專題17能力提升專題一次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題（4大考點）

專題17能力提升專題：一次函數(shù)與特殊平行四邊形的綜合問題【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點一一次函數(shù)與平行四邊形的綜合】 1【考點二一次函數(shù)與矩形的綜合】 19【考點三一次函數(shù)與菱形的綜合】 36【考點四一次函數(shù)與正方形的綜合】 50【典型例題】【考點一一次函數(shù)與平行四邊形的綜合】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與軸交于點，與軸交于點．點的坐標(biāo)為，若點在直線上，點在軸上，若以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，則點的坐標(biāo)為______．【答案】(0.5，0)或(4.5，0)【分析】分CE//BD和CE與BD是對角線兩種情況求解即可．【詳解】解：當(dāng)CE//BD時，如圖1，設(shè)直線CE的解析式為y=2x+b，把代入得3=4+b，∴b=1，∴y=2x1，當(dāng)y=0時，2x1=0，∴x=0.5，∴E(0.5，0)．②當(dāng)CE與BD是對角線時，作CF//AE交BD于F，如圖2，∵的坐標(biāo)為，∴F的縱坐標(biāo)是3，把y=3代入，得2x+4=3，∴x=0.5，∴CF=2+0.5=2.5．∵CF//AE，∴∠CFG=∠EAG，∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴GC=GE，在△CGF和△EGA中，∴△CGF≌△EGA，∴AE=CF=2.5，把y=0代入，得2x+4=0，∴x=2，∴OA=2，∴OE=4.5，∴E(4.5，0)．綜上可知，點E的坐標(biāo)為(0.5，0)或(4.5，0)．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與交于點A，兩直線與x軸分別交于點B和點C，D是直線AC上的一動點，E是直線AB上的一動點．若以E，D，O，A為頂點的四邊形恰好為平行四邊形，則點E的坐標(biāo)為________．【答案】或【分析】當(dāng)OEAC時，由相互平行的兩條直線的一次項系數(shù)相同，可得到直線OE的解析式，然后將OE和AB的解析式聯(lián)立，組成方程組從而可求得點E的坐標(biāo)；當(dāng)DEOA時，ODAB時，先求得OD的解析式，然后聯(lián)立OD、AC，求得點D的坐標(biāo)，然后再求得DE的解析式，將DE和AB聯(lián)立，組成方程組可解得點E的坐標(biāo)．【詳解】解：①如圖1：當(dāng)OEAD時，∵OEAC，所以直線OE的解析式為y=2x，聯(lián)立OE、AB，得，解得，即E1(,)；②如圖2：當(dāng)DEOA時，ODAB時，∵ODAB，∴直線OD的解析式為y=x，聯(lián)立OD、AC，得，解得，∴D(,)．聯(lián)立AB、AC得，解得，A(1，2)．OA的解析式為y=2x，∵DEOA，∴設(shè)直線DE的解析式為y=2x+b，將點D的坐標(biāo)代入直線的解析式得：y=2x，聯(lián)立DE、AB得，解得，E2(,)．③當(dāng)OA為對角線時，則OEAC，如圖1，E(,)綜上所述：點E的坐標(biāo)為(,)或(,)．故答案為：(,)或(,)．【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，掌握相互平行的兩條直線的一次項系數(shù)相同是解題的關(guān)系，解答本題主要應(yīng)用了分類討論的思想．2．（2023春·全國·七年級期中）如圖1，平行四邊形ABCD邊上一動點P，從點A出發(fā)，沿A→B→C→D方向，以每秒2個單位長度的速度運動，設(shè)點P的運動時間是t，△DAP的面積為S，S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示．（1）G點表示的橫坐標(biāo)為_____；（2）則點D到BC邊的距離是______．【答案】84.5厘米【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像、結(jié)合圖形求出BC的值，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可求出點D到BC邊的距離．【詳解】解：由圖2可知，動點P從點A運動到點B用了3秒，∴動點P從點C運動到點D也需用3秒，∵5+3＝8，∴G點表示的橫坐標(biāo)為8；由圖2可知，動點P從點B運動到點C用了2秒，∴AD＝BC＝2×2＝4（厘米），設(shè)點D到BC邊的距離為x厘米，則AD?x＝9，即×4x＝9，解得x＝4.5．∴點D到BC邊的距離為4.5厘米．故答案為：8；4.5厘米．【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖像，在解題時要能根據(jù)函數(shù)的圖像求出BC的長度是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知直線：與軸交于點A．(1)A點的坐標(biāo)為．(2)直線和：交于點B，若以O(shè)、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或或【分析】（1），令，則，即可求解；（2）分是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線，兩種情況分別求解即可．【詳解】（1）解：，令，則，則點，故答案為：；（2）解：聯(lián)立直線和的表達(dá)式，解得：，故點，①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時，，將點B向上平移2個單位或向下平移2個單位即可得到點C，則點C或；②當(dāng)是平行四邊形的對角線時，設(shè)點C的坐標(biāo)為，點，的中點和的中點坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式：，解得：，故點C；故點C坐標(biāo)為：或或．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)，其中（2），要分類求解，避免遺漏．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B在x軸上，直線經(jīng)過點B，并與y軸交于點，直線AD與BC相交于點；(1)求直線AD的解析式；(2)點P是線段BD上一點，過點P作交AD于點E，若四邊形AOPE為平行四邊形，求E點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把點（0，7）代入，進(jìn)而可求出點的坐標(biāo)，在將點A、點D代入一次函數(shù)即可求解．（2）設(shè)E（m，3m＋12），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得P的坐標(biāo)為（m＋4，3m＋12），把P的坐標(biāo)代入直線BC的表達(dá)式即可求解．【詳解】（1）解：把點（0，7）代入，，，即直線BC的解析式，當(dāng)時，，點坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，把兩點代入，，解得，直線的函數(shù)解析式：．（2）設(shè)E（m，3m＋12），，P的坐標(biāo)為（m＋4，3m＋12），把P的坐標(biāo)代入直線BC的表達(dá)式得：3m＋12＝－2（m＋4）＋7，解得：，點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，一次函數(shù)的圖像與x軸交于點B，與交于點C．點P是y軸上一點，點Q是直線上一點．(1)求的面積；(2)若點P在y軸的負(fù)半軸上，且是軸對稱圖形，求點P的坐標(biāo)；(3)若以P、Q、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點P的坐標(biāo)為：或(3)點Q的坐標(biāo)為或或【分析】（1）先求出點A、B、C的坐標(biāo)，再求出的面積即可；（2）點P的坐標(biāo)為：，根據(jù)是軸對稱圖形，得出，或，即或，列出關(guān)于m的方程，解方程即可；（3）分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)為平行四邊形的一條邊，為另外一條邊時，當(dāng)為平行四邊形的一條邊，為對角線時，當(dāng)為對角線時，分別畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：把代入得：，解得：，∴點A的坐標(biāo)為，把代入得：，解得：，∴點B的坐標(biāo)為，∴，聯(lián)立，解得：，∴點C的坐標(biāo)，∴；（2）解：設(shè)點P的坐標(biāo)為：，∵是軸對稱圖形，∴，或，∴或，當(dāng)時，，解得：或（舍去），當(dāng)時，，解得：或（舍去），∴點P的坐標(biāo)為：或；（3）解：設(shè)點Q的坐標(biāo)為：；當(dāng)為平行四邊形的一條邊，為另外一條邊時，如圖所示：∵，∴設(shè)直線的解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為，把代入得：，∴此時點P的坐標(biāo)為，則，解得：，，∴此時點Q的坐標(biāo)為；當(dāng)為平行四邊形的一條邊，為對角線時，如圖所示：∵，∴設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，解得：，把代入得：，∴此時點Q的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時，如圖所示：∵，∴此時點P的坐標(biāo)仍然為，∴，，解得：，，∴此時點Q的坐標(biāo)為；綜上分析可知，點Q的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．6．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的另一直線交x軸正半軸于C，且△ABC面積為15．（1）求點C的坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式；（2）若M為線段BC上一點，且△ABM的面積等于△AOB的面積，求M的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點E為直線AM上一動點，在x軸上是否存在點D，使以點D、E、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）C（4，0），y＝﹣x+5；（2）M；（3）存在，滿足條件的點D的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．【分析】（1）先求出A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積求出C，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+b，將B、C的坐標(biāo)代入求解即可；（2）根據(jù)S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO求解即可；（3）設(shè)直線AM的表達(dá)式為，，求出AM的解析式，然后分三種情況：①當(dāng)BC為平行四邊形的邊，四邊形BCDE為平行四邊形時；②當(dāng)BC為平行四邊形的邊，四邊形BDEC為平行四邊形時；③當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時，討論求解即可.【詳解】解：（1）直線y＝x+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴A（﹣2，0），B（0，5），即OA＝2，OB＝5，∵△ABC面積為15，∴（OA+OC）?OB＝15，∴OC＝4，∴C（4，0），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+b，將點B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：解得：∴直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+5；（2）∵S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO＝15﹣×2×5＝10，∴S△ACM＝×6×ym＝10，解得：ym＝，∴解得：xm＝，∴M（，）；（3）∵A（﹣2，0），M（，），設(shè)直線AM的表達(dá)式為，將點A、M的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：∴直線AM的表達(dá)式為：y＝x+2．①當(dāng)BC為平行四邊形的邊，四邊形BCDE為平行四邊形時，如圖：∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，∴點E的縱坐標(biāo)是5，∵點E為直線AM上一動點，直線AM的表達(dá)式為：y＝x+2．∴x+2＝5，解得：x＝3，∴E（3，5），∴BE＝CD＝3，∵C（4，0），∴D（7，0）；②當(dāng)BC為平行四邊形的邊，四邊形BDEC為平行四邊形時，如圖：過點E作EF⊥x軸于F，∵四邊形BDEC為平行四邊形，∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，∴△BDC≌△ECD（SAS），∴EF＝OB，∵B（0，5），∴EF＝OB＝5，∴點E的縱坐標(biāo)是﹣5，∵點E為直線AM上一動點，直線AM的表達(dá)式為：y＝x+2．∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7，∴OF＝7，在Rt△BOC和Rt△EFD中，∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），∴DF＝OC，∵C（4，0），∴DF＝4，∴OD＝4+7＝11，∴D（﹣11，0）；③當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時，∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，∴點E的縱坐標(biāo)是5，∵點E為直線AM上一動點，直線AM的表達(dá)式為：y＝x+2．∴x+2＝5，解得：x＝3，∴E（3，5），∴BE＝CD＝3，∵C（4，0），∴D（1，0）．綜上，存在，滿足條件的點D的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.7．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y與軸、軸相交于、兩點，點在線段上，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點恰好落在直線上，過點作軸于點，(1)求證：．(2)求點的坐標(biāo)．(3)若點在軸上，點在直線上，是否存在以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)存在，點的坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等角的余角相等可得，，根據(jù)即可證明；（2）設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法即可求得解析式，設(shè)，即可得的坐標(biāo)，代入解析式即可求得，進(jìn)而求得的坐標(biāo)；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，分為邊及為對角線兩種情況考慮，利用平行四邊形的對角線互相平分，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出點的坐標(biāo)．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，．又∵，∴，∴，在與中，∵，∴；（2）與軸、軸相交于、兩點，令，得，則，令，得，則，，設(shè)，，，點在直線上，將代入，即，解得，；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，分兩種情況考慮：①若為邊時，∵，，，∴，解得：，∴∴點的坐標(biāo)為；或，解得：，∴∴點的坐標(biāo)為；②若為對角線，∴，解得：，∴∴點的坐標(biāo)為；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握利用全等三角形的判定定理；利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；利用平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)．【考點二一次函數(shù)與矩形的綜合】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖①，在矩形中，動點從點出發(fā)，沿，，運動至點停止．設(shè)點運動的路程為，的面積為，如果關(guān)于的函數(shù)圖像如圖②所示，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像分析各拐點的意義，時沿運動，時沿運動，可知，的值，從而求得；【詳解】根據(jù)函數(shù)圖像分析，時，的值不斷增大，沿運動；時，的值沒有變化，沿運動；時，的值不斷減小，沿運動；,四邊形是矩形故選A【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，動點問題，動點問題的函數(shù)圖像的實際意義，理解函數(shù)圖像中拐點的意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于、兩點，點是線段上一動點(不與點A、B重合)，過點分別作、垂直于軸、軸于點、，當(dāng)點從點開始向點運動時，則矩形的周長(

)A．不變 B．逐漸變大 C．逐漸變小 D．先變小后變大【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可設(shè)出點C的坐標(biāo)為（m，m+1），根據(jù)矩形的周長公式即可得出C矩形CDOE=2，此題得解.【詳解】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，，則，，，故選．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及矩形的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征設(shè)出點C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.2．（2023春·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的點和點分別落在軸和軸上，，，直線以每秒個單位長度向下移動，經(jīng)過______秒該直線可將矩形的面積平分．【答案】【分析】首先連接、，交于點，當(dāng)經(jīng)過點時，該直線可將矩形的面積平分，然后計算出過且平行直線的直線解析式，從而可得直線要向下平移個單位，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：連接、，交于點，當(dāng)經(jīng)過點時，該直線可將矩形的面積平分；，是的對角線，，，，，，根據(jù)題意設(shè)平移后直線的解析式為，，，解得，平移后的直線的解析式為，直線要向下平移個單位，時間為秒，故答案為：．【點睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及一次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是正確掌握經(jīng)過矩形對角線交點的直線平分矩形的面積．3．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，，將矩形沿直線折疊，使點與點重合，點的對應(yīng)點為點．（1）求點坐標(biāo)；（2）求線段的長度；（3）直接寫出直線和的解析式．【答案】（1）點的坐標(biāo)為；（2）；（3）直線的解析式為，直線的解析式為．【分析】（1）由折疊性質(zhì)得，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求出點坐標(biāo)；（2）過點作垂足為，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得出，，求出，再利用勾股定理即可求解；（3）由點E、F坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式；過點D作于G，結(jié)合三角形面積公式求出點D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式．【詳解】解：（1）∵將矩形沿直線折疊，使點與點重合，∴，．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，．即．解得，．∴點的坐標(biāo)為．（2）與（1）同理，可得，點的坐標(biāo)為．過點作垂足為，∴．∵四邊形是矩形，∴．∴四邊形是矩形．∴，．∴．在中，根據(jù)勾股定理，．；（3）設(shè)直線EF的解析式為：，把，代入解析式，得：，解得，直線的解析式為；過點D作于G，，即，，又，；設(shè)直線CD的解析式為：，把，代入解析式，得：，解得，直線的解析式為．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．4．（2023春·福建福州·八年級福州三牧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形為矩形，點在軸上，點在軸上，點坐標(biāo)是，點坐標(biāo)是，矩形沿直線折疊，點落在邊上的處，、分別在、上，直線解析式為，點的坐標(biāo)是．(1)求出的值；(2)若直線平行于直線，交軸于點，求直線的解析式；(3)點在軸上，直線上是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）將點的坐標(biāo)代入直線解析，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直線平行于直線，可設(shè)直線解析式，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理確定，再代入即可；（3）本問關(guān)鍵是確定平行四邊形的位置與形狀．因為、均為動點，只有已經(jīng)確定，所以可從此入手，按照為平行四邊形的一邊、為平行四邊形的對角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀．確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用全等三角形求得點的縱坐標(biāo)，再利用直線解析式求出點的橫坐標(biāo)，從而求得點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線解析式為，點的坐標(biāo)是，∴，∴，∴直線解析式為，∴的值為．（2）∵點坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，∴，，，∵矩形沿直線折疊，點落在邊上的處，∴，，，∴，∴，∴，∵直線平行于直線，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為．（3）若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：①如圖1所示，為平行四邊形的一邊，且點在軸正半軸上，過點作軸于點，延長交軸于點，設(shè)，∴，∵，，∴，∵四邊形為矩形，點在軸上，點在軸上，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴點的縱坐標(biāo)：，∵直線解析式為，∴點的橫坐標(biāo)：，∴；②如圖1所示，為平行四邊形的一邊，且點在軸負(fù)半軸上，過點作軸于點，延長交軸于點，設(shè)，∴，∵，，∴，∵四邊形為矩形，點在軸上，點在軸上，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴點的縱坐標(biāo)：，∵直線解析式為，∴點的橫坐標(biāo)：，∴；③如圖3所示，為平行四邊形的對角線，過點作延長線的垂線，垂足為，設(shè)，∴，∵，，∴，∵四邊形為矩形，點在軸上，點在軸上，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴點的縱坐標(biāo)為：，∵直線解析式為，∴點的橫坐標(biāo)為：，∴；綜上所述，存在點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)與平面圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)（直線）解析式，矩形，平行四邊形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識點．難點在于第（3）問，這是一個存在性問題，注意平行四邊形有三種可能的情形，需要一一分析并求解，避免遺漏．根據(jù)題意，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在、軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為（6，8），一次函數(shù)的圖象與邊OC、AB分別交于點D、E，并且滿足OD=BE，點M是線段DE上的一個動點．（1）求的值；（2）連結(jié)OM，若△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，求點M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點N是x軸上方平面內(nèi)的一點，以O(shè)、M、D、N為頂點的四邊形為菱形時，請求出點N的坐標(biāo)．【答案】（1）b=6；（2）M；（3）N點坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)OD=BE，可得點E（6，8b），將E代入解析式，即可求解；（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為：，OD=6，AE=2，根據(jù)△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，可得，可得到，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，則，即可求解；（3）分兩種情況：若以O(shè)D為對角線，得到菱形OMDN；若以DM為對角線，得到菱形ODNM，討論，即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，∴軸，軸，∵一次函數(shù)的圖象與邊OC、AB分別交于點D、E，并且滿足OD=BE，∴OD=BE=b，∵點B的坐標(biāo)為（6，8），∴AB=8，點E的橫坐標(biāo)為6，∴AE=ABBE=8b，∴點E（6，8b），將點E代入，得：，解得：；（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為：，OD=6，AE=2，∵△ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：2，∴，∵，∴，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，則，即，解得：，將代入，得：，∴M；（3）如圖（1），若以O(shè)D為對角線，得到菱形OMDN，則MN垂直平分OD，M和N關(guān)于y軸對稱，∵OD=6，∴點M的縱坐標(biāo)均是，將代入，得：，解得：，∴點M，∴點N；如圖（2），若以DM為對角線，得到菱形ODNM，則OM=OD=6，線段DM與線段ON的中點重合，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為，∴，即，解得：或（舍去），∴點M，設(shè)點N，由（1）知：，∴，解得：，∴點N，綜上所述，以O(shè)、M、D、N為頂點的四邊形為菱形時，點N的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是一次函數(shù)與菱形的判定與性質(zhì)的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定方法，正確根據(jù)菱形的性質(zhì)求得M的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)分別為（12，0），（12，6），直線與y軸交于點P，與邊OA交于點D，與邊BC交于點E．（1）若直線平分矩形OABC的面積，求b的值；（2）在（1）的條件下，過點P的直線，與直線BC和x軸分別交于點N、M．問：是否存在ON平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長，若不存在，請說明理由．（3）將（1）中的直線沿y軸向下平移a個單位得到新直線，使得矩形OABC沿平移后的直線折疊，若點O落在邊BC上的F處，CF=9，求出a的值．【答案】（1）12；（2）或；（3）．【分析】（1）根據(jù)直線平分矩形的面積，則直線必過矩形的中心，求出中心坐標(biāo)代入即可；（2）假設(shè)存在平分，利用全等三角形的判定及性質(zhì)以及角平分線的定義可性質(zhì)得，從而，則設(shè)，則，利用勾股定理列出方程求解即可，注意分兩種情形，當(dāng)與線段，交于，時，利用即可，當(dāng)與直線BC和x軸交于，時，則；（3）設(shè)平移后的直線，此時直線與y軸的交點記為點，在中，借助勾股定理得方程，解方程即可．【詳解】解：（1）直線平分矩形的面積，直線過矩形的中心，，O（0，0），矩形中心為，，解得；（2）如圖，假設(shè)存在平分的情況，當(dāng)與線段，交于，時，∵，，∴，又∵BC⊥y軸，∴，在與中，，∴（SAS），∴，平分，∴，∵，∴，，∴設(shè)，則，∵在Rt中，，∴，解得：（舍負(fù)），，當(dāng)時，，解得，，；如圖，當(dāng)與直線BC和x軸交于，時，∵，，∴，又∵BC⊥y軸，∴，在與中，，∴（SAS），∴，平分，∴，∵，∴，，∴設(shè)，則，∵在Rt中，，∴，解得：（舍負(fù)），，當(dāng)時，，解得，，∴此時，綜上所述，存在平分的情況，此時或；（3）設(shè)平移后的直線，此時直線與y軸的交點記為點，連接，，則有，，在中，由勾股定理得：，解得，∴，．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵，題目綜合性較強．【考點三一次函數(shù)與菱形的綜合】例題：（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）將矩形如圖所示放置在第一象限，點B的坐標(biāo)為，一次函數(shù)的圖象與邊分別交于點D、E，并且滿足，點M是線段上的一個動點．(1)填空：；(2)設(shè)點N是x軸上方平面內(nèi)的一點，以O(shè)、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點M的坐標(biāo)為或．【分析】（1）分別表示出D和E點的坐標(biāo)，根據(jù)列出等式即可求出b的值；（2）分當(dāng)為菱形一邊時和當(dāng)為菱形一條對角線時兩種情況，根據(jù)菱形鄰邊相等或?qū)蔷€的對稱性等特點找到等量列出等式即可求出M點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵點B的坐標(biāo)為，矩形放置在第一象限，∴，，，，∵，∴，∴；（2）解：①當(dāng)為菱形一邊時，，如圖所示：設(shè)，∴，解得，或（不合題意，舍去），∴；②當(dāng)為菱形一條對角線時，過中點P作交直線于點M，∴點M的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∴點，綜上，符合條件的點M有兩個，其坐標(biāo)分別為或．【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)基本性質(zhì)以及菱形的基本性質(zhì)等知識，熟練掌握好一次函數(shù)的基本性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系中點的綜合變化，并能將菱形特點與平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變化相互結(jié)合，靈活運用是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖1，在菱形中，，動點從點出發(fā)，沿折線方向勻速運動，運動到點停止．設(shè)點的運動路程為，的面積為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為_______．【答案】【分析】根據(jù)圖1和圖2判定三角形為等邊三角形，它的面積為解答即可．【詳解】解：在菱形中，，為等邊三角形，設(shè)，由圖可知，的面積為，∴的面積解得：(負(fù)值已舍)故答案為：．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)菱形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是梯形，，是的中點，，點坐標(biāo)是，所在直線的函數(shù)關(guān)系式為，點是邊上一個動點．(1)當(dāng)_________________時，以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形．(2)在（1）的條件下，點P在邊上運動過程中，以點、、、為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由．【答案】(1)1或11(2)當(dāng)時，以點、、、為頂點的四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）先求出點D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再根據(jù)線段中點的定義求出，再分當(dāng)四邊形是平行四邊形，當(dāng)四邊形是平行四邊形時兩種情況根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)（1）所求，求出兩種情況下鄰邊是否相等即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，點坐標(biāo)是，∴點D的縱坐標(biāo)為4，又∵點D在直線上，且當(dāng)時，，∴點D的坐標(biāo)為，∴，∵，點E是的中點，∴，當(dāng)四邊形是平行四邊形，∴，∴；當(dāng)四邊形是平行四邊形時，∴，∴；∴當(dāng)或時，以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，故答案為：1或11；（2）解：當(dāng)時，以點、、、為頂點的四邊形是菱形，理由如下：∵點C是直線與x軸的交點，∴點C的坐標(biāo)為，∵，∴點B的坐標(biāo)為，當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為，則，則此時以點、、、為頂點的四邊形不是菱形；當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為，則，則此時以點、、、為頂點的四邊形是菱形；綜上所述，當(dāng)時，以點、、、為頂點的四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點，點C在x軸正半軸上，對角線交y軸于點M，邊交y軸于點H．動點P從點A出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度沿折線A—B—C向終點C運動．(1)點B的坐標(biāo)為______；(2)設(shè)動點P的運動時間為t秒，連接，的面積為S，請用含t的式子表示S；(3)當(dāng)點P運動到線段上時，連接，若，求P的運動時間t的值．【答案】(1)(2)；(3)P的運動時間t的值為秒．【分析】（1）由點A坐標(biāo)可得，由勾股定理可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得邊長為10，據(jù)此即可求解；（2）分兩種情形：如圖21中，當(dāng)時，如圖22中，當(dāng)時，連分別求解即可；（3）設(shè)，推出，求得，推出，得到是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：連接，如圖21中，當(dāng)時，∵，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，∴直線的解析式為，∴，∴，∴，∴．如圖22中，當(dāng)時，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述，；（3）解：∵，，，∴，∵，∴設(shè)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴P的運動時間t的值為秒．【點睛】本題查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理等知識點，正確作出輔助線以及掌握分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，以點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，射線為軸的正半軸，點的坐標(biāo)為．(1)菱形的邊長是_______，直線的解析式為__________；(2)若為直線上一動點，的橫坐標(biāo)為，設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)點在直線上運動過程中，以、、、為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)10；(2)S=(3)點F的坐標(biāo)為或【分析】（1）先求出OA的長，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OC的長，設(shè)直線AC的解析式：y=kx+b（k≠0），待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)題意，先表示出點P縱坐標(biāo)，當(dāng)x＜6時，S=S△COPS△COA，當(dāng)6＜x≤10時，S=S△AOCS△COP，當(dāng)x＞10時，S=S△AOC+S△COP，即可表示出S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）分情況討論：①當(dāng)∠OP1C=90°時，②當(dāng)∠P2OC=90°時，③當(dāng)∠OCP=90°時，分別先求出點P坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求出點F坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵點A坐標(biāo)為（6，8），∴OA==10，∴菱形OABC的邊長為10，在菱形OABC中，OA=OC，∴OC=10，∵射線OC為x軸的正半軸，∴C點坐標(biāo)為（10，0），設(shè)直線AC的解析式：y=kx+b（k≠0），將點A（6，8），點C（10，0）代入解析式，得，解得:，∴直線AC的解析式：y=2x+20，故答案為：10，y=2x+20；（2）解：∵P為直線AC上一動點，P的橫坐標(biāo)為x，∴點P的縱坐標(biāo)為2x+20，∵S≠0，∴x≠6，當(dāng)x＜6時，S=S△COPS△COA=×10(?2x+20)×10×8=10x+60，當(dāng)6＜x≤10時，S=S△AOCS△COP=×10×8?×10(?2x+20)=10x60，當(dāng)x＞10時，S=S△AOC+S△COP=×10×8+×10×(2x?20)=10x60，綜上，S=；（3）解：以O(shè)、P、C、F為頂點的四邊形是矩形，分情況討論，如下圖所示：①當(dāng)∠OP1C=90°時，∵OA=OC，∴P1為AC的中點，∵A（6，8），C（10，0），∴P1坐標(biāo)為（8，4），∵四邊形OP1CF1為矩形，∴點F1坐標(biāo)為（2，4）；②當(dāng)∠P2OC=90°時，此時點P2坐標(biāo)為（0，20），∵四邊形OP2F2C是矩形，∴點F2坐標(biāo)為（10，20），③當(dāng)∠OCP=90°時，不存在滿足條件的點F，綜上，點F坐標(biāo)為（2，4）或（10，20）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)求解析式，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，分段函數(shù)等，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強，難度較大．5．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點、分別在軸、軸上，且，為直線上一動點，連，過作，交直線、直線于點、，連．(1)求直線的解析式．(2)當(dāng)為中點時，求的長．(3)在點的運動過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)直線解析式：(2)(3)存在，點橫坐標(biāo)為：或或【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出點A和點C的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式：，將點A和點C的坐標(biāo)代入即可；（2）證明，根據(jù)勾股定理求解即可；（3）根據(jù)菱形是性質(zhì)和判定定理，進(jìn)行分類討論即可；以，為邊，以，為邊，，③以，為邊，．【詳解】（1）∵矩形的頂點、分別在軸、軸上，且，點，點，設(shè)直線的解析式：，代入點，坐標(biāo)，得，解得，直線解析式：；（2）∵E為的中點，，在矩形中，，，在和中，，，，，為線段的垂直平分線，，設(shè)，則，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，；（3）存在以、、、為頂點的四邊形為菱形，分情況討論：以，為邊，則，，為的中點，由可知點，點，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得點的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為；如圖，以，為邊，，延長至M，使，在的延長線上截取，連接，，，，，，，，，，，同理可得：，，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，，，，，點橫坐標(biāo)為：；③如圖，以，為邊，，作于，連接，作于，可得，平分，，設(shè)，在中，，，，，，，，綜上所述：點橫坐標(biāo)為：或或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，線段和最小，勾股定理，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段最短原理是解題的關(guān)鍵．【考點四一次函數(shù)與正方形的綜合】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面積；(2)求點C和點D的坐標(biāo)；(3)在x軸上是否存在點M，使△MDB的周長最??？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)5(2)C(1，3)，D(3，2)(3)，理由見詳解【分析】（1）由一次函數(shù)，可求出A和B點坐標(biāo)，即得出OA和OB的長，再根據(jù)勾股定理求出AB的長，最后由正方形面積公式計算即可；（2）作軸，軸．根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合所作輔助線易證，即得出，，從而可求出，，即得出C、D兩點坐標(biāo)；（3）找出點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸交于點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知此時周長最?。葿(0，1)，得出(0，1)，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式為，從而可求出M點坐標(biāo)．【詳解】（1）對于直線，令，得到；令，得到，∴A(2，0)，B(0，1)，∴在中，，，∴根據(jù)勾股定理得：，∴正方形面積為5；（2）如圖，作軸，軸，∴．∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，，∴，，∴C(1，3)，D(3，2)；（3）如圖，找出點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸交于點，則此時周長最?。連(0，1)，∴(0，1)設(shè)直線的解析式為，把與坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為．對于，令，得到，∴M(1，0)．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用以及軸對稱變換等知識．正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）正方形，…，按如圖的方式放置，點，…和點，…分別在直線和軸上，則點的坐標(biāo)是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點得出，進(jìn)而根據(jù)題意分別求得,,的坐標(biāo)，進(jìn)而得出規(guī)律，求得點的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：如圖，∵直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，∵……是正方形，∴的縱坐標(biāo)是，的橫坐標(biāo)是，∴，∴，∴，即的縱坐標(biāo)是，的橫坐標(biāo)是，同理得：，即的縱坐標(biāo)是，的橫坐標(biāo)是，……，∴的縱坐標(biāo)是的橫坐標(biāo)是，∴點的坐標(biāo)是，即，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)規(guī)律題，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，頂點A在x軸的負(fù)半軸上，頂點C在y軸的正半軸上，若直線與邊有公共點，則k的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點A與點B的坐標(biāo)，代入解析式得出范圍解答即可．【詳解】解：由題意可得：點，點，把點A代入解析式可得：，解得：，把點B代入解析式可得：，解得：，所以k的取值范圍為：，故答案為：．【點睛】此題考查兩直線相交與平行問題，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點A與點B的坐標(biāo)．3．（2023春·上海·八年級專題練習(xí)）已知一次函數(shù)y＝2x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，在直線右側(cè)以AB為邊作正方形ABCD，則點D的坐標(biāo)是________．【答案】(2，2)【分析】作DE垂直x軸于點E，先根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點求出A、B點坐標(biāo)，得到AO、BO的長，再證明，求出DE、AE的長，即可求出D點坐標(biāo)．【詳解】作DE垂直x軸于點E，如圖，∵一次函數(shù)y＝2x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，∴當(dāng)x=0時，y=4，當(dāng)y=0時，x=2，∴點A、B的坐標(biāo)分別為：A(2，0)，B(0，4)，∴AO=2，BO=4，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，