2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊（配湘教版）教學(xué)課件 2.1.3 基本不等式的應(yīng)用

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1.3基本不等式的應(yīng)用課標(biāo)要求1.能夠利用基本不等式求代數(shù)式的最值.2.能夠利用基本不等式解決實(shí)際問題中的最值問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)利用基本不等式求最值已知x,y都為正數(shù),則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值

;

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),積xy有最大值

.

名師點(diǎn)睛利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件:一正、二定、三相等,這三個(gè)條件缺一不可.二定:積或和為定值.積為定值和有最小值;和為定值積有最大值.為了利用基本不等式,有時(shí)對給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.例如:中等號不成立,即此時(shí)不能用基本不等式求最值.另外,在連續(xù)使用公式求最值時(shí),取等號的條件很嚴(yán)格,要求同時(shí)滿足任何一次等號成立的字母取值存在且一致.過關(guān)自診1.某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站(

)A.5千米處

B.4千米處C.3千米處

D.2千米處A2.已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

4(2)若x+y=4,則xy的最大值是

.

4重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一利用基本不等式求代數(shù)式的最值1.通過變形后應(yīng)用基本不等式求最值【例1】

求下列代數(shù)式的最值,并求出相應(yīng)的x值.規(guī)律方法

利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件.解題時(shí)應(yīng)對照已知條件和欲求的式子,運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號方向;二不定,應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性(在第三章學(xué)習(xí)).

變式訓(xùn)練1

D2.應(yīng)用“1”的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值

4變式探究

1規(guī)律方法

利用基本不等式求條件最值問題時(shí),若所給條件為ax+by=1或可化為ax+by=1及

=1(其中a,b為常數(shù),x,y為變量),可利用“1”的結(jié)構(gòu),將待求式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,優(yōu)化為可以直接利用基本不等式求最值的式子.探究點(diǎn)二利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用中的最值問題【例3】

[2024甘肅臨夏高一?？计谀某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房,由于地理位置的限制,房子側(cè)面的長度x不得超過5米,房屋正面的造價(jià)為400元/平方米,房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/平方米,屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5800元.如果墻高為3米,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用,當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí),總造價(jià)y最低?最低總造價(jià)是多少元?規(guī)律方法

應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的思路與方法(1)理解題意,設(shè)出變量.(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問題.(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)根據(jù)實(shí)際背景寫出答案.變式訓(xùn)練2如圖,某人要圍成相同的四個(gè)長方形菜園,一面可利用原有的墻,其他各面用籬笆圍成.現(xiàn)有36m長的籬笆材料,每個(gè)菜園的長、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí),可使每個(gè)菜園面積最大?解

設(shè)每個(gè)菜園長x

m,寬y

m,則由條件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.設(shè)每個(gè)菜園的面積為S,則S=xy.當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時(shí)等號成立,此時(shí)x=4.5.故每個(gè)菜園的長為4.5

m,寬為3

m時(shí),可使每個(gè)菜園的面積最大.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345A123452.已知a,b均為正實(shí)數(shù),且a+2b=3ab,則2a+b的最小值為(

)A.3 B.4

C.6

D.9A123453.已知x>0,y>0,且x+4y=1,則xy的最大值為

.

123454.某電商自營店,其主打商品每年需要6000件,每年n次進(jìn)貨,每次購買x件,每次購買商品需手續(xù)費(fèi)300元,已購進(jìn)未賣出的商品要付庫存費(fèi),可認(rèn)為平均庫存量為

,每件商品庫存費(fèi)是每年10元,則要使總費(fèi)用(手續(xù)費(fèi)+庫存費(fèi))最低,則每年進(jìn)貨次數(shù)為