第13講 軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)（題型訓(xùn)練）（解析版）-2022年中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第13講軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)

題型一軸對(duì)稱

L如圖，在矩形4B8中，AB=2,AD=3,動(dòng)點(diǎn)P滿足：S則點(diǎn)尸到8,

C兩點(diǎn)距離之和PB+PC的最小值為（）

A.回B.V13C.V15D.273

【答案】B

【解析】解：設(shè)APBC中BC邊上的高是小

,?*S&PBC=~~S矩形A8CD.

4

：.^-BC-h=-AB>AD,

24

.'.h=^AB=1,

動(dòng)點(diǎn)尸在與8c平行且與BC的距離是1的直線/上，

如圖，作8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)E,連接CE,則CE的長(zhǎng)就是所求的最短距離.

在RdBCE中,；8C=3,BE=BA=2,

CE=yjAB2+BC2=V13>

即PB+PC的最小值為E.

故選：B.

2.（2021?廣西?南寧三中九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4（-2,4）關(guān)于x軸

對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）

A.（-2,4）B.（-2,-4）C.（2,-4）D.（2,4）

【答案】B

【解析】???點(diǎn)A（-2,4）,

關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)8的坐標(biāo)是（-2,-4）,

故選從

3.（2021?重慶一中九年級(jí)期中）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱圖形，

但不是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解析】解：A.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意：B.是軸對(duì)稱

圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C.不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，

故本選項(xiàng)不合題意；D.既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.故

選：B.

4.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試）如圖在四邊形ABEC中，NBEC和ZBAC都

是直角，且A8=AC.現(xiàn)將ABEC沿8c翻折，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡,8E與AC邊相交于。

點(diǎn)，恰好8E是的角平分線，若CE=1,則8。的長(zhǎng)為（）

A.1.5D.73

【答案】C

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)（7￡和區(qū)4相交于點(diǎn)尸,

由翻折可知：

NBEC=NE=90。,CE=CE=T,

5E是乙48c的角平分線，

:?/CBE=4FBE,

BE=BE,

???△B'EC^ABE'F,

:.EF=CE=\,

:.CF=2,

ZFC4+ZF=90°,NQ8A+N/=90。，

.\ZFCA=ZDBA,

ZFAC=ZDAB=90°,AB=AC,

△FCA^ADBA,

:.BD=CF=2.

故選：c.

3

5.（2021?福建省同安第一中學(xué)一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=5,VanB=~,過點(diǎn)A

4

作AE_L8C于點(diǎn)E,現(xiàn)將AABE沿直線AE翻折至△AfE的位置，AF與CD交于點(diǎn)、G,則

△CFG的面積為（）

【答案】B

［解析］解：過G作AO于H,延長(zhǎng)“G交C尸于M,

3AE

VAELBC,tanB=-=—,AB=5

4BE

設(shè)AE=3x,8E=4x,

222

根據(jù)勾股定理AE+BE=AB即（3x）2=$2,

解得x=l

ABE=4,AE=3,

丁四邊形ABC。為菱形，

：.AD=AB=BC=5,AD〃BC,

???XABE沿直線AE翻折至△AFE,

:?EF=BE=4,

：.EC=BC-AE=5-4=\f

：.CF=EF-EC=4-l=3,

?:AD〃CF,

:?ND=/GCF,NDAG=NF,

???/\ADGS/\FCG,

.ADHG5

**FC-MG-3

又?：HM上AD,AE1.AD,AD〃BF,

:?HM=AE=3,

設(shè)HG=5〃，MG=3nf

.,.5n+3n=3,

3

解得〃=?,

o

9

MG=3〃=一,

8

11997

/.△CFG的面積二一CF?GM=-x3x-=—.

22816

故選：B.

6.（2021?湖北江岸?模擬預(yù)測(cè)）有一張矩形紙片ABC。，己知A8=2,AD=4f上面有一個(gè)

以A。為直徑的半圓，如圖甲，將它沿。石折疊，使A點(diǎn)落在8C上，如圖乙，這時(shí)，半圓

還露在外面的部分（陰影部分）的面積是（）

圖甲圖乙

2

A.%-2百B.L兀+6C.-n—\/3D.一%+G

233

【答案】C

【解析】解：設(shè)陰影部分所在的圓心為O,AD與半圓弧交于點(diǎn)尸,如圖，連接。凡作

圖乙

VAD=4,CD=2,

：.ZDAC=30°,

VOD//BC,OD=OF=2,

：.ZODF=ZOFD=/D4c=30°,

ZDOF=18O°-3O°-3O°=120°,

在RmDOM中,

OM=OO”i〃30°=2xg=l,

DM=OD>cos300=2x正=6

2

，DF=2DM=2#)，

?,?S用彩部分=5騎修OOF-SAODF

故選：C.

7.（202卜湖北襄州?二模）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,把RtA4BC沿斜邊A3折

疊，得到△ABO,過點(diǎn)。作交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CN〃A。，分別交A8,

BD于點(diǎn)M,N,若01=3,DE=2^2,貝lj也=()

AM

【答案】C

【解析】連接OM，如圖,

由對(duì)稱的性質(zhì)可知，ZDMA=ZCMA,

又,：CNHAD,

JZDAM=ZCMA,

:.ADMA=ZDAM.

:.DM=DA,

又,:DM=MC=3,

.??DA=3,

,在M/kADE中，AE=y/AD2-DE2=^32-（272）2=1.

又丁ZDMA=ZCMA=ZDAM=ZCAM,

：.ZDMN=ZDAE,

又?：DM=DA,ZDNM=ZE,

：.公DMN%公DAE,

:?MN=AE=\,

CN//AD,

：.Z\BNMS^BDA,

.BMMN_1

??"一而一3'

?BM1

AM-2,

故選：C.

8.（2021?河北?中考真題）如圖，直線/,加相交于點(diǎn)O.P為這兩直線外一點(diǎn),且OP=2.8.若

點(diǎn)尸關(guān)于直線/,加的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)小鳥，則4，4之間的距離可能是（）

【答案】B

【解析】解:連接。＞咐,OR,鵬,66,如圖,

是P關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)，

直線1是鵬的垂直平分線，

OPl=OP=2.8

???巴是P關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)，

宜線m是尸鳥的垂直平分線，

OP2=OP=2.8

當(dāng)耳,。，鳥不在同條直線上時(shí)，oq-O8＜46＜06+0鳥

即0＜秋＜5.6

當(dāng)匕0,鳥在同一條直線上時(shí)，4￡=。＜+。8=5.6

故選：B

9.（2021?江蘇姑蘇?二模）如圖，在aABC中，￡>是AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)8。，把a(bǔ)BDC沿

8。翻折，得到ABOC,￡>C與AB交于點(diǎn)E,連結(jié)AC',若AD=AU=2,80=3,則

點(diǎn)。到3。的距離為（）

【答案】B

【解析】如圖，過點(diǎn)。作。尸J_AC',垂足為尸，過點(diǎn)8作8G_L4C,交AC的延長(zhǎng)線于G,

:把△BCD沿8。翻折，得到△BDC

：.DC=DC,NBDC=NBDC,

是AC邊上的中點(diǎn)，

DC=AD,

,：AD=AC'=2,

：.DC'=AD=AC'=2,

...△ADC'是等邊三角形，

NBDC=NBDC=ZADC'=ZDC'A=60°,

：.AGHHD,

：.ZBDF=ZAFD,

,CDFLAC,

：.AF=FC=\,

DF=ylAD2-AF2=y/22-12=6，

VDF171C,BG1AC,

：.NAFD=NDFC=NG=9Q。,

ZBDF=90°t

???四邊形8DFG是矩形，

；?FG=BD=3,BG=DF,

??BG—>]3,GC—2,

?*.BC=^BG2+GC-=百+（揚(yáng)2=幣,

設(shè)點(diǎn)D到BC'的距離為h,

：.S.=-BC'-h=-BD.DF,

nBDwC22

-x>/7x/i=—x3x>/3,

22

.,3&T

..h-------,

7

故選B.

10.（2021?四川成都?三模）如圖，將邊長(zhǎng)為6的正六邊形A8COE尸沿“G折疊，點(diǎn)5恰好

落在邊AF的中點(diǎn)上，延長(zhǎng)B'C'交EF于點(diǎn)V,則C'M的長(zhǎng)為（）

喈''.

&????????.

月“、

B'

D'

65

A.1B.-C.D

56-?

【答案】A

【解析】解：如圖，過點(diǎn)“作￡4延長(zhǎng)的垂線”Q,

ZBAF=120°,

??.NHAQ=60°,ZHQA=90°f

:.ZAHQ=30°,

i同

設(shè)4/=%,/.AQ=-xQH=—x,

2f2

:.BH=B,H=AB-AH=6-x,

AB'=-AB=3,

2

B'Q=B'A+AQ=3+^x,

在/?/△B'HQ中，根據(jù)勾股定理，得

B'H2=B'Q2+QH2,

(6-x)2=(3+—x)2+—x2,

24

9

解得x=(,

B'H=6-x=—,

6

ZHAff=ZF=ZHffM=120°,

.?.ZA〃8+ZA8"=60。，N切M+ZA8"=60。,

:.ZAHB=NFBM,

?.△AB'Hs\PMB：

.B'HAH

BfM~BfF9

219

?二6:5,

B'M3

解得￡例二7,

.\CM=B,M-B,C=7-6=l.

故選：A.

11.（2021?江蘇秦淮?九年級(jí)期中）如圖，在四邊形48co中，ZBCD=50°,N8=NO=90。,

在8C、。上分別取一點(diǎn)“、N,使△AMN的周長(zhǎng)最小，則NMAN=°.

【答案】80

【解析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CO的對(duì)稱點(diǎn)4、4,連接4、4分別交8C、DC于點(diǎn)M、

N,連接AM、AN,則此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，

VZBCD=50°,NB=ND=90。，

???ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

.??NAI+NA2=180。-130°=50°,

??,點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)為4、4,

:?NA=NA:L,MA=MAI,

：.ZA2=ZNAD,N4=NMA8,

/NAD+/MAB=ZAI+ZA2=50°,

NMAN=/BAD-(NNAD+/MAB)

=130°-50°

=80°,

故答案為：80.

12.（2021?四川?成都實(shí)外九年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是A8邊

上一動(dòng)點(diǎn)，連接E。，將EO繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到ER連接。F,CF,則OF+C尸的最

小值是_.

【答案】66

【解析】解：連接3尸，過點(diǎn)尸作/G_LAB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

AZAED+ZFEG=90°,

VZAED+ZEZM=9O°,

:?/EDA=/FEG,

在△AEO和△GFE中，

4A=4FGE

?NEDA=/FEG

DE=EF

:.^AED^AGFE(AAS),

.\FG=AE,

廠.尸點(diǎn)在3尸的射線上運(yùn)動(dòng),

作點(diǎn)C關(guān)于3尸的對(duì)稱點(diǎn)C',

EG=DA,FG=AE,

:.AE=BG,

BG=FG,

??.ZFBG=45°,

.\ZCBF=45°,

??.C’點(diǎn)在A3的延長(zhǎng)線上，

當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF=DC最小,

在RtAADC中，AD=6,AC^AB+BC^AB+BC^\2,

DC=6石，

.?.￡）F+C尸的最小值為6石.

故答案為：6石.

13.（2021?重慶一中九年級(jí)期中）如圖，在菱形A8CO中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC

邊中點(diǎn)，連接EF,將4BEF沿直線EF翻折至菱形A8CO所在平面內(nèi)，得到4B'EF,連接

CB'并延長(zhǎng)交A。邊于點(diǎn)G.若蕓=:，C8'=2,點(diǎn)E到線段CG的距離為2#，則折痕跖

EB3

的長(zhǎng)為.

【答案】1+2退

【解析】解：作￡M，CG,FN1CG,如下圖:

由題意可得：BF=B'F，BE=SE,AB=BC.ZBFE=ZB'FE，EM//FN,NEMN=90。

：.ZFB'C=ZFCB',B'N=CN=-B'C=1

2

又,/ZBFE+ZB'FE+ZB'FC=180°,ZFB'C+ZFCff+ZBTC=\80°

ZFB'C=ZB'FE

EF〃CG

...四邊形EfNM為平行四邊形

又,:NEMN=90。

平行四邊形EFMW為矩形

:.EM=FN=2娓,EF=MN

由勾股定理得：B'F7FMtEN，=5，即BF=5

???尸為BC的中點(diǎn)

8c=A8=10

..AE_2

,Efi-3

/.BE=B'E=6

由勾股定理得：B'M=JB，E2-EM，=26

EF=MN=B'N+B'M=\+2y/3

故答案為1+26

14.（2021?安徽省安慶市外國語學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在R/ZM8C中，ZC=90°,AC=4,

8c=3,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），連接。E,將4WE

沿直線。E翻折，得到￡4'DE,當(dāng)AE的長(zhǎng)為時(shí)，AD和AABC的一邊平行.

【答案】.或g

【解析】解：由勾股定理得：AB=>JAC2+BC2=5

圖1蒯

當(dāng)A7）〃BC時(shí)，設(shè)4。交AC于點(diǎn)F,則DFLAC

?A陶E90?

?.?點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，可知F為AC的中點(diǎn)，即AF=CF=2

設(shè)A￡=x,則EF=2—x,A!E=x

VZA,FE=ZC=90°,ZA=ZA

：./^MEF^/XABC

A'FFF即x土=2三-x三，解得x=52,即AE=5」

ABBC5344

當(dāng)A'O〃AC時(shí);ZADE=ADEA,

又：ZADE=ZA'DE

ZADE=ZDEA

：.AE=AD=-AB^~

22

綜上可知，AE=3或AE=：

42

故答案為:或|

15.如圖，RrA43c中，ZC=90°,AC=3C=1,點(diǎn)。在BC上，將AABC沿直線A￡＞翻

折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，連接AC',直線AC'與邊C8的延長(zhǎng)線相交與點(diǎn)F,如果

ZDAB=^BAF,那么線段8尸的長(zhǎng)為—.

【答案】百-1

【解析】解：如圖所示:

在RfAABC中，

ZC=90°,AC=BC=l,

:.ZCAB=ZABC=45°9

A4DC是將△ABC沿宜線AD翻折得到的,

ZCAD=ZCADf

/DAB=ZBAF,

.?.ZBAD=-ZZ>AC=-ZBAC=15O,

23

ZABF=135°,

/.ZF=30°,

。二篇S

/.BF=CF-BC=s/3-\，

故答案為：百-1.

16.如圖，在△ABC中，ZB=40°,NC=30。，點(diǎn)。在8c上，將△ACO沿直線AO翻折

后，點(diǎn)C落在點(diǎn)/處，邊A/與邊BC相交于點(diǎn)E,如果DF//AB,那么ZBAD的大小是.

【答案】70°

【解析】解：在A48C中，ZB=40°,ZC=30°,

：.ZBAC=\S00-ZB-ZC=n0°.

由折疊的性質(zhì)可知：ZCAD=ZEADfZF=ZC=30°.

'：DF//ABf

.?.ZB/4E=ZF=30°,

ZBAC=ZBAE+ZCAD+ZEAD,即110°=30°+2ZCAD,

：.ZCAD=40°,

：.ZBAD=ZBAC-ZCAD=70°f

故答案為：70°.

17.如圖，ZVIBC中，NC=72。，A5邊的垂直平分線交48于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,將4

ABE沿BE翻折得到aABE,若NA'EC=72。，則NA5C=—.

【答案】81。

【解析】解：ZA'EC=NC=72。，

/.E47/BC,

:.ZA=ZABC,

。石垂直平分線段A8,

:.EA=EB,

:.ZA=ZEBA,

由翻折的性質(zhì)可知，ZA=ZA\EA=EA'=EB,

.\ZEBA=ZA,

r

.\ZA=ZABE=ZEBA=ZABC9

,/ZA+ZABC+ZC=180°,

/.4ZA+ZC=180°,

VZC=72°,

Z=幽」=27。，

4

.?.ZABC=3ZA=81°,

故答案為：81。.

18.(2021?四川?達(dá)州市第一中學(xué)校九年級(jí)期中)如圖坐標(biāo)系中，0(0,0),43,36)，8(6,

0),將△。48沿直線CO折疊，使點(diǎn)4恰好落在線段08上的點(diǎn)E處，若OE=(,則AC：

AD的值是.

【答案】2:3

【解析】0(0,0),43,3石),3(6,0),

OA=*+(3。/=6,A3=J(6-3)2+?Gy=6,03=6

△AOB是等邊三角形

:.ZA=ZAPB=ZABO=60

將^OAB沿直線CD折疊，使點(diǎn)A恰好落在線段08上的點(diǎn)E處,

/.ZCED=ZA=60°,AC=ECyAD=ED

ZCOE=60°

/OCE+/OEC=180°-Z.COE=120°

QZCED=60°

??./CEO+/DEB=120。

4OCE=/BED

ZCOE=ZEBD=M°

??.△COEsAEBD

.CEOE=CO

'^ED~~BD~~EB

OE=-

5

BE=6-OE=—

5

設(shè)。石=a,ED=b

則CA=CE=a,CO=6—a,

AD=ED=b,BD=6-b

5

〃_6a_6-Q

b6-b'b24

y

即6b=30。一5"①

24a=30b—5ab②

①一②得，247-&?=30〃-30々

〃_2

~b~3

即AC:AZ>=2:3.

故答案為：2：3

19.（2021?甘肅?古浪縣第四中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，AABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（1,1）,

B（4,2）,C（3,4）.

（1）請(qǐng)畫出△ABC向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△4BG；

（2）請(qǐng)畫出A4BC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△/I282C2：

（3）在x軸上求作一點(diǎn)尸，使△雨B的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出△抬B.

VA

*

x

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析

【解析】解：（1）點(diǎn)A（L1）向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后為點(diǎn)A（T,1）,點(diǎn)8（4,2）向左平移5個(gè)

單位長(zhǎng)度后為點(diǎn)4（-1,2），點(diǎn)C（3,4）向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后為點(diǎn)C（-2,4）,作圖如下：

（2）點(diǎn)A（l,l）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（-L-1），點(diǎn)見4,2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)比的坐

標(biāo)為（T-2）,點(diǎn)C（3,4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（TV）,作圖如（1）中所示.

（3）作圖如（1）中所示，先作出點(diǎn)A（l,l）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（1,T）,再連接與x

軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,再連接PA和PB即可得.

20.（2021?河南?洛陽市洛龍區(qū)教育局教學(xué)研究室九年級(jí)期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，

每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三角形ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)）的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分

別是（一4,6）、（-1,4）.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中的網(wǎng)格內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；

（2）請(qǐng)畫出aABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△ABC；將^ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的^^當(dāng)。；

（3）請(qǐng)?jiān)趛軸上求作一點(diǎn)P,使△尸4c的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析，P（0,2）

【解析】解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；

（2）△A4G,A4242c如圖所示:

(3)；CPM=PC+PBI+CB-其中CB,為定值,

要使得△P8C的周長(zhǎng)最小，即使得PC+P與最小即可;

如圖，作點(diǎn)用關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)3'（2,-2）,連接C3'交y軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求,

此時(shí)，PC+PB、=PC+PB'=CB',

設(shè)直線C8’的解析式為>=履+^（kwO）,

把C（—l,4）,8'（2,—2）代入解析式,

-k+b=4k=-2

得2k+b=-2,解得

b=2

直線CB'的解析式為y=-2x+2,

.?.當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

P（0,2）.

21.如圖，在△ABC中，4B=10,4c=8,BC=6,AD平分NBAC,點(diǎn)P、。分別是A。、

AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與A、。重合，點(diǎn)。不與A、C重合），求尸C+PQ的最小值

【答案】y

【解析】解：如解圖，過點(diǎn)C作C”_LA8于"，交AD于煎P,

過點(diǎn)P作PQVAC于點(diǎn)Q,

平分NBAC,CH±AB,PQ±AC,

：.PQ=PH,

PC+PQ=PC+PH=CH,

：.PC+PQ的最小值就是線段CH的長(zhǎng)，

：A8=IO,AC=8,BC=6,

.'.AB^AC^BC2,

：.ZACB=90°,

g?AC?BC,

即PC+PQ的最小值為彳.

22.（2021?重慶南開中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在44BC中，。為AB中點(diǎn)，連接CD,將4BCD

沿直線CO翻折至△ABC所在平面內(nèi)得△夕CQ,連接89，與CD交于氤E.若AB'=BB'

=4,ZABC=60°,則點(diǎn)C到80的距離為.

【答案】3夜指+3及

【解析】解：為A8中點(diǎn)，

：.AD=BD,

?.?將△BCD沿直線CD翻折至△A8C所在平面內(nèi)得△B'CD,

:.BD=DB'=AD,BE=B'E,BB'LCD,

：.ZAB'B=90°,

\'AB'=BB'=4,

：.ZABB'=45°,BE=2,

:./EDB=NDBE=45。,

:.DE=BE=2,

,80=20,

如圖，過點(diǎn)C作CWL8。于”，

B

:?NCDH=/DCH=45。,

:.CH=DH,

*/ZABC=60°,

：.ZBCH=30°,

工BC=2BH，CH=^BC2-BH2=43BH

：.BH==J^-CH,

3

BD=BH+DH=與CH+CH=2&,

:.CH=3近-瓜,

點(diǎn)C到BD的距離為3正-瓜，

故答案為30-代.

23.(2021?江蘇?南京鄭和外國語學(xué)校九年級(jí)期中)問題情境：如圖1,P是。。外的一點(diǎn)，

直線尸0分別交。。于點(diǎn)A,B,則%是點(diǎn)P到。O上的點(diǎn)的最短距離.

(1)探究證明：如圖2,在。。上任取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)A,8重合)，連接PC,OC.求證:

PA<PC.

(2)直接應(yīng)用：如圖3,在RSABC中，ZACB=90°,AC=BC=3,以BC為直徑的半圓

交A8于。，P是弧CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4P,則4尸的最小值是.

(3)構(gòu)造運(yùn)用：如圖4,在邊長(zhǎng)為2的菱形488中，NA=60。，M是4。邊的中點(diǎn)，N

是A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△AiMN,連接48,則A山長(zhǎng)度

的最小值為.

(4)綜合應(yīng)用：如圖5,平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A(-2,3),B(4,5)為圓心，

以1,2為半徑作。4,QB,M,N分別是。A,OB上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫

出PM+PN的最小值為

【答案】（1）見解析；（2）（3）73-1：（4）7.

22

【解析】解：（1）證明：如圖1，

'：P0-OC<PC,

：.(AP+OA)-OC<PC,

；04=0C,

：.AP<PC；

(2)如圖2,

連接OA角半。。于尸，則AP最小,

在R3AOC中，

OA=yloC2+AC2

=護(hù)+（產(chǎn)

_375

--，

2

：.AP=OA-OP=---

22

故答案為：—

22

???四邊形ABC。是菱形,

:.AB=AD9

VZBAM=60°,

???△A3。是等邊三角形,

是40的中點(diǎn)，

，ZAMB=90°f

=AB*sin60°=G,

5/3-1；

故答案為：>/3-1；

作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C連接8G交。8于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)P,

連接附交。A于M,

：.PA=PC,

：.FA+PB=PC+PB=BC,

VC(-2,-3),B(4,5),

JBC=J(4+2產(chǎn)+(5+3>

=10,

...PM+PN=PA+PB-AM-BN

=10-1-2

=7,

故答案為：7.

24.（2021?浙江?溫州市第十二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在RtZXABC中，

^C=90,AB=10,BC=6,點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A8方向向終

點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4方向向終點(diǎn)A勻

速運(yùn)動(dòng)，連結(jié)尸。.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）求的長(zhǎng)（用含r的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)/=3秒時(shí)，求ZXAPQ的面積.

（3）①如圖2,連結(jié)2Q,當(dāng)V8PQ為直角三角形時(shí)，求所有滿足條件1的值.

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P'落在直線上時(shí)，求去的值.

Q

圖1

【答案】(1)8-/;(2)9；(3)①f=2或r=￡；②叵

13710

【解析】解：（1）由勾股定理可得：AC=JAB2-BC2=8,

由題意可得：CQ=t,

則AQ=AC-C0=8-r,

故答案為8-t；

(2)作PELAC,如下圖:

由題意可得：AP=2t=6,AQ=8-t=5

由三角函數(shù)的定義可得sinA=gH^C=蕓PE，即6義=PF?,解得尸￡=3.6

ABPA106

SAA/>e=^ACxPE=1x5x3.6=9

故答案為9；

(3)①由題意可得：AP=2f,CQ=t,AQ=8-r,BP=10-2t

當(dāng)NBPQ=90。時(shí)，由勾股定理可得：PQ2=BQ2-BP2=AQ2-AP2,

BQ2=BC2+CQ2

則：pg2=62+r-(10-2r)2=(8-r)2-(2r)2

解得：，若，符合題意；

當(dāng)N8QP=90。時(shí)，PELAC,如下圖：

則N8QC+NPQE=90。，NPQE+NQPE=90。,NC=NP￡Q=90。

??./BQC=/QPE

：.△BCQS/\QEP

.BCCQ

^^QE~~PE

PFAAp￡o

由三角函數(shù)的定義可得sinAu酢u^,cosA=—=—,mPE=-tAE=-t

ABPAABAP5f5

13

則。石=4。-4七二8—二1

6_t

4

B|J13=6-解得'=',符合題意

8O——t-t

55

故答案為或，答

②連接尸尸'交AC于點(diǎn)E,如下圖:

由題意可知：PELAC,ZPQA=ZPQA=ZPQC

又ZPEQ=ZC=90°

：.ABCQS^PEQ

?PQPE_QE

^~BQ~~BC~~CQ

由①得QE=AQ—AE=8_?/,PE=|r,CQ=t

613

???『=『,化簡(jiǎn)得：尸+131—40=0

6~t

解得（=73+回或f=-13-回（負(fù)值舍去）

22

.PQPE\-13+5/329

'~BQ~~BC~3,~io-

-13+>/329

故答案為

10

題型二等腰三角形

1.（2021?湖北?洪湖實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)期中）如圖，RMABC中，ZACB=90°,NB=60。，AB=6,

將RMABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到期4/'夕C.當(dāng)1、B'、4三點(diǎn)共線時(shí)，4T=（)

Af

【答案】D

【解析】解：由在放△ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,48=6,得

ZBAC=30°,BC=3.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得

f,,,

A'B'=A8=6,ZA=ZBAC=3O09ZABC=ZB=60°fAC=AC.

由等腰三角形的性質(zhì)，得

NC4B=N4=30。.

由鄰補(bǔ)角的定義，得

NAB（=180°-NAEC=120°.

由三角形的內(nèi)角和定理，得

ZACBr=180°-ZABfC-ZBfAC=30o.

,,

：.ZBAC=ZBCA=30°9

AB,=B,C=BC=3.

A'4=A'8'+AB'=6+3=9,

故選：D.

2.（2021糊南?衡陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知AO為AABC的角平分線，DE//AB

ApQAC

交AC于￡,如果言=9,那么告等于（）

EC5AB

【答案】B

【解析】解：〃4B,

:.NADE=NBAD,

；AD為△ABC的角平分線,

NBAD=NEAD,

\NEAD=NADE,

??AE=DE,

.AE3

?—，

EC5

.EC_5

a~DE~3f

：DE//ABf

,,△3Es[\CBN,

.DEEC

.ACEC=5

'AB-DE_3e

故選：D.

3.（2021?重慶南川?九年級(jí)期中）如圖，在放△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,3c=10

將△A8C繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A69,此時(shí)點(diǎn)4恰好在AB邊上，則點(diǎn)夕與點(diǎn)8

之間的距離為（）

D.10百

【答案】D

【解析】解：連接38,如圖,

VZACB=90°,ZA=60°,AC=10,

??BC—y/3AC—105/3，

???AABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到^A'B'C,此時(shí)點(diǎn)4恰好在AB邊上,

：.CA=CA\CB=CB\ZACA'=ZBCB\

VCA=CA*,ZA=60°,

???△C4A為等邊三角形,

ZACA'=60°,

：.ZBCB'=6Q°,

:.ACBB為等邊三角形,

BB'=CB=IO6,

即點(diǎn)8'與點(diǎn)8之間的距離為10石.

故選:D.

4.（202］湖北宜城?九年級(jí)期中）如圖，在圓。內(nèi)有折線Q4BC,其中。4=8,AB=12,

ZA=Zfi=60°,則8c的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【解析】延長(zhǎng)40交BC于。，作OE,3c于E.

ZA=ZB=60°,

.-.ZADB=60°,

△ADB為等邊三角形,

BD=AD=AB=12,

：.OD=4,

又.ZADB=60°f

.?.DE=O￡)cos60°=-OD=2,

2

??.3E=10,

OE1.BC,

;.BC=2BE=20.

故選：B.

5.（2021?山東城陽?九年級(jí)期中）如圖，在菱形A3CO中，ZA=60°,AB=8cm,則菱形ABC。

的面積是（）cm2

D

A.166B.32石C.646D.3272

【答案】B

【解析】解：連接AC,

;四邊形A8CQ是菱形，

：.AB=AD=4cm,ACLBD,AO=^AC,OB=^BD,

,/NA=60。，

ZvlB。是等邊三角形，

BD=AB=Scfnf

OB=4cm,

AO=IAB?—OB2=A/82-42=4^cm,

.'?AC=8\/3cw,

菱形ABCD的面枳是』AC?=,x8百x8=32瓜后,

22

故選：B.

6.如圖，矩形ABC。中，AB=3,8c=5,點(diǎn)E是線段AZ）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）,

點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn).在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，能使得APCB為等腰三角形的點(diǎn)E

的位置共有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】A

【解析】解：分三種情況：

①以8c為底邊時(shí)，是8c的垂直平分線與以8為圓心84為半徑的圓的交點(diǎn)，此時(shí)的情況

交點(diǎn)只有一個(gè)；

②以BP為底邊，C為頂點(diǎn)時(shí)，有一個(gè)，是以8為圓心BA為半徑的圓與以C為圓心BC為

半徑的圓的交點(diǎn)；

③以CP為底，8為頂點(diǎn)時(shí)，沒有，因?yàn)橐訠為圓心54為半徑的圓與以8為圓心8c為半

徑的圓沒有交點(diǎn)，

綜上滿足要求的P有2個(gè)，

故選：A.

7.如圖，在三角形ABC中，AB=AC,BC=6,三角形QEF的周長(zhǎng)是7,AFJ_BC于尸,

8E_L4c于E,且點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，則AF=()

【答案】B

【解析】解：：AF_LBC,BELAC,。是48的中點(diǎn)，

：.DE=DF=^AB,

：A8=4C,AF1BC,

???點(diǎn)尸是8c的中點(diǎn)，NAFB=90°,

BF=FC=3,

,：BEYAC,

：.EF=^BC=3,

：.XDEF的周長(zhǎng)DE+DF+EF=AB+3=1,

：.AB=4,

在RSA8月中，由勾股定理知，

AF=VAB2-BF2=V42-32=>/7

故選：B.

8.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E在邊。上，D￡=2,過點(diǎn)E作EF〃BC,分

【答案】C

【解析】解：?.?四邊形A8C。是正方形,

ZABC=ZBCD=W°

■:EF//BC,

：.ZBFE+ZABC=}SO°,

:.NBFE=90。,

四邊形BCEf1為矩形,

連接FM,FC,如圖：

--------------

是8E的中點(diǎn)，四邊形8CEF為矩形.

.?.點(diǎn)N為FC的中點(diǎn)，BE=FC.

???四邊形48C￡＞是正方形，

；.N8AC=45。，

又：ZAFG=90°,

...△AFG為等腰直角三角形.

是AG的中點(diǎn)，

：.AM=MG,

J.FM^AG,

△尸歷C為直角三角形，

???點(diǎn)N為FC的中點(diǎn)，

:.MN=；FC,

；四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，DE=2,

:.BC=CD=6,CE=4,

在BCE中，由勾股定理可得BE=JBC2+CE2=+4?=2岳，

:.FC=2屈,

:.MN=^FC=隼,.

故選：C.

9.（2021?四川省宜賓市第二中學(xué)校一模）如圖，以aABC的三邊為邊分別作等邊△AC。、

AABE.ABCF,則下列結(jié)論正確的是（）

A.EBF^.DFC

B.四邊形仞RE為矩形

C.四邊形ADFE為菱形

D.當(dāng)45=AC,/B4c=120。時(shí)，四邊形AD/石是正方形

【答案】A

【解析】解：:△ABE、△BCF為等邊三角形，

：.AB=BE=AE,BC=CF=FB,NA8E=NCB尸=60°,

AABE-AABF=NFBC-/ABF,即NC8A=ZFBE,

在AEBF中，

AB=EB

-ZCBA=NFBE,

BC=BF

：.^ABC^/\EBF(SAS),

：.EF=AC,

又???△AOC為等邊三角形，

：.CD=AD^AC,

：.EF=AD=DC,

同理可得4ABC^ADFC,

：.DF=AB=AE=DF,

四邊形AEF/)是平行四邊形，故B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

：.ZFEA=ZADF,

：.ZFEA+ZAEB^ZADF+NADC,即NFEB=NCDF,

在^FEB和^CDF中，

EF=DC

■NFEB=NCDF.

EB=FD

:./\FEB<MDF(SAS),故選項(xiàng)A正確；

若AB=AC,ZBAC=120°,則有4E=AZ),ZEAD=\20°,此時(shí)AE尸。為菱形，選項(xiàng)D錯(cuò)

誤

故選A.

10.（2021?湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，正方形A8CD的對(duì)角線AC,

BD交于點(diǎn)O,E是上的一點(diǎn)，連接EC,過點(diǎn)B作BG1CE于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)H,EFVEC

交AB于點(diǎn)F.若正方形A8CQ的邊長(zhǎng)為4,下列結(jié)論：?OE=OH；②所=EC；③當(dāng)G為

CE中點(diǎn)時(shí)，BF=4>/2-4;④BG?BH=BE?BO,其中正確的是（）

D

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【解析】解：EF±EC,

：.ZFEC=ZBGC=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

.,.AO=OC=OB=OD,ACLBD,

'：ZECO+ZGHC=90°=ZOBH+ZBHO,ZBHO=ZCHG,

：.ZOBH=ZECO,

又:,BO=CO,NBOH=NCOE=90。,

:.△BOgXCOE(A&4),

：.OE=OH,故①正確；

如圖，過點(diǎn)E作EP_LBC于P,EQLAB于Q,

D

?.?四邊形ABC。是正方形，

/.NA8O=ZCBD=45°,

5L'：EPLBC,EQLAB,

:.EQ=EP,

XV￡P(guān)±BC,EQLAB,ZABC=90°,

???四邊形BPEQ是正方形，

:.BQ=BP=EP=QE,NQEP=90o=NFEC,

:.NQEF=NPEC,

又ZEQF=ZEPC=90°,

:.△QEF沿XPEC(ASA),

：.QF=PC,EF=EC,故②正確；

,:EG=GC,BGLEC,

:.BE=BC=4,

:.BP=EP=2五,

:.PC=4-2^=QF,

:.BF=BQ-QF=2g-(4-272)=472-4,故③正確；

:NB0H=NBGE=9。。,NOBH=NGBE,

:.叢BOHs^BGE,

：.BH>BG=BE-BO,故④正確，

故選：D.

11.(2021?江蘇宿遷?九年級(jí)期中)我們將能完全覆蓋某平面圖形的圓稱為該平面圖形的覆蓋

圓，其中能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓，則邊長(zhǎng)為4的等邊

三角形的最小覆蓋圓的面積是.

【答案】等

【解析】解：等邊三角形的最小覆蓋圓是等邊三角形的外接圓，

過A作于Q,過B作BELAC于E,AC與8E相交于O,以點(diǎn)。為圓心，08長(zhǎng)

為半徑的圓是等邊三角形的外接圓，

?.?△ABC為等邊三角形，BELAC,ADLBC,

：.AE=CE=-AC」x4=2,

22

.?.8E平分/CBA,

/.ZDBE=ZABE^-ZABC=-x60°=30°,

22

在Rt4BCE中，

BE=ylBC2-CE2=A/42-22=2y/3>

"：BO=2OE,

：.2OE+OE=2-j3,

：.OE=亞，

3

12.（2021?北京市月壇中學(xué)九年級(jí)期中）將含有30。角的直角三角板。AB如圖放置在平面直

角坐標(biāo)系中，在x軸上，若04=2,將三角板繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)4的坐標(biāo)為.

【答案】（L-揚(yáng)

【解析】解：如圖，作/TCLx軸

?.?三角板繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

，旋轉(zhuǎn)后。4，與、軸夾角為30。，

0/9=30。

：OA=2,

，OA，=2,

OC=2x—=1

2

即點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為1,

A'C=^（OA）2-OC2=74^1=上

即縱坐標(biāo)為-石，

所以，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,-石）.

故答案：（1,-舊）.

13.（2021?湖北赤壁?九年級(jí)期中）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)。為8c邊

上的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為頂點(diǎn)作正方形。EFG,且DE=BC,連接AE,AG.若將正方形OEFG

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AE取最小值時(shí)，AG的長(zhǎng)為—.

【答案】V7

【解析】解：連接4力,

???