第3章勾股定理全章復(fù)習(xí)與檢測(cè)卷（2個(gè)定理1個(gè)應(yīng)用2種思想）

第3章勾股定理全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)三種方法【2個(gè)定理】1.勾股定理2.勾股定理逆定理【1個(gè)應(yīng)用】勾股定理及逆定理的應(yīng)用【2種思想】1.分類討論思想2.方程思想【檢測(cè)卷】【倍速學(xué)習(xí)三種方法】【2個(gè)定理】1.勾股定理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．1．（2022春?尤溪縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F，連接CF．（1）判斷△BCF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BD＝5，由勾股定理計(jì)算可得AD的長(zhǎng)，由等腰直角三角形性質(zhì)得DF＝5，最后由線段的差可得結(jié)論；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代換可得結(jié)論．【解答】（1）解：△BCF為等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠BCF＝∠CBF＝45°，∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCF為等腰直角三角形；（2）證明：在BF上取一點(diǎn)H，使BH＝EF，連接CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，F(xiàn)D⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，第二問(wèn)有難度，正確作出輔助線是關(guān)鍵．2．（2022春?廬江縣期中）將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根據(jù)S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴＝，∴＝，∴a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是推出△BEC是直角三角形．2.勾股定理逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說(shuō)明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．3．（2022春?瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的長(zhǎng)．（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判斷△ABC是否是直角三角形．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出BC＝，再代入求出答案即可；（2）先分別求出兩小邊的平方和和最長(zhǎng)邊的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：BC＝＝＝3；（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝3，∴AB2＝（）2＝13，AC2+BC2＝22+32＝4+9＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．【1個(gè)應(yīng)用】勾股定理及逆定理的應(yīng)用1．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．2．平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題（1）平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)诮鉀Q有關(guān)結(jié)合問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型．4．（2021秋?峽江縣期末）如圖，圓柱形容器的高為120cm，底面周長(zhǎng)為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離．【分析】將容器側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．【解答】解：如圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交EC于F，則A′B即為最短距離．∵高為120cm，底面周長(zhǎng)為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，∴A′D＝50cm，BD＝120cm，∴在直角△A′DB中，A′B＝＝＝130（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為130cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開(kāi)﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．5．（2022春?中山市期中）如圖，學(xué)校要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測(cè)量了多出的這段繩子長(zhǎng)度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度．【分析】因?yàn)槠鞐U、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【解答】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長(zhǎng)度為（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6.如圖所示，一架云梯長(zhǎng)25m，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？如果梯子頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑動(dòng)了4m嗎？【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)度，在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的長(zhǎng)度，用其減去BC的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△AOB中，∵AB＝25m，OB＝7m，OA2＝AB2﹣OB2，∴OA＝＝＝24（m），∵AA′＝4m，∴OA′＝OA﹣AA′＝20m；在Rt△A′OB′中，∵OB′2＝A′B′2﹣OA′2，∴OB′＝＝15（m），∴BB′＝OB′﹣OB＝8（m）．故這個(gè)梯子的頂端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑動(dòng)了4m，而是滑動(dòng)了8m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?寧鄉(xiāng)市期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝3m，若秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度．【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為xm，根據(jù)題意可得AC＝（x﹣2）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣2）2．【解答】解：∵CE＝BF＝3m，DE＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2（m），在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝4m，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為xm，則AC＝（x﹣2）m，故x2＝42+（x﹣2）2，解得：x＝5，答：繩索AD的長(zhǎng)度是5m．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AC、AB的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．8．（2022春?江城區(qū)期中）湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹(shù)，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)煽镁坝^樹(shù)之間的距離，他們?cè)谂cAB垂直的BC方向上取點(diǎn)C，測(cè)得BC＝30米，AC＝40米．求：（1）兩棵景觀樹(shù)之間的距離；（2）點(diǎn)B到直線AC的距離．【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）根據(jù)面積相等即可求出點(diǎn)B到直線AC的距離．【解答】解：（1）在Rt△ABC，AB＝＝40（米），∴兩棵景觀樹(shù)之間的距離為40米；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵S△ABC＝，∴，∴BD＝24（米），∴點(diǎn)B到直線AC的距離為24米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理．9．（2022春?彭州市校級(jí)期中）森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向AB，由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點(diǎn)C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機(jī)的速度為10m/s，要想撲滅著火點(diǎn)C估計(jì)需要13秒，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷著火點(diǎn)C能否被撲滅？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出飛機(jī)影響C持續(xù)的時(shí)間，即可做出判斷．【解答】解：（1）著火點(diǎn)C受灑水影響．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，由題意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC?BC＝CD?AB，∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響，∴著火點(diǎn)C受灑水影響；（2）當(dāng)EC＝FC＝500m時(shí)，飛機(jī)正好噴到著火點(diǎn)C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飛機(jī)的速度為10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴著火點(diǎn)C能被撲滅，答：著火點(diǎn)C能被撲滅．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【2種思想】1.分類討論思想10．（2022春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A→C→B→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值．【分析】（1）連接PB，根據(jù)勾股定理得到即可得到結(jié)論．（2）過(guò)P作PE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理，列方程進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）連接PB，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），∵CP2+BC2＝PB2，∵PA＝PB＝2tcm，∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，∴t＝；（2）當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，此時(shí)BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，解得：t＝，當(dāng)t＝12時(shí)，點(diǎn)P與A重合，也符合條件，∴當(dāng)t＝或12時(shí)，點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面積，難度適中．利用分類討論的思想是解（2）題的關(guān)鍵．11．（2022秋?佛山校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求BC邊的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，分別求出BP的長(zhǎng)度，繼而可求得t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由題意知BP＝2tcm，①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t＝4或t＝；（3）①當(dāng)AB＝BP時(shí)，t＝5；②當(dāng)AB＝AP時(shí)，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t＝5或t＝8或t＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．2.方程思想12．（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，折疊長(zhǎng)方形的一邊使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，已知，，則EC的長(zhǎng)為．

【答案】3【詳解】解：設(shè)EC的長(zhǎng)為，則，折疊后的圖形是，，，，，，又，在中，根據(jù)勾股定理，得，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得：，，即，化簡(jiǎn)，得，．即EC的長(zhǎng)為，13．如圖所示，折疊長(zhǎng)方形一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF與FC的長(zhǎng)．【解答】解：∵△AEF是△AED沿直線AE折疊而成，AB＝8cm，BC＝10cm，∴AD＝AF＝10cm，設(shè)BF＝x，則FC＝10﹣x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即102＝82+x2，解得x＝6，即BF＝6厘米．∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．綜上可得BF的長(zhǎng)為6厘米、FC的長(zhǎng)為4厘米．【檢測(cè)卷】一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，10，12 C．，，1 D．8，15，16【答案】A【分析】能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)度的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A.，能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，符合題意；B.，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C.，不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D.，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周解算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為（，為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：為正整數(shù)，為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理得，，解得，弦是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．3．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知釣魚(yú)桿的長(zhǎng)為10米，露在水上的魚(yú)線長(zhǎng)為，某釣魚(yú)者想看看魚(yú)鉤上的情況，把魚(yú)竿轉(zhuǎn)動(dòng)到的位置，此時(shí)露在水面上的魚(yú)線長(zhǎng)度為8米，則的長(zhǎng)為（）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】C【分析】先根據(jù)勾股求出，再根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)即可求解．【詳解】解：在中，，∴，在中，，∴，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方．4．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，四邊形是正方形，則正方形的面積是（）A．8 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求得，結(jié)合計(jì)算選擇即可．【詳解】解：在中，，，由勾股定理得：，∵四邊形是正方形，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的面積，熟練掌握勾股定理，正方形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)F在AC上，并且，點(diǎn)E為上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），將沿直線翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，的長(zhǎng)為，則邊的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)折疊可得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，在中，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及翻折的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）一直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為5和12，則第三邊的長(zhǎng)的平方為（）A．169 B．49 C．169或49 D．169或119【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系確定第三邊平方的值．【詳解】解：設(shè)第三邊為x，（1）若12是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得：，∴；（2）若12是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得：，∴；∴第三邊的長(zhǎng)為或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求解，注意有兩種情況．7．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，若，邊上的高，那么的周長(zhǎng)為（）A．32或33 B．42或33 C．32或42 D．33或31【答案】C【分析】本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)為銳角三角形時(shí)，在和中，運(yùn)用勾股定理可將和的長(zhǎng)求出，兩者相加即為的長(zhǎng)，從而可將的周長(zhǎng)求出；（2）當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，在和中，運(yùn)用勾股定理可將和的長(zhǎng)求出，兩者相減即為的長(zhǎng)，從而可將的周長(zhǎng)求出．【詳解】解：此題分兩種情況討論：（1）如圖1，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，

在中，，在中，，∴，∴的周長(zhǎng)為；（2）如圖2，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，

在中，，在中，，∴，∴的周長(zhǎng)為．∴的周長(zhǎng)為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵，在解本題時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏解．8．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┮阎?，，，，斜邊邊上的高的長(zhǎng)度為（

）A． B．5 C． D．10【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，即，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等面積法求三角形的高，解題的關(guān)鍵是求出斜邊，用等面積法求解．9．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與交于點(diǎn)．則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】作于，得到，設(shè)，由，可得，最后由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到線段的長(zhǎng)．【詳解】解：作于，，，設(shè)，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形．10．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，垂直平分，分別交于D，E兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接，∵垂直平分，∴，在中，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．二、填空題11．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，線段是邊上的高，點(diǎn)、是上任意兩點(diǎn)（不含端點(diǎn)、）．若，，則陰影部分的面積是．【答案】6【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得是的垂直平分線，從而可得，，然后利用證明，從而可得的面積的面積，再在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，是的垂直平分線，，，，，的面積的面積，在中，，，，，的面積，陰影部分的面積的面積，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》提供了許多勾股數(shù)，如，等，其中一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”．經(jīng)研究，若是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，則與這兩個(gè)數(shù)組成勾股數(shù)；若是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后用這個(gè)平方數(shù)分別減1，加1，得到兩個(gè)整數(shù)，則與這兩個(gè)數(shù)組成勾股數(shù)．根據(jù)上面的規(guī)律，由8生成的勾股數(shù)的“弦數(shù)”是．【答案】17【分析】根據(jù)題意，按照步驟計(jì)算出由8生成的勾股數(shù)的“弦數(shù)”即可．【詳解】8是大于2的偶數(shù)由8生成的勾股數(shù)的“弦數(shù)”是17故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股數(shù)的定義和計(jì)算，根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律準(zhǔn)確計(jì)算出結(jié)果是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平分，點(diǎn)A在射線上，于點(diǎn)B，若，，則點(diǎn)A到射線的距離為．

【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過(guò)A作于點(diǎn)C，

又平分，，∴，又，，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)為的橡皮筋放置在軸上，固定兩端A和，然后把中點(diǎn)沿垂直于軸的方向向上拉升到，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了．

【答案】2【分析】根據(jù)勾股定理求出，得出，求出拉伸長(zhǎng)度即可．【詳解】解：在中，∵，，∴由勾股定理，得，∴，∴拉伸長(zhǎng)度，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，求出．15．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知三角形的三邊長(zhǎng)為6，8，10，則這個(gè)三角形是三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，，這個(gè)三角形是直角三角形，故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C、D、E是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則的度數(shù)為度．【答案】【分析】如圖，連接、，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，從而知是等腰直角三角形，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形全等，可知：，即可得解．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)網(wǎng)格中正方形的邊長(zhǎng)為x，由勾股定理得：，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴.∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴.故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，觀察下列各組勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一組勾股數(shù)的勾為（，m為正整數(shù)）時(shí)，它的股、經(jīng)分別為和．若一組勾股數(shù)的勾為26，則經(jīng)為．【答案】【分析】根據(jù)題干的公式直接進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴經(jīng)為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用題中的結(jié)論進(jìn)行求解．18．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)，在斜邊上，將邊沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，再將邊沿翻折，使點(diǎn)落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為．【答案】/【詳解】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積即可求解．【分析】解：根據(jù)兩次翻折可知：，，，，，，，，，．．在中，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、等腰直角三角形、等面積法，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等面積法．三、解答題19．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的所在的直線上建一圖書(shū)室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，于A，于B．已知，，，試問(wèn)：圖書(shū)室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？【答案】【分析】設(shè)圖書(shū)室E應(yīng)建在距A點(diǎn)x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；由勾股定理建立方程即可求解．【詳解】解：設(shè)圖書(shū)室E應(yīng)建在距A點(diǎn)x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，則千米；∵，，∴，，∵，∴，即，解得：，答：圖書(shū)室E應(yīng)建在距A點(diǎn)千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到B的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求原路線的長(zhǎng)．【答案】(1)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)千米．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理列方程解答即可．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由是：在中，∵，，∴，∴是直角三角形且，∴，∴是直角三角形；（2）解：設(shè)，則，∴，即，解得，即千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．21．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，D是上一點(diǎn)，若，，，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)240【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可求解．（2）由（1）得，進(jìn)而可得，則利用勾股定理即可求得，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）證明，，，，，，是直角三角形．（2）解：由（1）得，，，，，的面積為：，的面積為240．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，利用勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，則A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】(1)要，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由A點(diǎn)向作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，與200比較即可得結(jié)論；（2）上分別取D、G，則是等腰三角形，由，則C是的中點(diǎn)，在中，解出的長(zhǎng)，則可求長(zhǎng)，在長(zhǎng)的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間．【詳解】（1）解：由A點(diǎn)向作垂線，垂足為C，在中，，，則，因?yàn)?，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；（2）設(shè)上點(diǎn)D，，則還有一點(diǎn)G，有．∵，∴是等腰三角形，∵，∴是的垂直平分線，，在中，，，由勾股定理得，，則，遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：（h）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線的距離，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．23．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)：______；(2)若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分別表