2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)3.2指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE5第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)§2指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)學(xué)問點(diǎn)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)基本應(yīng)用1.☉%￥#42#￥83%☉(多選)(2024·長安一中檢測)下列等式能夠成立的是()。A.nm7=n17·m-7(m≠nB.12(-3C.4x3+y3=(x+y)34D.39=答案：AD解析：因?yàn)閚m7=n7m7=n7·m-7,所以A正確;因?yàn)?2(-3)4=1234=313≠(-3)13,所以B錯(cuò)誤;因?yàn)?x3+y3=(x3+2.☉%7￥#0￥1￥2%☉(2024·西安中學(xué)月考)設(shè)a12-a-12=3,則A.7B.119C.47D.45答案：B解析：由a12-a-12=3,可得(a12-a-12)2=a+a-1-2=32,解得a+a-1=11。故(a+a-1)2=a2+a-2+2=112,解得a2+a-2=119。所以a3.☉%7#28#1@￥%☉(2024·安慶一中檢測)已知a2+a-2=22,且a>1,則a2-a-2的值為()。A.2或-2B.-2C.6D.2答案：D解析：(a2-a-2)2=(a2+a-2)2-4=8-4=4,又a>1,所以a2>a-2,所以a2-a-2=2。故選D。4.☉%￥030#@@1%☉(2024·銀川一中檢測)假如x=1+2m,y=1+2-m,那么用x表示y正確的是()。A.y=x+1x-1C.y=x-1x+1答案：D解析：由x=1+2m得2m=x-1,故2-m=1x-1。所以y=1+1x-1=5.☉%￥108*7@￥%☉(2024·杭州模擬)已知f(x12+x-12)=x+x-1-2,則f(A.x2-4B.(x+1)2C.(x+1)-1+(x+1)-2D.x2+2x-3答案：D解析：因?yàn)閒(x12+x-12)=(x12+x-12)2-4,所以f(x+1)=(x+1)6.☉%￥4*#@187%☉(2024·華師一附中月考)若3a·9b=13,則下列等式正確的是()A.a+b=-1B.a+b=1C.a+2b=-1D.a+2b=1答案：C解析：3a·9b=3a·32b=3a+2b=13=3-1,則a+2b=-1。故選C7.☉%84@3#2@￥%☉(2024·成都模擬)若x3+x2+x=-1,則x-28+x-27+…+x-2+x-1+1+x1+x2+…+x27+x28的值是()。A.2B.0C.-1D.1答案：D解析：由x3+x2+x=-1,得x2(x+1)+x+1=0,即(x+1)(x2+1)=0,解得x=-1。所以x-28+x-27+…+x-2+x-1+1+x1+x2+…+x27+x28=1。故選D。題型指數(shù)冪的綜合應(yīng)用8.☉%330￥￥6￥@%☉若b<0且3b+3-b=13,則3b-3-b等于()。A.±3B.-2C.-3D.9答案：C解析：因?yàn)?b+3-b=13,所以(3b-3-b)2=(3b+3-b)2-4=13-4=9,所以|3b-3-b|=3。因?yàn)閎<0,所以3b-3-b<0,所以3b-3-b=-3。故選C。9.☉%￥614@*4@%☉(2024·內(nèi)蒙古模擬)若x>0,則(2x14+232)(2x14-232)-4x-答案：-4解析：原式=4x12-23-4x10.☉%6644@#**%☉(2024·臨川一中月考)已知10α=2,10β=3,則1003α2-答案：83解析：1003α2-β3=102(3α2-β3)=103α-2β3=(1011.☉%62*2#￥8#%☉(2024·蘇州模擬)已知an=2n,則3a10a3答案：3·2n-3解析：a10=210,a3=23,所以a10a3=27,所以原式=3[(212.☉%*08￥￥*99%☉(2024·昆明三中期中)下列關(guān)系式中,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是(只填序號(hào))。

①-x=(1-x)12(x>0);②6y2=y13(y<0);③x-34=41x3答案：③解析：對于①,-x=-x12,故①錯(cuò)誤;對于②,當(dāng)y<0時(shí),6y2>0,y13<0,故②錯(cuò)誤;對于③,x-34=14x3=41x3(x>0),故③正確13.☉%@￥*23#02%☉(2024·新余四中月考)已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0且a≠1),則a4m+n的值為。

答案：4解析：因?yàn)閍①×②,得a3m=26,所以am=22。將am=22代入②,得22×a-n=28,所以an=2-6,所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an=(22)4×2-6=22=4。14.☉%￥124*#@0%☉(2024·棗莊八中檢測)已知a12+a-(1)a+a-1;答案：解:將a12+a-12=3兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a(2)a2+a-2;答案：將式子a+a-1=7兩邊平方,得a2+a-2+2=49,所以a2+a-2=47。(3)a3答案：由于a32-a-32=(a12所以有a32-a-32a115.☉%4*2*7￥￥3%☉(2024·石門一中月考)完成下列題目。(1)已知x=a-3+b-2,化簡4x答案：解:由x=a-3+b-2,得x-a-3=b-2,所以4x2-2a-3(2)設(shè)a23+b23=4,x=a+3a13b23,y=b+3a23b1答案：令a13=A,b13=B,則x=A3+3AB2,y=B3+3x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3,x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3。所以(x+y)23+(x-y)23=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2(a16.☉%23*￥#@18%☉(2024·長沙一中月考)設(shè)a,b,c都是正數(shù),且3a=4b=6c,求證:2c=2a+答案：證明:令3a=4b=6c=t(t>0),則3=t1a,2=t1因?yàn)?×2=6,所以t1a·t12b=t1c,所以2c=2a+17.☉%2*8**#03%☉(2024·江西臨川一中檢測)已知ax3=by3=cz3,且1x+1y+1z=1,求證:(ax2+by2+cz2)13=a答案：證明:令ax3=by3=cz3=t,則ax2=tx,by2=ty,cz2=因?yàn)?x+1y+1z=1,所以tx+ty即ax2+by2+cz2=t。所以(ax2+by2+cz2)13=t13=t13·1x+1y+1z18.☉%##0@*836%☉(2024·四川內(nèi)江一中模擬)對于正整數(shù)a,b,c(a≤b≤c)和非零實(shí)數(shù)x,y,z,ω,若ax=by=cz=70ω,1ω=1x+1y+1z,求a,答案：解:因?yàn)閍x=70ω,且x,ω為非零實(shí)數(shù),所以a1ω=7同理,可得b1ω=701y,所以a1ω·b1ω·c1ω=701即(abc)1ω=7又1x+1y+1z=1ω,a,b所以abc=70=2×5×7。因?yàn)閍≤b≤c,所以a=2,b=5,c=7。19.☉%4@54*@4#%☉(2024·寧波調(diào)考)完成下列題目。(1)當(dāng)x=2+2,y=2-2時(shí),求(x23-y-13)·(x4答案：解:因?yàn)閤=2+2,y=2-2所以原式=x2-y-1=2+2-12-2(2)若a2x=2-1,求a3答案：由a2x=2-1,得a-2x=2+1,所以a3x+a-3xax+a-20.☉%8@#31#2#%☉(2024·中山調(diào)考)已知f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x(x,y∈R)。(e=2.718…為常數(shù))(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值;答案：解:[f(x)]2-[g(x)]2=[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]=(ex-e-x+ex+e-x)(ex-e-x-ex-e-x)=2ex·(-2e-x)=-4e0=-4。(2)設(shè)f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求g(答案：由f(x)f(y)=(ex-e-x)(ey-e-y)=ex+y+e-(x+y)-ex-y-e-(x-y)=g(x+y)-g(x-y)=4。同理可得g(x)g(y)=g(x+y)+g(x-y)=8,所以g(x+y)=6,g(x-y)=2,所以g(x+y21.