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文檔簡介
天津市河西區(qū)新華中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知圓和圓恰有三條公共切線,則的最小值為()A.6 B.36C.10 D.2.已知平面內(nèi)有一點(diǎn),平面的一個(gè)法向量為,則下列四個(gè)點(diǎn)中在平面內(nèi)的是()A. B.C. D.3.曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn),則實(shí)數(shù)()A. B.0C.1 D.24.曲線為四葉玫瑰線,這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用,苜蓿葉型立交橋有兩層,將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實(shí)現(xiàn),即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路,四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱;②曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱;③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.35.若直線與圓:相切,則()A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或26.設(shè)橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為、,P是C上的點(diǎn),⊥,∠=,則C的離心率為A. B.C. D.7.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,下列說法正確的是()A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.是函數(shù)的極大值點(diǎn)8.()A.-2 B.-1C.1 D.29.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn),若的面積為8,則的焦距的最小值為()A.4 B.8C.16 D.3210.2021年6月17日9時(shí)22分,搭載神舟十二號(hào)載人飛船的長征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭,在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射.此后,神舟十二號(hào)載人飛船與火箭成功分離,進(jìn)入預(yù)定軌道,并快速完成與“天和”核心艙的對(duì)接,聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”,并在軌駐留3個(gè)月,開展艙外維修維護(hù),設(shè)備更換,科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作.已知神舟十二號(hào)飛船的運(yùn)行軌道是以地心為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)地球半徑為R,其近地點(diǎn)與地面的距離大約是,遠(yuǎn)地點(diǎn)與地面的距離大約是,則該運(yùn)行軌道(橢圓)的離心率大約是()A. B.C. D.11.如圖,D是正方體的一個(gè)“直角尖”O(jiān)-ABC(OA,OB,OC兩兩垂直且相等)棱OB的中點(diǎn),P是BC中點(diǎn),Q是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連PQ,則當(dāng)AC與PQ所成角為最小時(shí),()A. B.C. D.212.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為,則等于()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折,規(guī)格為的長方形紙,對(duì)折1次共可以得到,兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和,對(duì)折2次共可以得到,,三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和,以此類推,則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______;如果對(duì)折次,那么______.14.不等式的解集是________.15.已知向量、滿足,,且,則與的夾角為___________.16.已知,,,若,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為、、、的四個(gè)形狀大小完全相同的小球.(1)從盒中任取兩球,列出所有的基本事件,并求取出的球的編號(hào)之和大于的概率;(2)從盒中任取一球,記下該球的編號(hào),將球放回,再從盒中任取一球,記下該球的編號(hào),列出所有的基本事件,并求的概率.18.(12分)雙曲線的離心率為2,經(jīng)過C的焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被C所截得的弦長為12.(1)求C的方程;(2)設(shè)A,B是C上兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為,求直線AB的方程.19.(12分)已知橢圓C經(jīng)過,兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l與C交于P,Q兩點(diǎn),M是PQ的中點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),,求證:的邊PQ上的高為定值20.(12分)已知圓D經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2).(1)求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:與圓D交于M、N兩點(diǎn),求線段MN的長度.21.(12分)在復(fù)數(shù)集C內(nèi)方程有六個(gè)根分別為(1)解出這六個(gè)根;(2)在復(fù)平面內(nèi),這六個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F(xiàn);求多邊形ABCDEF的面積22.(10分)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn),弦的中垂線交軸于,當(dāng)變化時(shí),是否為定值?若是,定值為多少?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切,由此可得的關(guān)系,從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上,記,由求得的最小值,平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,兩圓有三條公切線,則兩圓外切,所以,即,點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上,記,,所以,所以的最小值為故選:B2、A【解析】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為,所以,,對(duì)于選項(xiàng)A,,對(duì)于選項(xiàng)B,,對(duì)于選項(xiàng)C,,對(duì)于選項(xiàng)D,故選:A3、A【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程為,進(jìn)而得.【詳解】解:因?yàn)椋?,,所以,切線方程為,因?yàn)榍芯€過點(diǎn),所以,解得故選:A4、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對(duì)稱性①②;估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(-x,-y)代入后依然為,故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②將點(diǎn)(y,x)代入后依然為,故曲線C關(guān)于y=x對(duì)稱;③曲線C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的,不妨只研究第一象限的部分,∵,∴曲線C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積,又∵,∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于,則曲線C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選:C.5、B【解析】利用圓心到直線距離等于半徑得到方程,解出的值.【詳解】圓心為,半徑為,由題意得:,解得:或6.故選:B6、D【解析】詳解】由題意可設(shè)|PF2|=m,結(jié)合條件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故離心率e=選D.點(diǎn)睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式,再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式,而建立關(guān)于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.7、A【解析】根據(jù)圖象,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,可知B錯(cuò)誤,A正確;是極大值點(diǎn),沒有極小值,和不是函數(shù)的極值點(diǎn),可知C,D錯(cuò)誤故選:A8、A【解析】利用微積分基本定理計(jì)算得到答案.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、B【解析】因?yàn)?,可得雙曲線的漸近線方程是,與直線聯(lián)立方程求得,兩點(diǎn)坐標(biāo),即可求得,根據(jù)的面積為,可得值,根據(jù),結(jié)合均值不等式,即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限,在第四象限聯(lián)立,解得故聯(lián)立,解得故面積為:雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值:故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值時(shí),要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.10、A【解析】以運(yùn)行軌道長軸所在直線為x軸,地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)橢圓方程為,根據(jù)題意列出方程組,解方程組即可.【詳解】以運(yùn)行軌道長軸所在直線為x軸,地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)橢圓方程為,其中,根據(jù)題意有,,所以,,所以橢圓的離心率故選:A11、C【解析】根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,求得AC與PQ夾角的余弦值關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系,求得角度最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo),即可代值計(jì)算求解結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,兩兩垂直,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如下所示:設(shè),則,不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,則,又,設(shè)直線所成角為,則,則,令,令,則,令,則,此時(shí).故當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí)最小,點(diǎn),則,故,則故選:C.12、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】,.故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①.5②.【解析】(1)按對(duì)折列舉即可;(2)根據(jù)規(guī)律可得,再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.【詳解】(1)由對(duì)折2次共可以得到,,三種規(guī)格的圖形,所以對(duì)著三次的結(jié)果有:,共4種不同規(guī)格(單位;故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格:,,,,,共5種不同規(guī)格;(2)由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來的一半,故各次對(duì)著后的圖形,不論規(guī)格如何,其面積成公比為的等比數(shù)列,首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為,對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù),根據(jù)(1)的過程和結(jié)論,猜想為種(證明從略),故得猜想,設(shè),則,兩式作差得:,因此,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:數(shù)列求和的常用方法:(1)對(duì)于等差等比數(shù)列,利用公式法可直接求解;(2)對(duì)于結(jié)構(gòu),其中是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,用錯(cuò)位相減法求和;(3)對(duì)于結(jié)構(gòu),利用分組求和法;(4)對(duì)于結(jié)構(gòu),其中是等差數(shù)列,公差為,則,利用裂項(xiàng)相消法求和.解答題14、【解析】把原不等式的右邊移項(xiàng)到左邊,通分計(jì)算后,根據(jù)分式不等式解法,然后轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式組,注意分母不為0的要求,求出不等式組的解集即為原不等式的解集【詳解】不等式得,故,故答案為:.15、##【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式即可計(jì)算.【詳解】,,.故答案為:﹒16、【解析】根據(jù)題意,由向量坐標(biāo)表示,列出方程,求出,,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,,,若,則,解得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量坐標(biāo)表示求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)基本事件答案見解析,概率為;(2)基本事件答案見解析,概率為.【解析】(1)利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“取出的球的編號(hào)之和大于”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果;(2)利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)記“從盒中任取兩球,取出球的編號(hào)之和大于”為事件,樣本點(diǎn)表示“從盒中取出、號(hào)球”,且和表示相同的樣本點(diǎn)(以此類推),則樣本空間為,則,根據(jù)古典概型可知,從盒中任取兩球,取出球的編號(hào)之和大于的概率為;(2)記“”為事件,樣本點(diǎn)表示第一次取出號(hào)球,將球放回,從盒中取出號(hào)球(以此類推),則樣本空間,則,所以,故事件“”的概率為.18、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)已知條件求得,由此求得的方程.(2)結(jié)合點(diǎn)差法求得直線的斜率,從而求得直線的方程.【小問1詳解】因?yàn)镃的離心率為2,所以,可得.將代入可得,由題設(shè).解得,,,所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè),,則,.因此,即.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為,所以,,從而,于是直線AB的方程是.19、(1)(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)出橢圓方程,根據(jù)的坐標(biāo)求得橢圓方程.(2)對(duì)直線的斜率分成存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論,求得的邊PQ上的高來證得結(jié)論成立.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為,將坐標(biāo)代入得,所以橢圓方程為.小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),關(guān)于軸對(duì)稱,由于,所以,即,直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),符合題意.所以的邊PQ上的高為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為,由消去并化簡得①,設(shè),則,.由于M是PQ的中點(diǎn)且,所以,所以,即,,,.此時(shí)①的.原點(diǎn)到直線的距離為.綜上所述,的邊PQ上的高為定值20、(1)(2)【解析】(1)設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法即可得出答案;(2)利用圓的弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】解:設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程,由題意可得,解得,所以圓D標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問2詳解】解:由(1)可知圓心,半徑,所以圓心D(1,0)到直線l:的距離,所以.21、(1)(2)【解析】(1)原式可因式分解為,令,設(shè)可求解出的兩個(gè)虛根,同理可求解的兩個(gè)虛根,即得解;(2)六個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為正六邊形,邊長為1,計(jì)算即可【小問1詳解】由題意,當(dāng)時(shí),設(shè)故,所以解得:,即當(dāng)時(shí),設(shè)故所以解得:,即故:【小問2詳解】六個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F(xiàn),其中在復(fù)平面中描出這六個(gè)點(diǎn)如圖所示:六個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為正六邊形,邊長為1故22、(1)(2)是,
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