專題14 立體幾何綜合（5大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．3、平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．五、空間角公式1、異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．2、線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．3、二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．六、空間中的距離求解空間中的距離1、異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．2、點(diǎn)到平面的距離為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．一、解答題1．（2024·江西九江·三模）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，為等邊三角形.(1)證明：；(2)若二面角的大小為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用等腰三角形性質(zhì)，線面垂直的判定性質(zhì)推理即得.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接線段，由，得，由，得為等邊三角形，則，又平面，于是平面，又平面，所以.（2）由（1）知為二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過作，顯然直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，由，得，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，得，而，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則，因此，所以二面角的正弦值為.2．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，三棱錐中，平面平面，平面平面，平面平面，(1)求證：兩兩垂直；(2)若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在上任取一點(diǎn)，作交于，作交于，證明平面，從而證明，繼而推出，即可證明平面，繼而可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法啊，即可求得答案.【詳解】（1）在上任取一點(diǎn)，作交于，作交于，由平面平面交于面，，則平面，又平面，則，同理，又由平面，可得平面，平面，則．同理可得，即兩兩垂直．（2）分別以DB，DC，DA所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得，有，設(shè)面的法向量，則由，即，可?。O(shè)與平面所成角為，則，則與平面所成角的正弦值為3．（2024·四川成都·三模）如圖，三棱柱所有棱長都為2，，D為與交點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直判定定理證明，即先證明平面，再證明面平面.

（2）先建系，然后求解出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，代入公式即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)O，取中點(diǎn)E，連接，，，因?yàn)槿庵欣忾L都為2，，有，，E為的中點(diǎn)，四點(diǎn)共面，所以，且，、平面，，所以平面，又平面，故平面平面．（2）因?yàn)?，所以平面，平面，所以，所以為直角三角形，所以，所以，在中，?/p>

以O(shè)為原點(diǎn)，作平面，以，，方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，由，所以，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，

記二面角的大小為，且為銳角，則，即二面角的平面角的余弦值為．

4．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面：(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合中位線定理得到，最后證明四點(diǎn)共面即可.（2）找到對應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)椋闹悬c(diǎn)分別為，，所以所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋闹悬c(diǎn)分別為，，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面；（2）連接，，且延長交于點(diǎn)，由題意知，，所以，同理，所以就是二面角的平面角，設(shè)，則，，，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.5．（2024·北京順義·三模）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，，，，.(1)判斷AD是否平行于平面CEF，并證明；(2)若面面；求：（?。┢矫媾c平面CEF所成角的大小；（ⅱ）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.【答案】(1)與平面不平行，證明見解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）取中點(diǎn)，證明，假設(shè)平面，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明，推出矛盾，可得結(jié)論；（2）（i）證明線線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面與平面的角，（ii）利用向量方法求點(diǎn)到平面距離.【詳解】（1）不平行于平面，理由如下：取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以則四邊形為平行四邊形，所以，又，所以不平行于，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面所以，與不平行于矛盾，所以假設(shè)不成立，即不平行于平面；（2）取中點(diǎn)，連接因?yàn)榱庑危詾檎切?，又為中點(diǎn)，所以，由于，所以，又面面，面面，面所以面，因?yàn)槊?，所以又因?yàn)椋?，所以面，而面，所以，所以如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則（i）因?yàn)槊妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗?，令，設(shè)平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ii）因?yàn)?，由（i）知平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)到平面的距離為.6．（2024·安徽合肥·三模）如圖一：等腰直角中且，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形使得，沿三邊折疊，使得，重合于，如圖二(1)求證：．(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）補(bǔ)全圖形得到三棱錐，由線面垂直證得；（2）思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量求解線面角；思路二：等體積法求得到平面的距離，再用幾何法求得線面角.【詳解】（1）延長交于點(diǎn)過作于，過作于，又四邊形為等腰梯形，則，則，又，所以，為的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，則，與重合于點(diǎn)，為三棱錐，設(shè)為中點(diǎn)，等腰直角中，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，∴，，又平面平面，又平面，.（2）方法一：為中點(diǎn)，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.方法二：為中點(diǎn)，，，又，又，平面，∴平面，，為等邊三角形，設(shè)到平面的距離為，∴，.所以直線與平面所成角的正弦值為.7．（2024·河北秦皇島·三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，.(1)證明：.(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）通過線面、面面的位置關(guān)系證平行四邊形為菱形即可；（2）先證平面，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求解.【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以四邊形為菱形，?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平面；以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為，則令，則，，可得.設(shè)平面的法向量為，則令，則，，可得.，故二面角的正弦值為.8．（2024·河南·三模）如圖，在直三棱柱中，是棱BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)不重合），且，過作平面的垂線．(1)證明：；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求AC與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證得；（2）法1：由三棱錐的體積最大推理得到最大，利用基本不等式得，作于，可推得平面，得到AC與平面所成的角等于，解三角形即得；法2：依題建系，分別求得和平面的法向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以．又平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．?）因?yàn)?，所以?dāng)三棱錐體積最大時(shí)，最大．由（1）可知平面，因?yàn)槊妫裕?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即當(dāng)最大時(shí)，．法1：綜合法如圖，作于，連結(jié)AH.由（1）可知平面，因?yàn)槊?，所以．又平面，所以平面．因此，AC與平面所成的角等于．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．在Rt中，，所以，因此,在Rt中，．所以AC與平面所成角的正弦值．法2：向量法在平面內(nèi)，作交于，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面ABC．分別以DC，DA，DE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則．設(shè)平面的法向量為，易得，可?。颍瑒t，所以AC與平面所成角的正弦值等于．9．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，，進(jìn)而證明為平行四邊形，可得，再證明，由面面平行的判定定理得證；（2）方法1，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；方法2，先證明平面平面，過作交于，則就是直線與平面所成角，利用平面幾何求出最小，得解.【詳解】（1）連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，為半個(gè)圓柱上底面的直徑知，由，，知，，則，又四點(diǎn)共面，所以，由為直三棱柱的側(cè)面知，即，則，由為的中點(diǎn)得，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，，則平面，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，又平面，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）（法一）以為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)，則，由平面平面知直線與平面所成角即為直線與平面所成角，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，則時(shí)，的最大值為．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．（法二）在直三棱柱中，底面，因?yàn)榈酌妫?，由?）知，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面平面，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，因?yàn)椤?，且正方形的邊長為2，所以，則，又，要使值最大，則最小，在中，過作交于，由等面積可求出，此時(shí)．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．10．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).(1)證明：直線平面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，借助三角形中位線及平行四邊形性質(zhì)，利用線面平行的判斷推理即得.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，，由為的中點(diǎn)，得，，在正方形中，是中點(diǎn)，得，，則且，即四邊形為平行四邊形，因此，又平面平面，所以直線平面.（2）由底面，且四邊形為正方形，得直線兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)，則，，由，得，，而，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面與平面的夾角的為，，所以平面與平面的夾角的余弦值為.11．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)．(1)求；(2)求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，可得平面的法向量，由平面，可得與垂直，計(jì)算即可得解；（2）求出平面與平面的法向量，借助夾角公式計(jì)算其夾角余弦值后即可得其正切值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、，設(shè)，則、，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，，即，由平面，則，解得，故；（2），，設(shè)平面的法向量分別為，則有，令，則有，，即，由軸平面，故平面的法向量可為，則，則，則二面角的平面角的正切值為.12．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱臺中，，，.(1)證明：平面平面；(2)若，四棱臺的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）由已知，在中，由正弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，由勾股定理的逆定理可得，則平面，則得平面平面；（2）由（1）和已知，可得四棱臺的上、下底面面積，再由四棱臺的體積公式求出高，由（1）可得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出設(shè)平面和平面的法向量，則由坐標(biāo)運(yùn)算得到平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，在中，由正弦定理，得，所以，所以，則由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，即，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知四棱臺的下底面面積，因?yàn)椋陨系酌婷娣e，設(shè)四棱臺的高為，則四棱臺的體積為，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以兩兩垂?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為，由題可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.13．（2024·山東煙臺·三模）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若D為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明即可；（2）當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的位置，再求出二面角所對應(yīng)的兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可運(yùn)算求解.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，而平面，平面，所以，，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，所以兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，M，N分別為，中點(diǎn)，所以，，所以，所以，所以，即；（2）由（1）得，，設(shè)，所以，因?yàn)槠矫?，所以取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為，所以與平面所成角的正弦值為，若要與平面所成角最大，則當(dāng)且僅當(dāng)最大，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以平面和平面是同一個(gè)平面，所以平面，所以可取平面的一個(gè)法向量為，若的坐標(biāo)為，且注意到，所以，設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，解得，所以取平面的一個(gè)法向量為，由圖可知二面角是銳角，所以二面角的余弦值為，綜上所述，二面角的余弦值為.14．（2024·四川成都·三模）中國是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”.如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐，其中，，交于點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）只需結(jié)合已知分別證明，，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量、平面的法向量，由向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋跃诘拇怪逼椒志€上，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）由（1）可知，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)垂直于底面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，從而由等面積法，可知，由勾股定理，可知，由（1）可知，所以，由（1）可知，而平面平面，平面，平面，且二面角為，所以，所以與軸所在直線的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.15．（2024·山東青島·三模）如圖所示，多面體，底面是正方形，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，側(cè)面與是全等的等腰梯形，，其余棱長均為2.(1)證明:平面；(2)若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）取中點(diǎn)，通過證明平面，平面平面，得證平面.（2)以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與平面所成角的正弦值為，利用向量法求出的值即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)閭?cè)面是等腰梯形，所以，又，所以，和都是邊長為2的等邊三角形，得，所以四邊形為等腰梯形，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，故平?（2）在梯形中，，等腰梯形中由勾股定理得，取中點(diǎn)，由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得設(shè)，，設(shè)直線與平面所成角為，所以.解得（負(fù)值舍去)，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以的長為1.16．（2024·新疆喀什·三模）如圖，在正四棱臺中，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于，連接交于，連接，依題意得平面，即可得到，再由，即可得證；（2）首先求出以及，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）連接交于，連接交于，連接，∵四棱臺是正四棱臺，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面．（2）在等腰梯形中，，，所以，在等腰梯形中，，所以，兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值．17．（2024·浙江·三模）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，平面底面，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P到平面的距離；(2)當(dāng)平面與平面的夾角的余弦值為時(shí)，求．【答案】(1)．(2)【分析】（1）利用等體積變化的方法進(jìn)行計(jì)算距離；（2）利用空間向量法計(jì)算距離；【詳解】（1）作的中點(diǎn)D，連接，，連接，，，因?yàn)辄c(diǎn)D，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，所以，且，又由三棱柱的定義，結(jié)合點(diǎn)E為的中點(diǎn)可知：，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，所以當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)E到平面的距離；因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，由平面平面，且平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以，所以是三棱錐的高，所以，在等邊三角形中，,因?yàn)?，所以直角三角形中又，三角形是等腰三角形，，設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為d，則，解得．即點(diǎn)P到平面的距離為．（2）以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，所以，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即，所以，所以，解得或（舍去）．所以，即的長為．18．（2024·湖南邵陽·三模）如圖所示，四棱錐中，平面，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，取的中點(diǎn)，連接，利用平行四邊形的判定及性質(zhì)可得，則有，然后根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求得線面角的正弦值.【詳解】（1）連接，取的中點(diǎn)，連接，則.又，，四邊形為平行四邊形，，，即，又平面，平面，，又，平面，平面，平面，又平面，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，依題意得，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則取，得，．.設(shè)直線與平面所成角為，則有.直線與平面所成角的正弦值為.19．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若，，線段上的點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)為，利用直角梯形中位線的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)判定推理即可；（2）通過正三角形證明，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角得向量求法計(jì)算求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，由條件可得為梯形的中位線，則，又，則，且，平面，平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，得平面，平面，.由，則，又，為梯形的兩腰，則與相交，平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中點(diǎn)為Q，由，，則，，因此△為等邊三角形，.由（1）知平面，，，兩兩垂直，如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由，，則，，，，，由，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，即平面的一個(gè)法向量為.記平面與平面夾角的大小為，所以，化簡得，即，所以實(shí)數(shù)的值為.20．（2024·貴州六盤水·三模）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，平面平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，先證四邊形是平行四邊形，可得，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）結(jié)合余弦定理與勾股定理可證，利用面面垂直的性質(zhì)定理知平面，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，且，因?yàn)?，，，所以所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）在中，，所