)和主動(dòng)服務(wù)他人、服務(wù)社會(huì)的情懷．我市某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生暑假期間多參加社會(huì)公益勞動(dòng)，在實(shí)踐中讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)技能，服務(wù)他人和社會(huì)，強(qiáng)化社會(huì)責(zé)任感，為了調(diào)查學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到他們參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間均在15~65小時(shí)內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中（1）求，的值，估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的每一個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）學(xué)校要在參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在、這兩組的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取5人進(jìn)行感受交流，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行感受分享，求這2人來(lái)自不同組的概率20．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式21．（12分）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值.22．（10分）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進(jìn)行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.2、A【解析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A3、D【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，即可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，所?故選：D.4、C【解析】先過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意，得到即為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，設(shè)，推出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦庵鶠檎襟w，所以易得平面，因此即為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，設(shè)，則，，因?yàn)閮牲c(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在棱和上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)和點(diǎn)，所以，因此，所以，因?yàn)?，所以，則，因此.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求線面角的取值范圍，熟記線面角的定義即可，屬于?？碱}型.5、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計(jì)值，再利用分層抽樣可確定出使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)出平均值為，所以估計(jì)抽取100人的平均用時(shí)13.75小時(shí)，②的說(shuō)法太絕對(duì)，故②錯(cuò)誤；每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.6、B【解析】如圖設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計(jì)算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B7、D【解析】對(duì)甲所在組的人數(shù)分類討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個(gè)人去一個(gè)學(xué)校時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個(gè)老師時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個(gè)老師時(shí)，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：排列組合常用方法有：簡(jiǎn)單問(wèn)題直接法、小數(shù)問(wèn)題列舉法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類法、等概率問(wèn)題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.8、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，從而可得，再列方程可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，，所以，解得，故選：B9、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線有可能平面內(nèi)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，可能相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項(xiàng)正確.故選:D.10、B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B11、C【解析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C12、C【解析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除A；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除D；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，直線AB的斜率，線段AB中點(diǎn)，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為，顯然，即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點(diǎn)為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時(shí)有，即的垂心在直線上，選項(xiàng)C滿足題意.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三頂點(diǎn)，則的重心為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋坏仁胶愠闪?，只要即可，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為：.14、【解析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立，.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.16、3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）A（1,7）,（2）【解析】（1）與的的交點(diǎn)為點(diǎn)D,與的的交點(diǎn)為點(diǎn)A,聯(lián)立解方程即可得出結(jié)果.（2）設(shè)圓P的圓心P為，由，，計(jì)算求解即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，由求得半徑，進(jìn)而可得出圓的方程.【小問(wèn)1詳解】由題可得：與的的交點(diǎn)為點(diǎn)D,故由，解得：，故與的的交點(diǎn)為點(diǎn)A,，解得：，故A（1，7）【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓P的圓心P為，由與圓相切于點(diǎn)A，且的斜率為,則即，即，①又圓P為的外接圓，則BC為圓P的弦，又邊BC所在直線的科率為,故根據(jù)垂徑定理，有進(jìn)而，即②，聯(lián)立①②，解得：，即故，則圓P的方程為：.18、（1）關(guān)（2）（3）【解析】（1）由題意，可判斷時(shí)，，當(dāng)，所以可判斷出最多只能過(guò)關(guān)；（2）記一次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，兩次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，得基本事件的總數(shù)以及滿足題意的基本事件的個(gè)數(shù)，計(jì)算出，，從而根據(jù)概率相乘求解得連過(guò)前兩關(guān)的概率；（3）設(shè)前兩次和為，第三次點(diǎn)數(shù)為，列出第三關(guān)過(guò)關(guān)的基本事件的個(gè)數(shù)，利用概率相乘即可得連過(guò)前三關(guān)的概率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)轺蛔映霈F(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為，當(dāng)時(shí)，，而，所以時(shí)，這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和均小于，所以最多只能過(guò)關(guān).【小問(wèn)2詳解】記一次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個(gè)，符合題意的點(diǎn)數(shù)為，共個(gè)，所以；記兩次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個(gè)，不符合題意的點(diǎn)數(shù)為，共個(gè)，則由對(duì)立事件的概率得，所以連過(guò)前兩關(guān)的概率為;【小問(wèn)3詳解】前兩次和為，第三次點(diǎn)數(shù)為則考慮再考慮2種3種4種5種6種5種4種3種2種1種所以滿足共有因此某人連過(guò)前三關(guān)的概率是.19、（1），；平均數(shù)為40.2；（2）【解析】（1）根據(jù)矩形面積和為1，求的值，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)；（2）首先利用分層抽樣，在中抽取3人，在中抽取2人，再編號(hào)，列舉基本事件，求概率，或者利用組合公式，求古典概型概率.詳解】（1）依題意，，故又因?yàn)?，所以，所求平均?shù)為（小時(shí)）所以估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)為40.2（2）由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，則在中抽取3人，分別記為，，，在中抽取2人，分別記為，，則從5人中隨機(jī)抽取2人基本事件有，，，，，，，，，這2人來(lái)自不同組的基本事件有：，，，，，，共6個(gè)，所以所求的概率解法二：由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，則在中抽取3人，在中抽取2人，則從5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件總數(shù)為這2人來(lái)自不同組的基本事件數(shù)為所以所求的概率20、（1），；（2），【解析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則通項(xiàng)公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關(guān)系，然后采用累加法求解出的通項(xiàng)公式.【詳