點(diǎn)到直線的距離公式

第第頁2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)掌會用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問題.通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握點(diǎn)到直線的距離公式．難點(diǎn)：能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問題,通過點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.學(xué)情分析與教材分析學(xué)情分析：學(xué)生在此之前已學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)之間的距離公式、相交直線求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法、線線位置關(guān)系，初步掌握了“用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)”這一研究平面解析幾何問題的重要方法，并且高二的學(xué)生已經(jīng)基本能夠從特殊的情況中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而推廣為一般情況，所以本節(jié)課只要做好這種引導(dǎo)工作，學(xué)生是比較容易理解的。這也是本節(jié)課要突出的“從特殊到一般”的課堂設(shè)計(jì)的原因，能使學(xué)生充分地參與進(jìn)來，體會到成功的喜悅。教材分析：本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的距離公式。在前面已經(jīng)研究了兩點(diǎn)間的距離公式、直線方程、兩直線的位置關(guān)系，同時(shí)也介紹了“以數(shù)論形，以形輔數(shù)”的數(shù)學(xué)思想方法．“點(diǎn)到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計(jì)算；《點(diǎn)到直線的距離》的研究，又為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用．教學(xué)過程引入新知學(xué)校計(jì)劃在校園內(nèi)新建一座小型花園，以提高校園綠化率和美化環(huán)境?；▓@的設(shè)計(jì)需要考慮多個(gè)因素，其中之一就是確?；▓@邊緣與校園內(nèi)一條主要步行道的適當(dāng)距離，以保證行人的安全和花園的獨(dú)立性.設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)已經(jīng)確定了步行道的直線方程和花園邊緣上一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)P的坐標(biāo)。現(xiàn)在，他們需要計(jì)算這個(gè)點(diǎn)P到步行道的最短距離，以確定花園邊緣與步行道的最佳間隔.任務(wù)：利用點(diǎn)P的坐標(biāo)和步行道的直線方程，如何求點(diǎn)P到步行道的最短距離呢？有沒有一個(gè)數(shù)學(xué)公式可以直接幫助我們計(jì)算得到這個(gè)距離？設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)生活中點(diǎn)到直線距離的問題情境，引出在坐標(biāo)系下探究點(diǎn)到直線距離公式的問題，幫助學(xué)生學(xué)會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出點(diǎn)到直線的距離公式，讓學(xué)生感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法。新課探究回顧：在初中，“點(diǎn)到直線的距離”定義是什么？學(xué)生：回顧初中知識，并得出結(jié)論：定義：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，就是點(diǎn)到直線的距離.如右圖，點(diǎn)P到直線l的距離是垂線段PQ.探究：如圖，已知點(diǎn)，直線，如何求點(diǎn)到直線的距離?教師：提示：可以考慮用上節(jié)課學(xué)習(xí)的兩點(diǎn)間距離公式和求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)方法的知識，解決這個(gè)距離問題.學(xué)生：根據(jù)教師的提示，得到解決思路，并將該解題思路應(yīng)用到課堂引入情境中，完成老師布置的任務(wù).任務(wù)：求花園邊緣上關(guān)鍵點(diǎn)到步行道的最短距離.預(yù)設(shè)：如圖，過P作PQ垂直于l，垂足為Q，因?yàn)?，以及直線的斜率為，可得的垂線的斜率為，因此，垂線的方程為，即．解方程組①得直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，即垂足的坐標(biāo)為．于是即花園邊緣上關(guān)鍵點(diǎn)到步行道的最短距離為米.教師：完成任務(wù)是在具體的定點(diǎn)和直線的前提下，現(xiàn)在由特殊到一般情況，將此方法再次應(yīng)用到以上探究題上，并嘗試著完成探究過程，并得到一般化的點(diǎn)到直線的距離公式.學(xué)生：再一次用此方法（坐標(biāo)法）自行解決“探究”中提出的問題.預(yù)設(shè)：設(shè)，由，以及直線的斜率為，可得的垂線的斜率為，因此，垂線的方程為，即．解方程組①得直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，即垂足的坐標(biāo)為：．設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)推導(dǎo)過程是坐標(biāo)法的直接體現(xiàn)，思路自然，但運(yùn)算化簡過程稍顯繁雜.師生一起做一方面可以給學(xué)生起到示范作用，另一方面也讓學(xué)生掌握這種運(yùn)算.運(yùn)算需要訓(xùn)練和積累.于是．．因此，點(diǎn)到直線的距離．可以驗(yàn)證，當(dāng)，或時(shí)，上述公式仍然成立．公式：點(diǎn)到直線的距離公式：問題1：上述方法中，我們根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，思路自然但運(yùn)算量較大．反思求解過程，你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運(yùn)算的原因了嗎?學(xué)生：回顧推導(dǎo)過程，總結(jié)產(chǎn)生計(jì)算量大的幾個(gè)步驟預(yù)設(shè)：一是求點(diǎn)Q的坐標(biāo)復(fù)雜，二是代入兩點(diǎn)間距離公式造成了運(yùn)算的復(fù)雜.問題2：有何簡化運(yùn)算的方法？教師：提示：（1）在上述方法中，若設(shè)垂足的坐標(biāo)為，則．②對于②式，你能給出它的幾何意義嗎?（2）結(jié)合方程組①，能否直接求出，進(jìn)而求出呢?學(xué)生：著手試一試，上述運(yùn)算思路師生共同探討分析提出，運(yùn)算過程由學(xué)生自己完成.預(yù)設(shè)：（1）幾何意義：表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（2）利用方程組①，求出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).教師：引導(dǎo)學(xué)生體會“設(shè)而不求”數(shù)學(xué)思想，并進(jìn)行板書.預(yù)設(shè)：“設(shè)而不求”思想：設(shè)的是，求的是探究：我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具，能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離?學(xué)生：回顧向量的知識，進(jìn)行知識遷移推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.預(yù)設(shè)：設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，是與直線的方向向量垂直的單位向量，則是在上的投影向量，．問題3：如何利用直線的方程得到與的方向向量垂直的單位向量?學(xué)生：討論交流，嘗試著求出答案.預(yù)設(shè)：設(shè)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則是直線的方向向量．把，兩式相減，得．由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，向量與向量垂直．向量就是與直線的方向向量垂直的一個(gè)單位向量．我們?nèi)?，從而．因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以．所以．代人上式，得．因此．問題4：請你比較一下上述推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的坐標(biāo)法和向量法，它們各有什么特點(diǎn)？除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？教師：柯西不等式法回顧：在必修第二冊《平面向量及其應(yīng)用》中習(xí)題6.3的第16題中：學(xué)生：理解柯西不等式形式，并嘗試著應(yīng)用柯西不等式來推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.預(yù)設(shè)：已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離d為|PQ|的最小值.設(shè)計(jì)意圖：通過不同方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，體會算法的多樣性，同時(shí)比較不同推導(dǎo)方法，比較算法的優(yōu)劣，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。師生：認(rèn)真觀察分析點(diǎn)到直線距離公式，并進(jìn)行總結(jié)：公式分子的特點(diǎn)：保留直線方程一般式的結(jié)構(gòu)，只是把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入到了直線方程中，體現(xiàn)了公式與直線方程關(guān)系;注意，因?yàn)樗蟮氖蔷嚯x，所以要加絕對值保證結(jié)果為正；公式分母的特點(diǎn)：未知數(shù)系數(shù)的平方和再開根號.從向量法的推導(dǎo)過程中，我們也能發(fā)現(xiàn)實(shí)際是與已知直線垂直的方向向量的模.特殊情況：①如果在直線上，點(diǎn)P到直線的距離為0，②如果直線為，點(diǎn)P到直線的距離，③如果直線為，點(diǎn)P到直線的距離應(yīng)用新知例5求點(diǎn)到直線的距離．分析：將直線的方程寫成，再用點(diǎn)到直線的距離公式求解．詳解：點(diǎn)到直線的距離．問題5：直線有什么特性?由此你能給出簡便解法嗎?學(xué)生：思考并回答，一條垂直于x軸的直線，類比：求點(diǎn)到直線的距離．學(xué)生：思考并回答，跟蹤練習(xí)：求點(diǎn)到直線的距離．預(yù)設(shè)：教師：巡視學(xué)生練習(xí)情況，挑選典型解答示范，并要求學(xué)生獨(dú)立完成，并歸納總結(jié)，用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟.師生：歸納總結(jié)，用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟：第1步：確認(rèn)點(diǎn)的坐標(biāo)，和將直線方程化為一般式第2步：將點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)及直線一般式方程中A、B、C的五個(gè)值代入公式計(jì)算距離即可重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：將直線方程化為一般式方程是非常關(guān)鍵的！例6已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，求的面積．分析：由三角形面積公式可知，只要利用距離公式求出邊的長和邊上的高即可．詳解：如圖，設(shè)邊上的高為，則．．邊上的高就是點(diǎn)到直線的距離．邊所在直線的方程為，即．點(diǎn)到直線的距離．因此，.跟蹤練習(xí)：以BC為底，重新按照例題5方法在計(jì)算一遍三角形面積分析：由三角形面積公式可知，只要利用距離公式求出邊BC的長和邊BC上的高即可．詳解：設(shè)計(jì)意圖：在典例分析和練習(xí)中熟悉公式的基本結(jié)構(gòu)，并體會點(diǎn)到直線距離公式的初步應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。能力提升題型一：利用點(diǎn)到直線的距離公式求參數(shù)值（范圍）例題1（1）點(diǎn)(2，1)到直線3x＋4y＋C＝0的距離為3，求C的值預(yù)設(shè)：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或.（2）點(diǎn)到直線的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>7 B．a(chǎn)<-3C．a(chǎn)>7或a<-3 D．a(chǎn)>7或-3<a<7預(yù)設(shè)：根據(jù)題意，得>3，解得a>7或a<-3.（3）（多選題）已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．B．C． D．預(yù)設(shè)：因?yàn)楹偷街本€的距離相等，由點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離公式，可得化簡得，,解得或，故選BC.（4）若點(diǎn)在直線上，且到直線的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.預(yù)設(shè)：點(diǎn)在直線上，設(shè)，到直線的距離為，，解得：a=1或a=2，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.方法總結(jié)：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求參數(shù)值（范圍）的方法第1步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程：坐標(biāo)或方程中可能含參第2步：利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程（不等式）第3步：解方程（不等式）即可得到參數(shù)的值（范圍）題型二：點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的最值問題例題2（1）已知，若點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值等于（

）A． B． C． D．預(yù)設(shè)：過點(diǎn)M作交l于點(diǎn)N，則有，因此的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，即．故選：C方法總結(jié)：已知直線外一定點(diǎn)和直線上的動(dòng)點(diǎn)，求兩點(diǎn)距離最小值等價(jià)于定點(diǎn)到直線的距離.（2）設(shè)直線l：與直線平行，則點(diǎn)到l的距離的最小值為（

）A． B．1 C． D．預(yù)設(shè)：由已知兩直線平行，∴,∴直線,∴到l的距離的,當(dāng)時(shí)取到最小值,故選：方法總結(jié)：已知直線外含一個(gè)參的動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離，利用點(diǎn)到直線距離公式表示含有參數(shù)的式子，然后利用函數(shù)的觀點(diǎn)求最值.（3）設(shè)已知定點(diǎn)和直線：，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．預(yù)設(shè)：直線，整理得，由，解得，故直線過定點(diǎn)故點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故選：C方法總結(jié)：已知直線外一個(gè)定點(diǎn)到過某一定點(diǎn)的動(dòng)直線的最大距離：最大距離等于兩定點(diǎn)的距離.課堂小結(jié)隨堂限時(shí)小練求點(diǎn)P(3，－2)到下列直線的距離：①3x－4y＋1＝0；②y＝6；③y軸．預(yù)設(shè)：①根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得d＝eq\f(|3×3－4×（－2）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(18,5).②因?yàn)橹本€y＝6平行于x軸，所以d＝|6－(－2)|＝8.③d＝|3－0|＝3.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，則點(diǎn)A到BC邊的距離為()A． B． C． D．4預(yù)設(shè)：BC邊所在直線的方程為，即x＋y＋1＝0；則d＝,故選：B.求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點(diǎn)P(－1,0)的距離是的直線l的方程.預(yù)設(shè)：設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知，d＝eq\f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.已知直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A．6 B．3 C．4 D．7預(yù)設(shè)：由直線方程變形為：，由，解得，所以直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離是，故選：B.點(diǎn)到直線l：（為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值為．預(yù)設(shè)：∵直線，∴可將直線方程變形為，∴，解得，由此可得直線系恒過點(diǎn)，P到直線l的最遠(yuǎn)距離