專題03勾股定理的解決折疊問題（題型與解法）

專題03勾股定理解決折疊問題折疊問題是中考的熱點也是難點問題，通常與動點問題結(jié)合起來，這類問題的題設(shè)通常是將某個圖形按一定的條件折疊，通過分析折疊前后圖形的變換，借助軸對稱性質(zhì)、勾股定理等知識進行解答。此類問題立意新穎，充滿著變化，要解決此類問題，除了能根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作出要求的圖形外，還要能綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)模型及方法來解答。概括地說，這類問題的解題策略就是：在折疊后產(chǎn)生的直角三角形中，把某條邊設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.進而以數(shù)解形，將問題順利解決.1．如圖，已知長方形沿著直線折疊，使點C落在點處，交于點E，，則的長為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】∵四邊形為長方形，∴，∴．由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∴．設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴．故選B．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．如圖，矩形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對角線重合，點落在點處，折痕為，且，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：四邊形是矩形，，，是翻折而成，，，是直角三角形，，在中，，故選：B．【點睛】本題考查的是翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖所示，把矩形紙條沿，同時折疊，，兩點恰好落在邊的點處，若的度數(shù)恰好為，，，則矩形的邊的長為()A．10 B．11 C．12 D．15【解答】解：∵矩形紙條沿，同時折疊，，兩點恰好落在邊的點處，，，，∴，，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在一張矩形紙片中，，，點分別在，上，將矩形沿直線折疊，點落在邊上的一點處，點落在點處，有以下四個結(jié)論：①四邊形是菱形；②線段的取值范為；③；④當(dāng)點與點重合時，，其中正確的結(jié)論是________．【解答】解：①與，與都是原來矩形的對邊、的一部分，∴，四邊形是平行四邊形，由翻折的性質(zhì)得，，四邊形是菱形，故①正確；②點與點重合時，設(shè)則在中，，即，解得，點與點重合時，，，線段的取值范圍為，故②正確；③如圖，過點作于，設(shè)交于點，四邊形是菱形，，若，則則平分，∴∴，即只有時平分，故③錯誤；則，由勾股定理得，，故④正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為_______．【解答】解：如圖，過點作的垂線段，交于點，，，為等腰直角三角形，,，，設(shè)，則根據(jù)翻折，，在中，，可得方程，解得：，將△BEF沿著EF翻折，使得B點落在AC邊上的D處，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列方程求解問題，翻折問題，正確的作出輔助線，一步一步推論是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對折，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙、……．當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a時．（1）“16開”紙的短邊長為______（用含a的代數(shù)式表示）．（2）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對折得到的“16開”紙，按如下步驟折疊：第一步，將矩形的短邊與長邊對齊折疊，點B落在上的點處，鋪平后得折痕；第二步，將長邊與折痕對齊折疊，點D正好與點E重合，鋪平后得折痕．則：①“16開”紙的長邊長是______（用含a的代數(shù)式表示）；②標(biāo)準(zhǔn)紙的長邊與短邊的比值是______．【解答】解：（1）∵四邊形是矩形，∴,由折疊的性質(zhì)可得，,∴,∴“16開”紙的短邊長為，（2）①由折疊可得：，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②由折疊的性質(zhì)可得標(biāo)準(zhǔn)紙的長邊為，標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊為，∴標(biāo)準(zhǔn)紙的長邊與短邊的比值是，故答案為：；；．【點睛】本題是操作探究類的一道試題，讓學(xué)生在操作中探究，在探究中發(fā)現(xiàn)，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，有一定的綜合性，是一道體現(xiàn)新課程理念的好題．7．如圖，在中，，，E、F分別為邊、上的點，沿將折疊，使點A落在邊的中點處，若，則線段的長度為______．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得，為等腰直角三角形，，，為的中點，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得，，故答案為：5．【點睛】本題考查了翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求線段的長是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知正方形紙片的邊，點P在邊上，將沿折疊，點A的應(yīng)點為．（1）若時，的長為___________；（2）若點到邊或的距離為1，則線段的長為_________．【解答】（1）由折疊得，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：2；（2）如圖1，作交于點F，交于點E，若，則．由折疊知．在直角中，．設(shè)，則．在中，，解得，即線段的長為﹔如圖2，若，則．由折疊知．在中，．設(shè)，則．在中，，解得，即線段的長為．綜上，線段的長為或，故答案為：或．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知長方形，，點E，F(xiàn)分別是邊，上的動點，沿直線折疊，使點B的對應(yīng)點G始終落在邊上，則線段的最小值是_________．【解答】解：由點G始終落在邊上可知當(dāng)點F越靠近于點C時，的值也就越小，所以當(dāng)點C與點F重合時，的值最小，如圖所示：∵，∴由折疊的性質(zhì)可知，由長方形的特征可知，∴在中，由勾股定理可得，∴，∴的最小值為4；故答案為4【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，正方形的邊長為2，E為邊上任意一點（不與B、C重合），沿折疊正方形，使得點B落在，連接，若點F為線段的中點，則的最小值為__________．【解答】解：連接，以為直徑，中點為圓心作圓，連接即可得到最小距離點，如圖所示，∵正方形的邊長為2，沿折疊正方形，使得點B落在，∴，∵F為線段的中點，∴，∴F為以為直徑的圓上的點，連接交圓于一點即為最小距離點，根據(jù)勾股定理可得，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查圓上動點最小距離問題，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點F為圓上動點問題，找到最小距離點．11．如圖，將長為4，寬為3的矩形紙片折疊，折痕為，點M，N分別在邊上，點A，B的對應(yīng)點分別為E，F(xiàn)，當(dāng)點E為三等分點時，的長為______．【解答】解：如圖所示，過點M作于H，則四邊形都是矩形，設(shè)交于T，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，當(dāng)點E是靠近點D的三等分點時，∴，，設(shè)，則，在中，，由勾股定理得：，∴，解得，∴，，∵，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴，∴；同理，當(dāng)E為靠近點C的三等分點時，；綜上所述，或；故答案為：或．【點睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．如圖，中，，，，是邊的中點，是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是___．【解答】如圖所示，以為圓心，的長為半徑畫弧，連接，交弧于點，此時的值最小，過點，作，交的延長線于點，四邊形是平行四邊形，，，，是的中點，，，在直角中，由勾股定理得，，在直角中，由勾股定理得，．故答案是：．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，得出點位置是解題關(guān)鍵．13．如圖，在中，，，，點是的中點，點是邊上的動點，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)時，的長為_____．【解答】解：當(dāng)點在的上方時，如圖1，延長交于點，，，，，是中點，，，由翻折得，，，，，，，，，；當(dāng)點在的下方時，如圖2，交于點，則，，，，，，，，，，綜上所述，的長為1或4，故答案為：1或4．【點睛】此題重點考查平行線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，中，，D為邊上一點，連接，將沿翻折得到，點C在線段上，過點C作交延長線于點E，若，，則的長為__________．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在邊長為4的菱形中，，M是邊上的一點，且，N是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是___________．【解答】解：過點M作交延長線于點H，連接，菱形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴點在以M為圓心，為半徑的圓上，∴當(dāng)點在線段上時，長度有最小值，∴長度的最小值．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，找到當(dāng)點在上，的長度最小，是解題的關(guān)鍵．16．如圖，折疊矩形的一邊，使點D落在邊的點F處，已知折痕，且，則的長是______________．【解答】解：∵，∴設(shè)，且，在中可得，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)有：，∴，∵，，∴，∴，∴，即，在中由勾股定理得解得：（負值舍去），即：，故答案為：．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)以及翻折變換的知識，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)值，表示出每條線段的長度，然后利用勾股定理進行解答．17．如圖，將梯形（紙片）折疊，使點與邊上的點重合，直線為折痕；點也與邊上的點重合，直線為折痕．已知，，，則的面積是__________．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得，，，，，，過作于，，是等腰直角三角形，，，，的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），解直角三角形，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．已知矩形，，為上的點，連結(jié)，將沿翻折，點的對應(yīng)點為，交于，交于為上的點，將沿翻折，使點的對應(yīng)點正好落在上，若，則_____，_____．【解答】①解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即；②解：∵在中，，，，∴，，∴，∵，∴根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，熟練相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．19．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使點C落在斜邊上的點E處，試求的長．【解答】解：設(shè)，∵，，勾股定理得：，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，∴，，在中，，，解得：（），∴的長為．【點睛】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握翻折的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．綜合與實踐問題情境：如圖，在矩形中，，，連接BD，將沿對角線折疊，點C落在點E的位置，線段交AD于點F．問題解決：(1)求線段的長；拓展提升：(2)如圖，將沿著方向平移，當(dāng)點F的對應(yīng)點落在線段上時，求此時平移的距離；(3)如圖3，將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，能否為等腰三角形？若能，請直接寫出的面積；若不能，請說明理由．【解答】（1）解：∵將沿對角線折疊，∴，，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∴，∴，在中，，，，∴，即，解得，∴；（2）解：連接，∵，，，∴，由平移知：，，∴，∴即，解得；（3）解：可以成為等腰三角形，∵繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，過點M作于P，當(dāng)時，則，∴，∴當(dāng)時，，即，解得，∴，∴當(dāng)時而，，顯然不相等，故舍去．綜上，的面積為或．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明以及分類討論是解題的關(guān)鍵．21．在中，點E在邊上，將沿翻折，使點A落在處，且，連接交于點F．(1)若，．①如圖1，當(dāng)時，______，邊與線段的數(shù)量關(guān)系是______；②如圖2，當(dāng)為任意角度數(shù)時，上述結(jié)論是否依然成立，請說明理由．(2)如圖3，若，，猜想的度數(shù)及邊與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）解：①∵，，∴，∴，由折疊可得，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：，；②∵，，∴，∴，由折疊可得，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）解：，，理由：∵，，∴，∴，由折疊可得，∴，∴是等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊得出為等腰直角三角形或等邊三角形．22．我們知道長方形的四個角都是直角，兩組對邊分別相等．小亮在參加數(shù)學(xué)興趣小組活動時，對一張長方形紙片進行了探究．如圖是長方形紙片，點E是邊的中點．先將沿著翻折，得到；再將翻折至與重合，折痕是．請你幫助小亮解決下列問題：(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)已知，，求的長．【解答】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵由翻折得，，∴，∵，∴，∴是直角三角形．（2）∵，，∴，∵點是邊的中點，∴，由翻折可知，，，，，，，，則、、在同一直線上，，∴在中，，則，在中，，∴在中，【點睛】此題重點考查長方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識與方法，證明、、在同一直線上，是解題的關(guān)鍵．23．綜合與實踐問題情境：綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．矩形紙片中，，．操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點A的直線折疊，使點D的對應(yīng)點落在邊上，展開后折痕交于點E．(1)的度數(shù)為______．(2)求線段的長度．拓展延伸：(3)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)沿過點A的直線折疊，使點B的對應(yīng)點落在上，展開后折痕交于點F，連接．請判斷的形狀并說明理