數學同步測控：指數函數

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基，我達標1.下列以x為自變量的函數中，是指數函數的是()A.y=(—4)xB.y=πxC。y=—4xD.y=ax+2（a＞0且a≠1）解析：從指數函數的定義出發(fā)解決此題.答案：B2.圖3-1—2是指數函數①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的圖象.則a、b、c、d與1的大小關系是()圖3—1-2A。a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC。1＜a＜b＜c＜dD。a＜b＜1＜d＜c解析：直線x=1與四個指數函數圖象交點的坐標分別為（1,a）、（1，b）、（1,c）、(1，d)，由圖象可知縱坐標的大小關系.答案:B3.當x〉0時，函數f（x)=（a2-1)x的值總大于1，則實數a的取值范圍是(）A.1<|a|<B.|a|<1C。｜a|〉1D.|a|>解析：由指數函數的圖象，可得a2—1>1，即a2>2，∴｜a|>2.答案：D4.若函數y=ax+b-1（a〉0且a≠1)的圖象經過第一、三、四象限，則一定有（）A.a〉1且b〈1B.0<a<1且b<0C.0〈a<1且b〉0解析:函數y=ax+b—1（a>0且a≠1）的圖象經過第一、三、四象限，則必有a〉1；進而可知答案:D5.設y1=40.9,y2=80.44,y3=（)-1。5，則(）A.y3>y1〉y2B。y2〉y1>y3C。y1>y2>y3D.y1〉y3解析：把給出的三個函數化為同底的指數式，y1=21。8，y2=21。32,y3=21。5，再根據指數函數y=2x是增函數即可得出y1＞y3＞y2.答案：D6.函數y=ax—3+3（a〉0且a≠1）恒過定點_____________.解析：a3—3+3=a0+3=4.答案：（3，4）7.已知函數f（x）=ax+a-x（a>0且a≠1），f（1)=3，則f(0）+f（1）+f（2）的值為_________。解析：f(0）=a0+a0=2，f（1）=a+a—1=3，f(2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=9—2=7.∴f（0）+f(1)+f（2）=12.答案：128.函數y=(2m-1）x是指數函數,則m的取值范圍是___________。解析:根據指數函數的定義，y=ax中的底數a約定a＞0且a≠1.故此2m—1＞0且2m—1≠1,所以m＞且m≠1.答案：m＞且m≠19.函數y=3的值域為__________。解析:考查指數函數的性質、函數值域的求法.由于x2+1≥1,而y=3x在(—∞，+∞）上是增函數，所以y=3+1≥3，即y=3+1的值域為［3，+∞）.答案：[3，+∞）10.求函數y=f（x）=（）x—（)x+1，x∈［—3,2]的值域。分析:將(）x看作一個未知量t，把原函數轉化為關于t的二次函數求解.解：∵f(x）=[（）x]2—(）x+1，x∈［-3，2］,∴（）2≤(）x≤（）-3，即≤（）x≤8.設t=（)x，則≤t≤8。將函數化為f（t)=t2—t+1，t∈[，8］?！遞（t）=（t）2+,∴f（)≤f（t）≤f（8）?！唷躥(t)≤57?！嗪瘮档闹涤驗椋郏?7］。我綜合,我發(fā)展11。已知f(x）=x（+).（1）判斷函數的奇偶性;（2）求證：f（x）〉0。分析：以復合函數為載體判斷函數的奇偶性,并利用函數的奇偶性證明不等式。（1）解：函數的定義域為｛x｜x≠0｝.f（x)=x·,f(-x）=—x·=-x·=x·=f（x）.∴函數為偶函數.（2）證明：當x>0時,2x〉1.∴2x—1>0。∴f（x）>0。又f（x）是偶函數，∴當x<0時，f（x）=f（—x）>0,即對于x≠0的任何實數x，均有f(x）〉0。12.已知f(x）=＞0，當x∈（—∞，1］時恒成立，求實數a的取值范圍.分析：利用轉化的思想，原題化為1+2x+4x·a＞0,再分離參變量得a＞,最后用指數函數的單調性求最值。解：f(x）＞0在（-∞，1］上恒成立,即1+2x+4x·a＞0在（-∞，1]上恒成立，進一步轉化為a＞在（-∞,1］上恒成立。當且僅當a大于函數g(x）=的最大值時，a＞恒成立.而g（x)=在(-∞,1］上是增函數，∴當x=1時，g（x）max==。因此，所求a的取值范圍為a＞.13.關于x的方程(）x=有負根，求實數a的取值范圍。分析:靈活運用指數函數的性質解決問題.應注意當得出＞1時,不能化簡成3a+2>5-a，而應化簡成〈0,從而求出實數a的取值范圍。解：∵方程(）x=有負根,∴x＜0。∵x＜0，0＜＜1，∴（)x＞1?！啵?，解得＜a＜5.1.4已知a、b∈R+，且a≠b，試求函數f(x）=［a2x+(ab）x—2b2x］的定義域.分析：求函數的定義域,就是求使函數表達式有意義的字母x的取值范圍，因此，函數f（x)的定義域就是不等式a2x+(ab)x—2b2x＞0的解集。解：a2x+（ab）x-2b2x＞0等價于(）2x+()x—2＞0。∴[（）x+2］［（）x-1］＞0.∵（）x+2恒為正，∴(）x—1＞0。∴（）x＞1.①當a＞b時，＞1,∴x＞0.∴函數f（x）的定義域為R+.②當a＜b時,0＜＜1,∴x＜0。∴函數f(x）的定義域為{x|x＜0}。15。設a是實數,f(x）=(x∈R），求證：對于任意a，f(x)均為增函數.分析:問題形式較為復雜,也應嚴格按照單調性的定義進行證明。如果只要求指出函數的單調區(qū)間則不一定用單調性定義來證明,要注意不同要求時各類問題的解答方法的差別.證明：設x1、x2∈R，且x1〈x2，則f（x1）-f（x2）===?！咧笖岛瘮祔=2x在R上是增函數,x1<x2，∴2〈2，即2-2〈0.∵2x〉0,∴2+1>0，2+1>0.∴<0.∴f(x1）-f(x2)〈0，即f（x1)<f(x2）?！叽私Y論與a的取值無關，∴對于a取任意實數，f（x)均為增函數。16。已知函數f（x)是定義在［-1，1]上的奇函數，且f(1）=1，若m,n∈［-1，1］,m+n≠0,>0。（1)求證：f（x)在[—1,1］上是增函數；（2)解不等式f(x+)〈f（）;（3）若f(x)≤4t-3·2t+3對所有x∈［—1,1］恒成立,求實數t的取值范圍。分析：(1)利用定義法證明單調性；（2）利用函數f（x)的單調性解不等式；(3)轉化為求f(x)的最大值.(1）證明：任取-1≤x1〈x2≤1.∵f(x）為奇函數，∴f(x1）-f(x2）=f(x1）+f(-x2）=·(x1-x2)?！?gt;0,x1—x2<0，∴f（x1)〈f（x2）.∴f(x)在［—1，1]上是增函數.(2)解：f（x+）〈f（)解得≤x〈-1.（3）解：由（1）知f(x）在［-1,1]上是增函數，且f（1)=1，∴x∈［-1，1］時，f（x)≤1.∵f(x）≤4t-3·2t+3對所有x∈［—1,1]恒成立，∴4t—3·2t+3≥1恒成立.∴(2t）2-3·2t+2≥0，即2t≥2或2t≤1.∴t≥1或t≤0.我創(chuàng)新，我超越1.7設f（x）=，若0<a<1,則（1)f（a）+f（1—a）=____________；（2）f（）+f(）+f（）+…+f（)=__________.解析：（1）f（a)+f（1—a）=+=+=+==1。(2）f()+f(）+f()+…+f（）=［f（）+f（）］+［f（）+f（）]+…+［f（）+f（）］=500×1=500。答案：（1)1（2）50018.定義在R上的函數y=f（x），f（0）≠0，當x>0時,f（x）〉1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b)=f(a)·f（b).(1)求證:f（0)=1；（2）求證：對任意的x∈R,恒有f（x）>0；（3)求證:函數y=f（x）是R上的增函數.分析：本題抽象函數的原型函數即為指數函數，可借助y=2x理清解答的思路和方法。解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中利用“f（x2）=f［(x2—x1）+x1］”是證明單調性的關鍵,這里體現了構造條件式向條件化歸的策略。證明：(1)取a=b=0，則f（0）=f2（0).∵f（0）≠0，∴f（0)=1.(2）當x≥0時，f（x）≥1>0成立,當x<0時,—x>0，f（0)=f（x-x）=f(x）·f（-x）=1，∴f（x）=〉0?！鄕∈R時，恒有f（x）>0.（3）證法一：設x1<x2，則x2-x1>0?！鄁（x2）=f(x2-x