山西省同煤二中聯(lián)盟體2025屆高三數(shù)學(xué)3月模擬考試試題文含解析

PAGE22-山西省同煤二中聯(lián)盟體2025屆高三數(shù)學(xué)3月模擬考試試題文（含解析）一、選擇題（每小題5分，共12小題60分）1.已知集合,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求集合A和集合B，然后取交集即可.【詳解】,,則,故選D【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采納幾何法，依據(jù)點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行公式法或幾何法，利用方程思想解題．3.已知命題；命題，若為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若為真命題，則都是真命題，由此可得范圍．【詳解】命題，是真命題時(shí)，可得；命題，是真命題時(shí)，，解得.若為真命題，則兩個(gè)命題都是真命題，可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，考查由復(fù)合命題的真假求參數(shù)問題，駕馭復(fù)合命題的真假判定是解題關(guān)鍵．4.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值等于()A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】按分類探討．【詳解】∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴（舍棄）.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，分段函數(shù)求函數(shù)值時(shí)要依據(jù)自變量的取值范圍的不同選用不同的表達(dá)式．5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先推斷奇偶性,再分別代入進(jìn)行解除即可.【詳解】依題意,,,故函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,解除C；而,解除B；而,,故,解除D,故選:A．【點(diǎn)睛】推斷圖像的問題,可以考慮推斷單調(diào)性、代入圖像中有的橫坐標(biāo)的點(diǎn)進(jìn)行分析解除即可.6.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，再依據(jù)已知解析式求結(jié)果.【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，選C.【點(diǎn)睛】函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性或周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及對(duì)稱性或周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．7.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)條件可得tan=2，再利用兩角差正切公式即可得到結(jié)果.詳解:由條件整理得：sin=2cos，即=2，則tan=2，∴故選C點(diǎn)睛:此題考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角差正切公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，嫻熟駕馭基本公式是解本題的關(guān)鍵．8.在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，，，則的面積為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】三角形的面積公式為，故須要求出邊與，由余弦定理可以解得與.【詳解】解：在中，將，代入上式得，解得：由得所以，故選D.【點(diǎn)睛】三角形的面積公式常見形式有兩種：一是（底高），二是.借助（底高）時(shí)，須要將斜三角形的高與相應(yīng)的底求出來；借助時(shí)，須要求出三角形兩邊及其夾角的正弦值.9.在直三棱柱中，，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，利用空間向量夾角余弦公式能求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】在直三棱柱中，，且，點(diǎn)是，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則,異面直線與所成角的余弦值為，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題．求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，依據(jù)幾何體的特別性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.10.過三點(diǎn)，，的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則（）A.2 B.8 C.4 D.10【答案】C【解析】【詳解】由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點(diǎn)，半徑為長(zhǎng)為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點(diǎn)：圓的方程．11.雙曲線C:的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為A.2sin40° B.2cos40° C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線漸近線定義可得，再利用求雙曲線的離心率．【詳解】由已知可得，，故選D．【點(diǎn)睛】對(duì)于雙曲線：，有；對(duì)于橢圓，有，防止記混．12.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象及直線視察它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)函數(shù)要分類探討，求在原點(diǎn)處或過原點(diǎn)的切線斜率．【詳解】如圖，數(shù)形結(jié)合，視察直線與曲線的位置關(guān)系.當(dāng)，故在處的切線方程為.當(dāng)，同理可得在處的切線方程為.當(dāng)，設(shè)切點(diǎn)為，其中，則過該點(diǎn)的切線方程為，代入，得，故過的切線方程為.可得當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合思想求解．二、填空題（每小題5分，共4小題20分）13.已知函數(shù)，則的值為__________．【答案】【解析】，，解得，故，故答案為.14.在中，，，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則的值為______．【答案】3【解析】【分析】由題中幾何關(guān)系可知，求解即可．【詳解】由題意，，，，則.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知AB平面BCD,，則三棱錐的外接球的體積為【答案】【解析】【分析】以為底面，為棱構(gòu)建直三棱柱，故直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，利用正弦定理求出底面外接圓的半徑，依據(jù)勾股定理即可得到外接球的半徑，最終依據(jù)體積計(jì)算公式即可得結(jié)果.【詳解】以為底面，為棱構(gòu)建直三棱柱，故直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)的中心為，外接球的球心為，在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得底面外接圓的半徑滿意，得，所以外接球的半徑滿意，即所以球的體積為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題已知三棱錐的底面為三角形，求三棱錐的外接球體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與球內(nèi)接多面體等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直三棱柱，得到外接球的球心及半徑，屬于中檔題.16.某校早上8∶00起先上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7∶30～7∶50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】試題分析：設(shè)小張到校的時(shí)間為，小王到校的時(shí)間為，可以看成平面中的點(diǎn)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槭且粋€(gè)矩形區(qū)域，對(duì)應(yīng)的面積為，則小張比小王至少早5分鐘到校事務(wù)．作出符合題意的區(qū)域?yàn)閳D中的面積．因?yàn)?，所以由幾何概型可知小張比小王至少?分鐘到校的概率為．考點(diǎn)：幾何概型【方法點(diǎn)睛】求幾何概型，一般先要求出試驗(yàn)的基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），再求出事務(wù)構(gòu)成區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），最終再代入幾何概型的概率公式求解．求幾何概型概率時(shí)，肯定要分清“試驗(yàn)”和“事務(wù)”，這樣才能找準(zhǔn)基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）．三、解答題（每小題12分，共5小題60分）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1).(2)證明見解析.【解析】試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)n=1時(shí)，有.數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（II）由（I）有，則,用裂項(xiàng)相消法可求其前n項(xiàng)和.試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，有，解得.當(dāng)時(shí)，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（II）由（I）有，則故得證.18.電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視狀況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．下面是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．(Ⅰ)依據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？

非體育迷

體育迷

合計(jì)

男

女

合計(jì)

(Ⅱ)將日均收看該體育項(xiàng)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性，若從“超級(jí)體育迷”中隨意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．

0.05

0.01

k

3.841

6.635

附【答案】見解析【解析】【詳解】由頻率分步直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而列聯(lián)表如下：

非體育迷

體育迷

合計(jì)

男

30

15

45

女

45

10

55

合計(jì)

75

25

100

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得因?yàn)?，所以我們沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．（2）由頻率分步直方圖可知，“超級(jí)體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果所組成的基本領(lǐng)件空間為其中表示男性，表示女性，由10個(gè)基本領(lǐng)件組成，而且這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事務(wù)，則事務(wù)A由7個(gè)基本領(lǐng)件組成，因此【點(diǎn)睛】本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)問和方法以及線性相關(guān)問題.其次問求概率關(guān)鍵是把“從“超級(jí)體育迷”中隨意選取2人”的全部狀況找清晰19.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，依據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）依據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點(diǎn)C到平面的距離，得到結(jié)果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點(diǎn)，所以，依據(jù)題意有，，因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，所以有平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，依據(jù)題意有，則有，解得，所以點(diǎn)C到平面的距離為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離的求解，在解題的過程中，留意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，留意平行線的找尋思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生?？嫉膬?nèi)容.20.橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【詳解】（1）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（0，－b），（0，b）又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），且＝－1于是，解得a＝2，b＝所以橢圓E方程為.（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）聯(lián)立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0其判別式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0所以從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝＝－所以，當(dāng)λ＝1時(shí)，－＝－3，此時(shí)，＝－3定值.當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD此時(shí)＝－2－1＝－3故存在常數(shù)λ＝1，使得為定值－3.考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、平面對(duì)量等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特別與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.21.已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo)，可推斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而得到單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可推斷出唯一零點(diǎn)所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)可推斷出，；分別在，，和的狀況下依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)推斷單調(diào)性，從而確定恒成立時(shí)的取值范圍.【詳解】（1）令，則當(dāng)時(shí)，令，解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減又，，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，即無零點(diǎn)，使得又在上單調(diào)遞減為，即在上的唯一零點(diǎn)綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)（2）若時(shí)，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減且，，，①當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立在上單調(diào)遞增，即，此時(shí)恒成立②當(dāng)時(shí)，，，，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，即恒成立③當(dāng)時(shí)，，，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時(shí)，，可知不恒成立④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減可知不恒成立綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、依據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對(duì)于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采納構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.四、本題共2道小題，每小題10.0分，選擇其中1題作答.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿意，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)出P的極坐標(biāo)，然后由題意得出極坐標(biāo)方程，最終轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為；（2）利用（1）中的結(jié)論，設(shè)出點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為（）（＞0），M的極坐標(biāo)為（）由題設(shè)知|OP|=，=由|OP|=16得的極坐標(biāo)方程因此的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（）.