福建省泉州科技中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGE高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷第=2頁，共4頁PAGE14福建省泉州科技中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題留意事項：①本試卷分第I卷、第II卷兩部分，共150分，考試時間120分鐘．②選擇題、填空題答案表在答題卡中，請按要求作答．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）設(shè)向量，，則

A.B.C. D.與的夾角為若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為

A.1 B. C.i D.正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側(cè)棱長為2cm，則棱臺的側(cè)面積為

A. B. C. D.如圖，在中，點D在BC邊上，，，，則sinB的值為

B.C.D.在矩形ABCD中，對角線AC分別與AB，AD所成的角為，，則，在長方體中，對角線與棱AB，AD，所成的角分別為，，，與平面AC，平面，平面所成的角分別為，，，則下列說法正確的是

；

；

；

．A. B. C. D.我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽如圖，大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，E為BF的中點，則 B.C. D.已知三棱錐的頂點都在球O的球面上，，，平面ABC，若該三棱錐的體積是，則球O的表面積是

A. B. C. D.在中，，，，P為線段AB上的動點，且，則的最小值為

A. B. C. D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）設(shè)向量，則下列敘述錯誤的是

A.若，則與的夾角為鈍角B.的最小值為2

C.與垂直的單位向量為D.若，則已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

A.對應(yīng)的點在復(fù)平面的其次象限B.C.的實部為 D.的虛部為對于，有如下命題，其中錯誤的是

A.若，則為銳角三角形

B.若，，B=30°，則的面積為

C.P在所在平面內(nèi)，若，則P是的重心

D.若，則為等腰三角形如圖，直三棱柱中，全部棱長均為1，點E為棱上隨意一點，則下列結(jié)論正確的是

A.直線與直線BE所成角的范圍是

B.在棱上存在一點E，使平面

C.若E為棱的中點，則平面ABE截三棱柱所得截面面積為

D.若F為棱上的動點，則三棱錐體積的最大值為

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.設(shè)復(fù)數(shù)，則

．已知向量，，若，則_____．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，現(xiàn)有如下四個結(jié)論：平面三棱錐的體積為定值異面直線AE，BF所成的角為定值．其中正確結(jié)論的序號是

．已知三邊長分別為3，，，P是平面ABC內(nèi)隨意一點，則的最小值是__________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。如圖，在中，，E是的中點，設(shè)，．（Ⅰ）試用，表示；（Ⅱ）若，，且與的夾角為，求．

從下列三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答

在中，角所對的邊分別為滿意條件______

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若，，求b的值．

注：第一問多種選擇作答依據(jù)第一種選擇解答判分

如圖，四棱錐中，四邊形ABED是正方形，若G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點．（Ⅰ）求證：平面ABC．（Ⅱ）在線段CD上是否存在一點P，使得平面平面并說明理由．

在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)為AD，PC的中點．

（Ⅰ）求證：平面BEF；

（Ⅱ）求證：．

某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，，，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角已知．（Ⅰ）當(dāng)M，D重合時，求路燈在路面的照明寬度MN；（Ⅱ）求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值．

如圖，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G．（Ⅰ）證明G是AB的中點；（Ⅱ）在答題卡第22題圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影說明作法及理由，并求四面體PDEF的體積．

答案和解析1.【答案】C

【解答】

解：因為故A錯誤

因為，，所以，所以與不共線，故B錯誤

因為，，

所以

因為，所以，故D錯誤

因為，，所以，

所以，故C正確．

故選C．

2.【答案】D

【解答】

解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，

，解得．

又，，

則．

故選D．

3.【答案】A

【解答】解：正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm，3cm，側(cè)棱長為2cm，

所以棱臺的斜高為：．

所以棱臺的側(cè)面積是：．

故選：A．

4.【答案】B

【解答】解：因為，，

所以為等邊三角形，

所以，，

所以，

由余弦定理可得：

，

所以，

由正弦定理可得

，

故選B．

5.【答案】D

【解答】

解：由已知，

，

所以錯，對；

，

所以，對

，

所以，對．

故選D．

6.【答案】A

【解析】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．

不妨設(shè)，，則．

，解得．

設(shè)，則，．

，．

設(shè)，

則．

，．

，

故選：A．

7.【答案】D

【解答】

解：因為，，

易知三角形ABC為等腰直角三角形，

又平面ABC，所以PB為三棱錐的高，

因為三棱錐的體積，所以，

設(shè)球O的半徑為r，則，

所以球O的表面積．

故選D．

8.【答案】B

【解答】解：由題意，設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

由，得，

又，得，

可得，

依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，，

由，依據(jù)正弦定理得，

又，

解得，，

所以，

因為，

所以，

又A，B，P三點共線，且P為線段AB上的動點，

所以，，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，

所以的最小值為，

故選B．9.【答案】CD

【解答】

解：對于A、因為向量，

所以當(dāng)時，且，

即與的夾角為鈍角

，因此A正確；

對于B、因為，所以的的最小值為2，因此B正確；

對于C、設(shè)與垂直的單位向量為且，

所以且，解得或

因此與垂直的單位向量為或，所以C不正確；

對于D、因為，所以，解得或，所以D不正確；

故選CD．

10.【答案】BC

【解答】解：，

對應(yīng)點為在第三象限，

，實部為，虛部為，

選項B，C正確，選項AD錯誤．

故選BC．

11.【答案】ABD

【解答】

解：對于選項A：若，則

，

由正弦定理知：，

由余弦定理知：，又因為，所以C為鈍角，故A錯誤；

對于選項B：由余弦定理知：，

即，解得：或2，則

或，故B錯誤；

對于選項C：設(shè)AB的中單為D，則，因為，

所以，則P為CD的靠近D點的三等分點，由重心性質(zhì)知，P為的重心，故C正確；

對于選項D：若，A，B為三角形的內(nèi)角，則或，

即或，所以為等腰三角形或者直角三角形，故D錯誤；

故選ABD．

12.【答案】AC

【解析】解：，直線與直線BE所成角的范圍可轉(zhuǎn)化為直線與直線所成角的范圍，又點E為棱上隨意一點且是等腰直角三角形，直線與直線BE所成角的范圍是，對；

作交BC于點O，連接可知四邊形是平行四邊形，假設(shè)平面成立，則中對的角是直角最大，這與沖突，假設(shè)不成立，錯；

作交于點G，連接GA，得截面四邊形ABEG是等腰梯形，直三棱柱中，所在棱長均為1且若E為棱的中點，得，，，梯形高，梯形面積即截面積為：，對；

三棱錐體積可轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積，由圖可知點E到棱的距離即為點E究竟面ABF的距離．點E為棱上隨意一點，點E到棱的距離的最大值是點到的距離，底面的面積是定值，三棱錐體積的最大值為，錯．

故選：AC．

直線與直線BE所成角的范圍可轉(zhuǎn)化為直線與直線所成角的范圍，可推斷選項A；

作交BC于點O，連接若平面成立，則，可分析邊長推斷選項B；

作交于點G，連接GA，得截面四邊形ABEG，計算該四邊形面積可推斷選項C；

求三棱錐體積可轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積，計算可推斷選項D；

13.【答案】

14.【答案】

【解答】

解：向量，，

，

，

，，

，

．

故答案為．

15.【答案】

【解答】

解：由，，，可得平面，又平面，故可得出，此命題正確

由正方體的兩個底面平行，EF在平面內(nèi)，故EF與平面ABCD無公共點，故有平面ABCD，此命題正確

為定值，B到EF距離為定值，所以的面積是定值，又因為A點到平面距離是定值，故可得三棱錐的體積為定值，此命題正確

由題干圖知，當(dāng)F與重合時，此時E與上底面中心O重合，則兩異面直線所成的角是，，當(dāng)E與重合時，此時點F與上底面中心O重合，則兩異面直線所成的角是，，，，由余弦定理得，，所以，所以這兩個角不相等，故異面直線AE，BF所成的角不為定值，此命題錯誤，故答案為．16.【答案】

【解答】

解：不妨設(shè)，

則由余弦定理有，

所以，

設(shè)，

則，

，

則

，

同理，

，

所以

，

當(dāng)時，取等號，

又，

當(dāng)時，取等號，

所以當(dāng)時，取得最小值．

故答案為．

17.【答案】解：

；

由題意可得，

，

．

18.【答案】解：選，

，

，

，

選，，

，

即，

，

，

，

選，

，

即

，

，

，

，

，

；

，

由余弦定理得

，

．

19.【答案】解：連接AE，如圖，四邊形ABED是正方形，F(xiàn)是BD的中點，是AE的中點．又G是EC的中點，．平面ABC，平面ABC，平面ABC．存在，且點P為CD的中點．理由如下：如圖，取CD的中點P，連接GP，F(xiàn)P，，P分別為BD，CD的中點，

．又平面ABC，平面ABC，

平面ABC．又平面ABC，，

平面平面ABC．20.【答案】證明：Ⅰ連接AC交BE于O，并連接EC，F(xiàn)O，

，，E為AD中點，

，且，

四邊形ABCE為平行四邊形，

為AC中點，

又為PC中點，

．

平面BEF，平面BEF，

平面BEF．

Ⅱ連接PE，，E為AD中點，

，

，E為AD的中點，

四邊形BCDE為平行四邊形，

，

，

，

，PE、BE都在平面PBE內(nèi)．

平面PBE，

平面PBE，

．

21.【答案】解：當(dāng)重合時，

由余弦定理知，，

所以，

因為，所以，

因為，所以，

因為，所以

，

在中，由正弦定理可知，，

解得；

易知E到地面的距離，

由三角形面積公式可知，，

所以，

又由余弦定理可知，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，

解得．

答：路燈在路面的照明寬度為；

照明寬度MN的最小值為．

22.【答案】解：證明：為正三棱錐，且D為頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影，

平面ABC，平面ABC，

則，

又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影，

面PAB，面則，

，PD，平面PDE，

平面PDE，連接PE并延長交AB于點G，

則，

又，

是AB的中點；

在平面PAB內(nèi)，過點E