浙江省湖州三縣聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析_第1頁(yè)
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浙江省湖州三縣)聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶(1202-1261)在《數(shù)書九章》(1247)一書中提出“三斜求積術(shù)”,即:以少?gòu)V求之,以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí);一為從隅,開平方得積.其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng),,求三角形面積,即.若的面積,,,則等于()A. B. C.或 D.或2.如圖,平面四邊形中,,,,為等邊三角形,現(xiàn)將沿翻折,使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn),且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-34.已知函數(shù),不等式對(duì)恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.5.命題:的否定為A. B.C. D.6.設(shè)全集為R,集合,,則A. B. C. D.7.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),則的最大值為A.2 B. C. D.8.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.9.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.10.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時(shí),A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?11.若為過(guò)橢圓中心的弦,為橢圓的焦點(diǎn),則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.6012.對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若滿足約束條件,則的最大值為__________.14.過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.15.已知向量,,若,則________.16.集合,,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,.(1)求的值;(2)點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),設(shè),求的取值范圍.18.(12分)在中,為邊上一點(diǎn),,.(1)求;(2)若,,求.19.(12分)已知函數(shù)(1)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.21.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知數(shù)列和,前項(xiàng)和為,且,是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將,,,代入,解得,再分類討論,利用余弦弦定理求,再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知,,,代入,得,即,解得,當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系,還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史的理解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同,由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,在中,計(jì)算半徑即可.【詳解】由,,可知平面.將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同.由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,記的外心為,由為等邊三角形,可得.又,故在中,,此即為外接球半徑,從而外接球表面積為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.3、B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因?yàn)?,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為,利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調(diào)遞減,不等式,即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,即,設(shè),,故單調(diào)遞減,故,當(dāng),即時(shí)取最大值,所以.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】

命題為全稱命題,它的否定為特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.6、B【解析】分析:由題意首先求得,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解:由題意可得:,結(jié)合交集的定義可得:.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛:本題主要考查交集的運(yùn)算法則,補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、C【解析】

設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長(zhǎng)|AB|=4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,判別式找到解決問(wèn)題的突破口.8、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標(biāo),然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因?yàn)?所以,所以.所以,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn),考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算,計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.10、B【解析】試題分析:由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數(shù)考點(diǎn):交集及其運(yùn)算.11、D【解析】

先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時(shí),的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.12、D【解析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn),觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象,同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn),它們?cè)谇€的兩側(cè),與其他三個(gè)曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項(xiàng),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多,說(shuō)明擬合效果好.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】

作出可行域如圖所示:由,解得.目標(biāo)函數(shù),即為,平移斜率為-1的直線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.14、【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系,設(shè)出所求直線方程,將已知圓圓心坐標(biāo)代入,即可求解.【詳解】圓心為,所求直線與直線垂直,設(shè)為,圓心代入,可得,所以所求的直線方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程、直線方程求法,注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、10【解析】

根據(jù)垂直得到,代入計(jì)算得到答案.【詳解】,則,解得,故,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),向量模,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

分析出集合A為奇數(shù)構(gòu)成的集合,即可求得交集.【詳解】因?yàn)楸硎緸槠鏀?shù),故.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求集合的交集,根據(jù)已知集合求解,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可;(2)在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:(1)在中,,所以,所以(2)由(1)可知,所以,在中,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應(yīng)用.18、(1);(2)4【解析】

(1),利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可;(2)設(shè),在中,用正弦定理將用x表示,在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】(1)∵,∴,所以,.(2)∵,∴設(shè),,在中,由正弦定理得,,∴,∴,∵,∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.19、(1);(2)見解析.【解析】

(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對(duì)任意恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立,令,,則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),即,,,令,則,令,則,在上是增函數(shù),又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,即,.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關(guān)系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)椋?,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個(gè)法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】

(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結(jié)合可得,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的

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