專題03勾股定理的解決折疊問題（題型與解法）

專題03勾股定理解決折疊問題折疊問題是中考的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)問題，通常與動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合起來，這類問題的題設(shè)通常是將某個(gè)圖形按一定的條件折疊，通過分析折疊前后圖形的變換，借助軸對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行解答。此類問題立意新穎，充滿著變化，要解決此類問題，除了能根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作出要求的圖形外，還要能綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)模型及方法來解答。概括地說，這類問題的解題策略就是：在折疊后產(chǎn)生的直角三角形中，把某條邊設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.進(jìn)而以數(shù)解形，將問題順利解決.1．如圖，已知長(zhǎng)方形沿著直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E，，則的長(zhǎng)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】∵四邊形為長(zhǎng)方形，∴，∴．由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∴．設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．如圖，矩形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，且，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：四邊形是矩形，，，是翻折而成，，，是直角三角形，，在中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖所示，把矩形紙條沿，同時(shí)折疊，，兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，若的度數(shù)恰好為，，，則矩形的邊的長(zhǎng)為()A．10 B．11 C．12 D．15【解答】解：∵矩形紙條沿，同時(shí)折疊，，兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，，，，∴，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在一張矩形紙片中，，，點(diǎn)分別在，上，將矩形沿直線折疊，點(diǎn)落在邊上的一點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形是菱形；②線段的取值范為；③；④當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，其中正確的結(jié)論是________．【解答】解：①與，與都是原來矩形的對(duì)邊、的一部分，∴，四邊形是平行四邊形，由翻折的性質(zhì)得，，四邊形是菱形，故①正確；②點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)則在中，，即，解得，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，線段的取值范圍為，故②正確；③如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，若，則則平分，∴∴，即只有時(shí)平分，故③錯(cuò)誤；則，由勾股定理得，，故④正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點(diǎn)，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為_______．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)，，，為等腰直角三角形，,，，設(shè)，則根據(jù)翻折，，在中，，可得方程，解得：，將△BEF沿著EF翻折，使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列方程求解問題，翻折問題，正確的作出輔助線，一步一步推論是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)折，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙、……．當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長(zhǎng)為a時(shí)．（1）“16開”紙的短邊長(zhǎng)為______（用含a的代數(shù)式表示）．（2）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對(duì)折得到的“16開”紙，按如下步驟折疊：第一步，將矩形的短邊與長(zhǎng)邊對(duì)齊折疊，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)處，鋪平后得折痕；第二步，將長(zhǎng)邊與折痕對(duì)齊折疊，點(diǎn)D正好與點(diǎn)E重合，鋪平后得折痕．則：①“16開”紙的長(zhǎng)邊長(zhǎng)是______（用含a的代數(shù)式表示）；②標(biāo)準(zhǔn)紙的長(zhǎng)邊與短邊的比值是______．【解答】解：（1）∵四邊形是矩形，∴,由折疊的性質(zhì)可得，,∴,∴“16開”紙的短邊長(zhǎng)為，（2）①由折疊可得：，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②由折疊的性質(zhì)可得標(biāo)準(zhǔn)紙的長(zhǎng)邊為，標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊為，∴標(biāo)準(zhǔn)紙的長(zhǎng)邊與短邊的比值是，故答案為：；；．【點(diǎn)睛】本題是操作探究類的一道試題，讓學(xué)生在操作中探究，在探究中發(fā)現(xiàn)，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，是一道體現(xiàn)新課程理念的好題．7．如圖，在中，，，E、F分別為邊、上的點(diǎn)，沿將折疊，使點(diǎn)A落在邊的中點(diǎn)處，若，則線段的長(zhǎng)度為______．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得，為等腰直角三角形，，，為的中點(diǎn)，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知正方形紙片的邊，點(diǎn)P在邊上，將沿折疊，點(diǎn)A的應(yīng)點(diǎn)為．（1）若時(shí)，的長(zhǎng)為___________；（2）若點(diǎn)到邊或的距離為1，則線段的長(zhǎng)為_________．【解答】（1）由折疊得，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：2；（2）如圖1，作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，若，則．由折疊知．在直角中，．設(shè)，則．在中，，解得，即線段的長(zhǎng)為﹔如圖2，若，則．由折疊知．在中，．設(shè)，則．在中，，解得，即線段的長(zhǎng)為．綜上，線段的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知長(zhǎng)方形，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G始終落在邊上，則線段的最小值是_________．【解答】解：由點(diǎn)G始終落在邊上可知當(dāng)點(diǎn)F越靠近于點(diǎn)C時(shí)，的值也就越小，所以當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，的值最小，如圖所示：∵，∴由折疊的性質(zhì)可知，由長(zhǎng)方形的特征可知，∴在中，由勾股定理可得，∴，∴的最小值為4；故答案為4【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，E為邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），沿折疊正方形，使得點(diǎn)B落在，連接，若點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，則的最小值為__________．【解答】解：連接，以為直徑，中點(diǎn)為圓心作圓，連接即可得到最小距離點(diǎn)，如圖所示，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，沿折疊正方形，使得點(diǎn)B落在，∴，∵F為線段的中點(diǎn)，∴，∴F為以為直徑的圓上的點(diǎn)，連接交圓于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓上動(dòng)點(diǎn)最小距離問題，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點(diǎn)F為圓上動(dòng)點(diǎn)問題，找到最小距離點(diǎn)．11．如圖，將長(zhǎng)為4，寬為3的矩形紙片折疊，折痕為，點(diǎn)M，N分別在邊上，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E為三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為______．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)M作于H，則四邊形都是矩形，設(shè)交于T，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，當(dāng)點(diǎn)E是靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，∴，，設(shè)，則，在中，，由勾股定理得：，∴，解得，∴，，∵，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴，∴；同理，當(dāng)E為靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，；綜上所述，或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是___．【解答】如圖所示，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，連接，交弧于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，過點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，，是的中點(diǎn)，，，在直角中，由勾股定理得，，在直角中，由勾股定理得，．故答案是：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，得出點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．13．如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_____．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，是中點(diǎn)，，，由翻折得，，，，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，如圖2，交于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為1或4，故答案為：1或4．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，中，，D為邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，點(diǎn)C在線段上，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為__________．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，M是邊上的一點(diǎn)，且，N是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是___________．【解答】解：過點(diǎn)M作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，菱形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴點(diǎn)在以M為圓心，為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，長(zhǎng)度有最小值，∴長(zhǎng)度的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，找到當(dāng)點(diǎn)在上，的長(zhǎng)度最小，是解題的關(guān)鍵．16．如圖，折疊矩形的一邊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，已知折痕，且，則的長(zhǎng)是______________．【解答】解：∵，∴設(shè)，且，在中可得，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，∴，∵，，∴，∴，∴，即，在中由勾股定理得解得：（負(fù)值舍去），即：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)以及翻折變換的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)值，表示出每條線段的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理進(jìn)行解答．17．如圖，將梯形（紙片）折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕；點(diǎn)也與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕．已知，，，則的面積是__________．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得，，，，，，過作于，，是等腰直角三角形，，，，的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），解直角三角形，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．已知矩形，，為上的點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，交于，交于為上的點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好落在上，若，則_____，_____．【解答】①解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即；②解：∵在中，，，，∴，，∴，∵，∴根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，熟練相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．19．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)E處，試求的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)，∵，，勾股定理得：，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，∴，，在中，，，解得：（），∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握翻折的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在矩形中，，，連接BD，將沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，線段交AD于點(diǎn)F．問題解決：(1)求線段的長(zhǎng)；拓展提升：(2)如圖，將沿著方向平移，當(dāng)點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，求此時(shí)平移的距離；(3)如圖3，將繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）解：∵將沿對(duì)角線折疊，∴，，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∴，∴，在中，，，，∴，即，解得，∴；（2）解：連接，∵，，，∴，由平移知：，，∴，∴即，解得；（3）解：可以成為等腰三角形，∵繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，過點(diǎn)M作于P，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)而，，顯然不相等，故舍去．綜上，的面積為或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明以及分類討論是解題的關(guān)鍵．21．在中，點(diǎn)E在邊上，將沿翻折，使點(diǎn)A落在處，且，連接交于點(diǎn)F．(1)若，．①如圖1，當(dāng)時(shí)，______，邊與線段的數(shù)量關(guān)系是______；②如圖2，當(dāng)為任意角度數(shù)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立，請(qǐng)說明理由．(2)如圖3，若，，猜想的度數(shù)及邊與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）解：①∵，，∴，∴，由折疊可得，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：，；②∵，，∴，∴，由折疊可得，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：，，理由：∵，，∴，∴，由折疊可得，∴，∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊得出為等腰直角三角形或等邊三角形．22．我們知道長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，兩組對(duì)邊分別相等．小亮在參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，對(duì)一張長(zhǎng)方形紙片進(jìn)行了探究．如圖是長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)．先將沿著翻折，得到；再將翻折至與重合，折痕是．請(qǐng)你幫助小亮解決下列問題：(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)已知，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵由翻折得，，∴，∵，∴，∴是直角三角形．（2）∵，，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，由翻折可知，，，，，，，，則、、在同一直線上，，∴在中，，則，在中，，∴在中，【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查長(zhǎng)方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識(shí)與方法，證明、、在同一直線上，是解題的關(guān)鍵．23．綜合與實(shí)踐問題情境：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．矩形紙片中，，．操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，展開后折痕交于點(diǎn)E．(1)的度數(shù)為______．(2)求線段的長(zhǎng)度．拓展延伸：(3)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，展開后折痕交于點(diǎn)F，連接．請(qǐng)判斷的形狀并說明理