云南省楚雄州南華縣民中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

云南省楚雄州南華縣民中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.不存在2．過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.3．已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若的焦點(diǎn)F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.5．設(shè)、是向量，命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，7．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.8．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.29．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側(cè)面積是（）A.2 B.C. D.10．若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，則＝（）A. B.C. D.12．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓T：，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P的兩條直線PA，PB分別與橢圓交于A，B，設(shè)PA，PB的中點(diǎn)分別為D，E，直線PA，PB的斜率分別是，，若直線OD，OE的斜率之和為2，則的最大值為_(kāi)______14．正三棱柱的底面邊長(zhǎng)和高均為2，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____.15．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；16．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若直線與直線平行，則a值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程.18．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項(xiàng)和為，令，求證：.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點(diǎn)（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，，.（1）求點(diǎn)到直線的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則三棱錐F-ABC的體積為多少？22．（10分）已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得，或者根據(jù)對(duì)勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極大值；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極小值.故選：B2、A【解析】設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE，PF′，根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關(guān)系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE，PF′，如圖所示:因?yàn)镻F是圓O的切線，所以O(shè)E⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯(lián)想到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問(wèn)題的有效方法.3、C【解析】如圖由題可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】如圖根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)D在直線y=x上，可設(shè)，則，∴，可得，，即，又解得.故選：C.4、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.5、C【解析】利用原命題與逆否命題之間的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】由原命題與逆否命題之間的關(guān)系可知，命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.故選：C.6、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫(xiě)出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B7、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，故選：B8、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€與互相垂直，所以，故選：B9、D【解析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】故選：D10、A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.II卷11、A【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式直接計(jì)算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.12、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，如圖所示：設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)的坐標(biāo)，用點(diǎn)差法求和與的關(guān)系同，與的關(guān)系，然后表示出，求得最大值【詳解】設(shè)，，，則，兩式相減得，∴，，則，同理，，又，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓相交問(wèn)題，考查橢圓弦中點(diǎn)問(wèn)題．橢圓中涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，常常用點(diǎn)差法確定關(guān)系，即設(shè)弦端點(diǎn)為，弦中點(diǎn)為，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，相減后可得14、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)面距離的公式可以直接求出.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，由已知，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，，即：，取，得，，則點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15、①④【解析】畫(huà)出正方體，，，故，①正確，根據(jù)相交推出矛盾得到②錯(cuò)誤，根據(jù)，與相交得到③錯(cuò)誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線與直線相交，則四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，不成立，②錯(cuò)誤；，與相交，故直線與直線不平行，③錯(cuò)誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點(diǎn)共面，在平面內(nèi)，不成立，故直線與直線異面，④正確；故答案為：①④.16、【解析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）圓C與圓M相交，理由見(jiàn)解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；（2）討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)則方程為，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以圓C與圓M相交，【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由題意得，解得，故直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.18、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)利用累加法求通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系可求的通項(xiàng)公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題可知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與平面所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問(wèn)2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋瑒t，可得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，，所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)及勾股定理求出△各邊長(zhǎng)，應(yīng)用余弦定理求，進(jìn)而可得其正弦值，再求邊上的高即可.（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩個(gè)平面的法向量，然后可算出答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，由題設(shè)，，，，由直棱柱性質(zhì)及，在中，在中，在中，在中，所以在△中，，則，所以到直線的距離.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易知：，，，則，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）先證線面垂直，再證面面垂直即可解決；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面所成銳二面角的余弦值，列方程解得的長(zhǎng)度，即可求得三棱錐F-ABC的體積.【小問(wèn)1詳解】在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，又所以，即又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，即平面又平面，則平面平面【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，所以，令則，，，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得解得，取，則，又是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，即解之得，又，故即22、(1).(2).【