5.1相交線-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)（原卷版）

七年級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.1相交線知識點一知識點一鄰補角、對頂角的概念及其性質(zhì)◆1、鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．◆2、對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．◆3、鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°．◆4、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．知識點二知識點二垂線的概念、畫法及其性質(zhì)◆1、概念：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．◆2、畫法一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點；三畫：沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線．◆3、性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“過一點”的點在直線上或直線外都可以．知識點三知識點三垂線段與點到直線的距離◆1、垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．◆2、垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點與這條直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短．【注意】正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．◆3、點到直線的距離：（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．知識點四知識點四同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角◆1、同位角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．◆2、內(nèi)錯角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．◆3、同旁內(nèi)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．【注意】三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．題型一利用基本圖形識別對頂角和鄰補角題型一利用基本圖形識別對頂角和鄰補角【例題1】（2022秋?南崗區(qū)校級期中）如圖直線AB、CD交于點O，OE為射線，那么（）A．∠AOC和∠BOE是對頂角 B．∠COE和∠AOD是對頂角 C．∠BOC和∠AOD是對頂角 D．∠AOE和∠DOE是對頂角解題技巧提煉分析圖形特征，根據(jù)對頂角的定義，首先判斷是否由兩條直線相交形成，其次再判斷兩個角的兩邊是否互為反向延長線.【變式11】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖中，∠1和∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【變式12】（2021春?荊門期末）圖中∠1與∠2互為鄰補角的是（）A．B．C．D．【變式13】（2021秋?蘭西縣期末）如圖，圖中鄰補角有幾對（）A．4對 B．5對 C．6對 D．8對【變式14】（2021春?朝陽縣期末）下列說法正確的是（）A.互補的兩個角是鄰補角；B．相等的角必是對頂角；C．對頂角一定相等；D．若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.【變式15】（2022春?遷安市期末）觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）．如圖1，圖中有2條直線相交，則對頂角有

對；如圖2，圖中有3條直線相交于一點，則對頂角有

對；如圖3圖中有n條直線相交于一點，則對頂角有

對．題型二有關(guān)對頂角和鄰補角的計算題型二有關(guān)對頂角和鄰補角的計算【例題2】（2021秋?桃江縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOE是直角．（1）直接寫出∠DOE的補角；（2）直接寫出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度數(shù)．解題技巧提煉準確識別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對頂角的性質(zhì)及鄰補角的定義求解.【變式21】（2022春?倉山區(qū)校級期末）如圖，直線AC，BD相交于點O，∠AOB＝48°，則∠COD的度數(shù)是（）A．42° B．48° C．96° D．132°【變式22】（2022春?交城縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，并且∠AOD＝3∠AOC，則∠AOD的度數(shù)為．【變式23】（2021秋?鳳慶縣期末）如圖，直線AC和直線BD相交于點O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度數(shù)．【變式24】（2022?西華縣三模）如圖，直線AB，CD相交于點O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，則∠DOB的度數(shù)為．【變式25】（2022春?夏邑縣期中）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射線OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度數(shù)．【變式26】（2021秋?連城縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點E，射線EG在∠AEC內(nèi)（如圖1）．（1）若∠BEC的補角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；（2）若射線EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如圖2），求∠AEG﹣∠CEG的值．題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用題型三有關(guān)垂線的綜合應(yīng)用【例題3】（2022春?天府新區(qū)月考）如圖，點O在直線BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，則∠DOC的度數(shù)為（）A．20° B．70° C．110° D．90°解題技巧提煉結(jié)合垂直的條件確定已知角和未知角之間的關(guān)系，再結(jié)合角平分線、對頂角、鄰補角等定義計算.【變式31】（2021秋?北林區(qū)期末）如圖，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°【變式32】（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點E，EF⊥AB，垂足為E，∠CEA＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．150° D．160°【變式33】（2022春?云陽縣校級月考）如圖，直線AB、EF相交于點O，CD⊥AB于點O，∠EOD＝128°，則∠BOF的度數(shù)為．【變式34】（2022春?元寶區(qū)校級期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的度數(shù)為（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°【變式35】（2022春?西安月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數(shù)．【變式36】（2021秋?梁河縣期末）如圖，已知直線AB、CD相交于點O，射線OD平分∠BOF，OE⊥CD于點O，∠AOC＝35°．（1）求∠EOF的度數(shù)；（2）試判斷射線OE是否平分∠AOF，并說明理由．題型四垂線段最短的實際應(yīng)用題型四垂線段最短的實際應(yīng)用【例題4】（2022春?青龍縣期末）如圖，某地進行城市規(guī)劃，在一條新修公路旁有一超市，現(xiàn)要建一個汽車站，且有A、B、C、D四個地點可供選擇．若要使超市距離汽車站最近，則汽車站應(yīng)建在（）點A處 B．點B處 C．點C處 D．點D處解題技巧提煉抽象成利用“垂線段最短”和“兩點之間，線段最短”求解的模型，再借助垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)求解.【變式41】（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點確定一條直線 D．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【變式42】（2022?興寧區(qū)校級開學(xué)）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B．垂線段最短C．兩點之間，線段最短D．兩點確定一條直線【變式43】（2022?館陶縣二模）如圖，生活中，有以下兩個現(xiàn)象，對于這兩個現(xiàn)象的解釋，正確的是（）A.兩個現(xiàn)象均可用兩點之間線段最短來解釋；B．現(xiàn)象1用垂線段最短來解釋，現(xiàn)象2用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋；C．現(xiàn)象1用垂線段最短來解釋，現(xiàn)象2用兩點之間線段最短來解釋；D．現(xiàn)象1用經(jīng)過兩點有且只有一條直線來解釋，現(xiàn)象2用垂線段最短來解釋．【變式44】如圖，點P，點Q分別代表兩個村莊，直線l代表兩個村莊中間的一條公路．根據(jù)居民出行的需要，計劃在公路l上的某處設(shè)置一個公交站．（1）若考慮到村莊P居住的老年人較多，計劃建一個離村莊P最近的車站，請在公路l上畫出車站的位置（用點M表示），依據(jù)是；（2）若考慮到修路的費用問題，希望車站的位置到村莊P和村莊Q的距離之和最小，請在公路l上畫出車站的位置（用點N表示），依據(jù)是．【變式45】（2021秋?縉云縣期末）已知點直線BC及直線外一點A（如圖），按要求完成下列問題：（1）畫出射線CA，線段AB．過C點畫CD⊥AB，垂足為點D；（2）比較線段CD和線段CA的大小，并說明理由；（3）在以上的圖中，互余的角為，互補的角為．（各寫出一對即可）題型五點到直線的距離題型五點到直線的距離【例題5】（2022春?遜克縣期末）如圖，線段AB外有一點P過點P作PE⊥AB垂足為E，連接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是線段AB上任意一點，則P到M的最短距離為（）A．8cm B．6cm C．4.5cm D．無法確定解題技巧提煉分析圖形特征，結(jié)合已知條件利用點到直線的距離的定義:直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離得出答案.【變式51】（2022秋?道里區(qū)校級月考）如圖，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是點D，則下列說法正確的是（）A．線段AC的長表示點C到AB的距離 B．線段CD的長表示點A到CD的距離 C．線段BC的長表示點B到AC的距離 D．線段BD的長表示點C到DB的距離【變式52】（2022春?渠縣校級期中）下列說法中正確的個數(shù)有（）①兩點之間的所有連線中，線段最短；②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一直線的兩條直線互相平行；④直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式53】（2022春?九龍坡區(qū)校級期中）點P為直線l外一點，點A為直線l上一點，PA＝4cm，設(shè)點P到直線l的距離是dcm，則（）d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4【變式54】（2022春?巨野縣期中）直線l上有A、B、C三點，直線l外有一點P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P點到直線l的距離是（）A．等于2cmB．小于2cmC．不大于2cmD．大于2cm且小于3cm【變式55】（2021春?珠海校級期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．（1）畫出點C到AB的最短路徑CD；（2）請指出B到AC的距離是線段的長度．【變式56】（2022春?平橋區(qū)校級月考）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）點B到AC的距離是cm；點A到BC的距是cm．（2）畫出表示點C到AB的距離的線段，并求這個距離．題型六同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別題型六同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的識別【例題6】（2022春?叢臺區(qū)校級期末）同學(xué)們可仿照圖用雙手表示“三線八角”圖形（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．下面三幅圖依次表示（）A．同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角B．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角C．同位角、對頂角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯角、對頂角解題技巧提煉本題運用了定義法，識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，其關(guān)鍵是看兩個角所涉及的直線是否只有三條，并且有沒有一條邊在同一直線（截線）上，如果沒有，就不是；如果有，再根據(jù)角的位置特征判斷.【變式61】（2022春?八步區(qū)期末）如圖，下列說法中，錯誤的是（）A．∠1和∠4是內(nèi)錯角B．∠4和∠5是同旁內(nèi)角C．∠2和∠4是對頂角D．∠3和∠5是同位角【變式62】（2021春?渠縣期末）如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁內(nèi)角；④∠B與∠ACB不是同旁內(nèi)角，其中正確的是．（只填序號）【變式63】（2022春?趙縣月考）如圖所示，直線AB與BC被直線AD所截得的內(nèi)錯角是；直線DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯角是