專題15一元一次方程的實際應用幾何問題綜合題

專題15一元一次方程的實際應用—幾何問題（綜合題）易錯點撥易錯點撥知識點：水箱變高了（等積變形問題）“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常見類型：①形狀面積變了，周長沒變；②原體積＝變化后體積.常用的面積、體積公式：長方形的周長公式：(長+寬)×2；面積公式：長×寬長方體的體積公式：長×寬×高正方形的周長公式：邊長×4；面積公式：邊長×邊長正方體體積公式：邊長×邊長×邊長圓的周長公式：C=；面積公式：；圓柱的體積公式：V柱=底面積×高；圓錐的體積公式：V錐=×底面積×高細節(jié)剖析：尋找等量關系的方法，抓住兩個等量關系：第一，形變體積不變；第二，形變體積也變，但重量不變.易錯題專訓易錯題專訓一、選擇題1．（2021七上·普寧期末）如圖，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為4cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5cm的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為（）A．16 B．20 C．80 D．160【答案】C【規(guī)范解答】解：設原來正方形紙的邊長是xcm，則第一次剪下的長條的長是xcm，寬是4cm，第二次剪下的長條的長是（x﹣4）cm，寬是5cm，則4x＝5（x﹣4），去括號，可得：4x＝5x﹣20，移項，可得：5x﹣4x＝20，解得x＝204x＝4×20＝80（cm2）所以每一個長條面積為80cm2．故答案為：C．

【易錯思路引導】設原來正方形紙的邊長是xcm，根據(jù)題意兩次剪下的長條面積正好相等列方程，解方程即可。2．（2021七上·上虞期末）如圖是一紙條的示意圖，第1次對折，使A，B兩點重合后再打開，折痕為l1；第2次對折，使A，C兩點重合后再打開，折痕為l2；第3次對折，使B，D兩點重合后再打開，折痕為l3.已知CE=2cm，則紙條原長為（）cmA．18 B．16 C．14 D．12【答案】B【規(guī)范解答】解：由折疊可知：點C是AB中點，點D是AC中點，點E是BD中點，設AB=x，∵CE=2cm，∴AC=BC=x，AD=CD=x，DE=BE=x2，而DE=CD+CE=x+2，∴x2=x+2，解得：x=16，即AB=16cm，故答案為：B.【分析】根據(jù)折疊得到點C是AB中點，點D是AC中點，點E是BD中點，設AB=x，用兩種方法表示出DE，依此建立關于x的方程求解，即可解答.3．（2021七上·鹽田期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分線．若射線OE，OF分C別以18/s，3/s的速度同時繞點O順時針轉(zhuǎn)動，當射線OE，OF重合時，至少需要的時間是（）A．8s B．11s C．s D．13s【答案】D【規(guī)范解答】∵∠BOD=∠AOC=30゜，OE⊥AB∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜，∠AOD=180゜∠AOC=150゜∵OF平分∠AOD∴∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜設OE、OF首次重合需要的時間為t秒，則由題意得：18t?3t=120+75解得：t=13即射線OE，OF重合時，至少需要的時間是13秒故答案為：D【易錯思路引導】先求出∠DOF=75°，再求出t=13，最后求解即可。4．（2021七上·濟寧月考）圖①為一正面白色、反面灰色的長方形紙片．今沿虛線剪下分成甲、乙兩長方形紙片，并將甲紙片反面朝上粘貼于乙紙片上，形成一張白、灰相間的長方形紙片，如圖②所示．若圖②中白色與灰色區(qū)域的面積比為8∶3，圖②紙片的面積為33，則圖①紙片的面積為（）A． B． C．42 D．44【答案】C【規(guī)范解答】解：設每一份為x，則圖②中白色的面積為8x，灰色部分的面積為3x，由題意，得8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面積為：3×3=9，∴圖（①）紙片的面積為：33+9=42．故答案為：C．【易錯思路引導】先求出8x+3x=33，再求出x=3，最后求解即可。5．（2021七上·鄒城月考）在矩形ABCD中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，求小長方形的寬AE．若AE＝x（cm），依題意可得方程（）A． B．6+2x＝14﹣xC．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）【答案】D【規(guī)范解答】解：標字母如圖所示：設AE=xcm，MD=3xcm，則AM=（143x）cm，∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（143x）cm，∴AB=AE+MR，即6+2x=x+（143x）故答案為：D．【易錯思路引導】先求出AB=AE+MR，再列方程即可。6．（2021七上·路北期中）如圖，邊長為的正方形紙片，剪出一個邊長為a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），若拼成長方形的一邊長為3，則另一邊長是（）A． B． C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：設另一邊長為x，根據(jù)題意得，3x=（a+3）2a2，解得x=2a+3．故答案為：A．【分析】設另一邊長為x，根據(jù)圖形列出方程3x=（a+3）2a2，求解即可。7．（2021七上·長春期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E為CD的中點，動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運動，最終到達點E．若點P運動的時間為x秒，則當△APE的面積為5cm2時，x的值為（）A．5 B．3或5 C． D．或5【答案】D【規(guī)范解答】解：長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E為CD的中點，當在上時，當在上時，解得：當在上時，如圖，解得：，經(jīng)檢驗不符合題意，舍去，所以當△APE的面積為5cm2時，x的值為5s或s，故答案為：D

【易錯思路引導】分點P再AB上、P在BC上、P在CE上三種情況，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可。二、填空題8．（2022七上·寶安期末）如圖，在△ABC中，AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，螞蟻甲從點A出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿著三角形的邊按A→B→C→A的方向行走，甲出發(fā)1s后螞蟻乙從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿著三角形的邊按A→C→B→A的方向行走，那么甲出發(fā)s后，甲乙第一次相距2cm．【答案】4【規(guī)范解答】解：設甲出發(fā)t秒后，甲乙第一次相距2cm，

∴（1.5t3）[2（t1）5]=2，

∴t=4，

∴甲出發(fā)4秒后，甲乙第一次相距2cm，

故答案為：4.

【分析】設甲出發(fā)t秒后，甲乙第一次相距2cm，根據(jù)題意列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.9．（2021七上·斗門期末）如圖是由六個不同顏色的正方形組成的長方形，已知中間最小的一個正方形A的邊長為2，那么正方形B的面積是．【答案】196【規(guī)范解答】設小正方形D的邊長是x，則正方形C的邊長為x，正方形E的邊長為x+2，正方形F的邊長為x+2+2=x+4，正方形B的邊長為x+2+2+2=x+6，根據(jù)題意得：3x+2=x+4+x+6，解得：x=8，∴正方形B的邊長為x+6=14，∴正方形B的面積是14×14=196．故答案為：196

【易錯思路引導】設小正方形D的邊長是x，則正方形C的邊長為x，正方形E的邊長為x+2，正方形F的邊長為x+2+2=x+4，正方形B的邊長為x+2+2+2=x+6，根據(jù)題意列出方程3x+2=x+4+x+6求解即可。10．（2021七上·封開期末）如如圖，長方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，點E是CD的中點，動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C運動，最終到達點C，點P運動的時間為x秒．若x＞4，那么x=秒時，△APE的面積等于5cm2．【答案】5【規(guī)范解答】解：∵動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C運動，AB=4cm，又∵x＞4，∴點P在BC上時，∵△APE的面積等于5cm2，∴S長方形ABCDS△CPES△ADES△ABP=5，∴3×4（3+4x）×2×2×3×4×（x4）=5，∴x=5；∴x=5秒時，△APE的面積等于5cm2．故答案為：5．

【易錯思路引導】根據(jù)動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C運動，AB=4cm，x＞4，得出點P在BC上時，再根據(jù)△APE的面積得出S長方形ABCDS△CPES△ADES△ABP=5，代入求出x的值即可。11．（2021七上·南寧月考）如圖，已知A，B兩點在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為30，點M以每6個單位長度的速度從點A向右運動，點N以每秒2個單位長度的速度從點O向右運動，其中點M、點N同時出發(fā)，經(jīng)過秒，點M、點N分別到點B的距離相等.【答案】【規(guī)范解答】解：設經(jīng)過t秒，點M、點N分別到點B的距離相等，則點M所表示的數(shù)為（10+6t），點N所表示的數(shù)為2t，①當點B是MN的中點時，有，解得：，②當點M與點N重合時，有，解得：，因此，或，故答案為：或.【易錯思路引導】設經(jīng)過t秒，點M、點N分別到點B的距離相等，則點M所表示的數(shù)為（10+6t），點N所表示的數(shù)為2t，即①當點B是MN的中點時，②當點N與點M重合時，根據(jù)“點M、點N分別到點B的距離相等”分別建立方程求解即可.12．（2021七上·平陽月考）如圖1是AD//BC的一張紙條，按圖1—>圖2—>圖3，把這一紙條先沿EF折疊并壓平，再沿BF折疊并壓平，若圖3中∠CFE=15°，則圖2中∠AEF的度數(shù)為.【答案】115°【規(guī)范解答】解：如圖，設∠B'FE=x，

當紙條沿EF折疊時，

∴∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF，

∴∠BFC=∠BFE∠CFE=x15°，

當紙條沿BF折疊時，

∴∠C'FB=∠CFB=x15°，

∵∠B'FE+∠BFE+∠CFB=180°，

∴x+x+x15°=180°，

解得x=65°，

∵A'D'∥B'C'，

∴∠A'EF=180°∠B'FE=180°65°=115°，

∴∠AEF=115°.

故答案為：115°.

【分析】設∠B'FE=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF，則∠BFC=x15°，再由兩次折疊后得到∠CFB=∠BFC=x15°，然后根據(jù)平角定義列方程求解，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠A'EF=180°∠B'FE=115°，最后根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠AEF=115°.13．（2021七上·吳興期末）如圖，一個盛有水的長方體玻璃容器的內(nèi)底面為邊長為4cm的正方形，容器內(nèi)水的高度為2cm，把一根長方體玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面為邊長是2cm的正方形，則容器內(nèi)的水將升高cm（假設水不會溢出）.【答案】【規(guī)范解答】解：設水升高xcm,

依題意可列方程：,

解得，,

故答案為：.

【易錯思路引導】設水升高xcm，再根據(jù)體積的計算方法以及前后變化，即可列出方程求解.14．（2020七上·金水月考）如圖，一個盛有水的圓柱形玻璃容器的底面半徑為，容器內(nèi)水的高度為，把一根半徑為的玻璃棒垂直插入水中，水不會溢出，則容器內(nèi)的水將升高cm.【答案】0.5【規(guī)范解答】解：設容器內(nèi)的水將升高xcm，依題意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），1200+4（12+x）=100（12+x），1200+48+4x=1200+100x，96x=48，x=0.5.故容器內(nèi)的水將升高0.5cm.故答案為：0.5.【易錯思路引導】設容器內(nèi)的水將升高xcm，根據(jù)等量關系：容器的底面積×容器中水的原來高度+玻璃棒的截面積×（容器中原來水的高度+水面上升的高度）=容器的底面積×（容器中原來水的高度+水面上升的高度），建立關于x的方程，解方程求出x的值.三、解答題15．（2021七上·瑞安期中）如圖，用直徑為200mm的鋼柱鍛造成一塊長、寬、高分別為350mm，314mm，180mm的長方體坯底板.問應截取鋼柱多長？（不計耗損，π取3.14）【答案】解：設截取鋼柱xmm，由題意得，3.14×（）2×x＝350×314×180，解得x＝630，答：截取鋼柱630mm.【易錯思路引導】設截取鋼柱xmm，根據(jù)兩者體積相等可得建立方程，求解即可.16．（2021七上·大洼期末）如圖1是邊長為6的正方形硬紙版，在每個角上都剪去一個邊長相等的小正方形，將其做成如圖2的底面周長為16的正方形無蓋紙盒，則這個無蓋紙盒的高等于多少？【答案】解：由題意可得，底面邊長為16÷4=4，設無蓋紙盒的高為x，則有4+x+x=6，解得：x=1，答：無蓋紙盒的高為1.【易錯思路引導】根據(jù)底面是正方形可求得底面邊長為4，設無蓋紙盒的高為x，根據(jù)展開圖可列出方程，進而解方程即可求解.17．（2021七上·封開期末）已知，O是直線AB上的一點，OC⊥OE．（1）如圖①，若∠COA＝34°，求∠BOE的度數(shù)．（2）如圖②，當射線OC在直線AB下方時，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，如圖③，在∠BOE內(nèi)部作射線OM，使∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度數(shù)．【答案】（1）解：∵OC⊥OE，∠COA＝34°，∴∠BOE=180°90°34°=56°；（2）解：∵∠BOE＝130°，∴∠AOE=180°∠BOE＝50°∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOE=25°=∠AOF∵OC⊥OE．∴∠COF=90°∠EOF=65°；（3）解：∵OC⊥OE，∴∠AOC=90°∠AOE=40°設∠BOM的度數(shù)為x∴∠COM=∠AOC+∠AOM=40°+180°x=220°x，∠FOM=∠AOM∠AOF=180°x25°=155°x∵∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，∴220°x+×50°=2x+155°x解得x=75°∴∠BOM的度數(shù)為75°．【易錯思路引導】（1）根據(jù)垂直的概念求得∠COA＝34°，再根據(jù)角的和差列式計算即可；

（2）根據(jù)鄰補角的概念求得∠AOE的度數(shù)，從而利用角的和差列式求解即可；

（3）設∠BOM的度數(shù)為x，再根據(jù)角的和差及倍數(shù)關系列方程求解即可。18．（2021七上·東莞期末）已知線段，點B、點C都是線段AD上的點．（1）如圖1，，點E是線段AC的中點，點F是線段BD的中點，求EF的長．（2）如圖2，若，，點P從B出發(fā)向點D運動，運動速度為每秒移動3個單位，運動時間為t秒，點Q為CD的中點，若當，求t的值．【答案】（1）解：∵∴設BC=x，則AB=3x，CD=4x，∴AD=3x+x+4x=80，即x=10，∴AB=30，BC=10，CD=40，∵點E是線段AC的中點，點F是線段BD的中點，∴AE=20，DF=20，∴EF=802020=40；（2）解：∵AD=80，AB=10，BC=20，∴CD=801020=50，∵Q為CD的中點，∴CQ=CD=25，AQ=10+20+25=55，t秒后，AP=10+3t，當AP=AQ時，10+3t=55，∴t=15，當AP=AQ時，t的值是15．【易錯思路引導】（1）先求出x=10，再根據(jù)線段的中點計算求解即可；

（2）根據(jù)題意先求出CD=50，再求出AP=10+3t，最后列方程求解即可。19．（2021七上·錦江期末）已知一個長方體合金底面長為80，寬為40，高為60．（1）現(xiàn)要鍛壓成新的長方體，其底面是邊長為40的正方形，則新長方體的高為多少？（2）若將長方體合金鍛壓成圓柱體，其底面是直徑為80的圓，則新圓柱體合金的高為多少？（取3）【答案】（1）解：設新長方體的高為x，

根據(jù)