05挑戰(zhàn)壓軸題（解答題三）-2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編

2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（江西考卷）05挑戰(zhàn)壓軸題（解答題三）1．（2021·江西）課本再現(xiàn)（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，小明只撕下三角形紙片的一個(gè)角拼成圖1即可證明，其中與相等的角是______；類比遷移（2）如圖2，在四邊形中，與互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對(duì)互余的角可類比（1）中思路進(jìn)行拼合：先作，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，發(fā)現(xiàn)，，之間的數(shù)量關(guān)系是_________；方法運(yùn)用（3）如圖3，在四邊形中，連接，，點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接，．①求證：；②連接，如圖4，已知，，，求的長(zhǎng)（用含，的式子表示）．【答案】（1）∠DC；（2）AD2+DE2=AE2；（3）①見解析；②BD=．【解析】【分析】（1）根據(jù)拼圖可求得∠A=∠DC；（2）根據(jù)∠ABC與∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠ABC=90°，利用勾股定理即可求解；（3）①由點(diǎn)O是△ACD兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，證得OA=OD=OC，推出2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，得到∠OAC+∠ADC=90，即可求解；②作∠CDF=∠ABC，再過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，連接AE，求得AC：AB：BC=1：2：，同理可得CE：DE：DC=1：2：，證明△ACE△BCD，利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】（1）根據(jù)拼圖可得：∠A=∠DC；故答案為：∠DC；（2）作∠CDF=∠ABC，再過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，連接AE，如圖，∵∠ABC與∠ADC互余，即∠ABC+∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90°，∴AD2+DE2=AE2；故答案為：AD2+DE2=AE2；（3）①證明：連接OD、OC，∵點(diǎn)O是△ACD兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OD=OC，∴∠OAC=∠OCA，∠ODC=∠OCD，∠OAD=∠ODA，∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，即2∠OAC+2∠ADC=180，∴∠OAC+∠ADC=90，∵∠OAC=∠ABC，∴∠ABC+∠ADC=90；②作∠CDF=∠ABC，再過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，連接AE，∵∠ABC+∠ADC=90，∴∠ABC+∠CDF=90，∴AD2+DE2=AE2，即m2+DE2=AE2，∵∠BAC=90，∴AC：AB：BC=1：2：，同理可得CE：DE：DC=1：2：，∴，∵∠CDF=∠ABC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠BCD=∠ACE，∴△ACE△BCD，∴，∴AE=，在Rt△CDE中，，∴DE=，∴m2+()2=()2，即m2+2=，∴BD2=，∴BD=．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．2．（2020·江西）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：內(nèi)蒙類比探究（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為；推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點(diǎn)在上，，，求五邊形的面積．【答案】（1）；（2）結(jié)論成立，證明看解析；（3）【解析】【分析】（1）由題目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均為直角三角形，又因?yàn)?，則有∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長(zhǎng)平方的比，列出等式，找到從而找到面積之間的關(guān)系；（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長(zhǎng)平方的比，列出等式，從而找到面積之間的關(guān)系；（3）將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形，過(guò)點(diǎn)A作AHBP于點(diǎn)H，連接PD，BD，由此可知，，即可計(jì)算出，根據(jù)△ABP∽△EDP∽△CBD，從而有，由（2）結(jié)論有，最后即可計(jì)算出四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）∵△ABC是直角三角形，∴，∵△ABD、△ACE、△BCF均為直角三角形，且，∴∽∽，∴，，∴∴得證．（2）成立，理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴，∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，，∴∽∽，∴，，∴∴得證．（3）過(guò)點(diǎn)A作AHBP于點(diǎn)H，連接PD，BD，∵，，∴，，∵，∴，∴PH=AH=，∴，，∴，∵，ED=2，∴，，∴，∵，∴△ABP∽△EDP，∴，，∴，，∴，，∵，∴∵，∴∵∴△ABP∽△EDP∽△CBD∴故最后答案為．【點(diǎn)睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性質(zhì)，若兩三角形相似，則有面積的比值為邊長(zhǎng)的平方，根據(jù)此性質(zhì)找到面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系即可；（3）主要考查了不規(guī)則四邊形面積的計(jì)算以及（2）的結(jié)論，其中合理正確利用前面得出的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．3．（2019·江西）【特例感知】（1）如圖1，對(duì)于拋物線，，，下列結(jié)論正確的序號(hào)是_______；①拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②拋物線的對(duì)稱軸由拋物線的對(duì)稱軸依次向左平移個(gè)單位得到；③拋物線與直線的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等．【形成概念】（2）把滿足（為正整數(shù)）的拋物線稱為“系列平移拋物線”．【知識(shí)應(yīng)用】在（2）中，如圖2．①“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為，用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式；②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）”：，其橫坐標(biāo)分別為（為正整數(shù)），判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說(shuō)明理由．③在②中，直線分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn)連接，判斷是否平行？并說(shuō)明理由．【答案】（1）①②③；（2）①，，②相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等，理由見解析；③與不平行,理由見解析【解析】【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，分別代入拋物線，，，即可得；②，的對(duì)稱軸分別為，，的對(duì)稱軸，③當(dāng)時(shí)，則，可得或；，可得或；，可得或；所以相鄰兩點(diǎn)之間的距離都是1，（2）①的頂點(diǎn)為，，可得；②橫坐標(biāo)分別為，，，，為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，，縱坐標(biāo)分別為，，，，，相鄰兩點(diǎn)間距離分別為；③由題可知，，，．比較，即可得出結(jié)論與不平行．.【詳解】解：解：（1）①當(dāng)時(shí)，分別代入拋物線，，，即可得；①正確；②，的對(duì)稱軸分別為，，的對(duì)稱軸，由向左移動(dòng)得到，再向左移動(dòng)得到，②正確；③當(dāng)時(shí)，則，或；，或；，或；相鄰兩點(diǎn)之間的距離都是1，③正確；故答案為①②③；（2）①的頂點(diǎn)為，，令，，；②相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等．理由：根據(jù)題意得：，．∴兩點(diǎn)之間的鉛直高度．兩點(diǎn)之間的水平距離．∴由勾股定理得．∴．③與不平行．理由：根據(jù)題意得：，，，．過(guò)分別作直線的垂線，垂足為，，所以，．在中，．在中，．∵，∴．∴，∴與不平行．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)；能夠結(jié)合題意，分別求出拋物線與定直線的交點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理，直線的解析式進(jìn)行綜合求解是關(guān)鍵．4．（2018·江西）小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

求解體驗(yàn)

(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),則=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1）成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式是.

抽象感悟

我們定義：對(duì)于拋物線,以軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的拋物線,則我們又稱拋物線為拋物線的“衍生拋物線”，點(diǎn)為“衍生中心”.

(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求的取值范圍.

問(wèn)題解決

(3)已知拋物線

①若拋物線的衍生拋物線為,兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及衍生中心的坐標(biāo)；

②若拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為,其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…(為正整數(shù)).求的長(zhǎng)(用含的式子表示).【答案】求解體驗(yàn)：；頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1)；；抽象感悟：；問(wèn)題解決：①；（0，6）；②

【解析】【詳解】【分析】(1)把(1，0)代入即可未出=4，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可得頂點(diǎn)關(guān)于（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)，從而可寫出原拋物線關(guān)于點(diǎn)(0，1）成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)是（1，6），從而求出(1，6)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，得，根據(jù)兩拋物線有交點(diǎn)，可以確定方程有解，繼而求得m的取值范圍即可；(3)①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；②如圖，設(shè)，

…

，與軸分別相于，

…

，，則，，…，分別關(guān)于，…，中心對(duì)稱，由題意則可得，…

分別是△，…的中位線，繼而可得，，…，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長(zhǎng).【詳解】求解體驗(yàn)(1)把(1，0)代入得，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，1)，∵(2，1)關(guān)于(0，1)的對(duì)稱點(diǎn)是(2，1)，∴成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是：，即(如圖)抽象感悟(2)∵，∴頂點(diǎn)是（1，6），∵(1，6)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，∴，∵兩拋物線有交點(diǎn)，∴有解，∴有解，∴，∴；(如圖)問(wèn)題解決(3)①

∵=，∴頂點(diǎn)（1，），代入得：①∵

，∴頂點(diǎn)（1，），代入得：②由①②得，∵，，∴，∴兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（1，0），（1，12），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“衍生中心”的坐標(biāo)是（0，6）；②如圖，設(shè)，

…

，與軸分別相于，

…

，，則，，…，分別關(guān)于，…，中心對(duì)稱，∴，…

分別是△，…的中位線，∴，，…，∵，，∴].【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，理解題意，畫出符合題意的圖形借助數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵.5．（2017·江西）我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點(diǎn)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，則AD長(zhǎng)為．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）①；②4；（2）AD=BC，證明見解析；（3）存在，證明見解析，．【解析】【分析】（1）①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解決問(wèn)題；②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：AD=BC．如圖1中，延長(zhǎng)AD到M，使得AD=DM，連接E′M，C′M，首先證明四邊形AC′MB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′M，即可解決問(wèn)題；（3）存在．如圖4中，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN．連接DF交PC于O．想辦法證明PA=PD，PB=PC，再證明∠APD+∠BPC=180°，即可；【詳解】解：（1）①如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=AB′=BC，故答案為．②如圖3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=B′C′=BC=4，故答案為4．（2）結(jié)論：AD=BC．理由：如圖1中，延長(zhǎng)AD到M，使得AD=DM，連接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=BC．（3）存在．理由：如圖4中，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN．連接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=2，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=BM=7，∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵CD=2，CF=6，∴tan∠CDF=，∴∠CDF=60°=∠CPF，易證△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四邊形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等邊三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=，∴PN==．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題．1．（2022·江西·新余四中九年級(jí)期末）如圖，一組拋物線（n為不大于12的正整數(shù)）的頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為，以為邊長(zhǎng)向右作正方形．當(dāng)時(shí)，拋物線為的頂點(diǎn)為，此時(shí)的正方形為，依此類推．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的的頂點(diǎn)為和的坐標(biāo)；(2)求的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；(3)①若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求n的值；②若拋物線（n為不大于12的正整數(shù)）的其中一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，寫出所有滿足條件的正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)(3)①4；②正方形的邊長(zhǎng)為3，6，9【解析】【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可求點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可求點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得點(diǎn)坐標(biāo)；（3）：①由（2）可知，，，，可知∴，，，由以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，如圖所示，可證，有即，計(jì)算滿足要求的解即可；②由題意知（n為不大于12的正整數(shù)）的其中一條拋物線設(shè)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，由，均為不大于12的正整數(shù)，求出的所有滿足條件的值，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)的每個(gè)二次函數(shù)的正方形的邊長(zhǎng)即可．(1)解：∵∴∵，軸∴和的坐標(biāo)分別為和．(2)解：∵∴∵，軸∴．(3)解：①由（2）可知，∴，∴，，∵以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，如圖所示∵，∴∴∴即解得或（不符合題意，舍去）∴的值為4．②解：由題意知（n為不大于12的正整數(shù)）的其中一條拋物線設(shè)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)則解得∵，均為不大于12的正整數(shù)∴的值為3，6，9∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)，正方形的邊長(zhǎng)為3；的頂點(diǎn)坐標(biāo)，正方形的邊長(zhǎng)為6；的頂點(diǎn)坐標(biāo)，正方形的邊長(zhǎng)為9；∴滿足條件的正方形的邊長(zhǎng)為3，6，9．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．2．（2022·湖北湖北·九年級(jí)期末）問(wèn)題背景：如圖1，在中，，，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)P．問(wèn)題探究：(1)探究，之和與之間的數(shù)量關(guān)系．①先將問(wèn)題特殊化，如圖2，當(dāng)時(shí)，直接寫出，之和與之間的數(shù)量關(guān)系；②再探究一般情形，如圖1，當(dāng)不垂直時(shí)，證明①中的結(jié)論仍然成立；(2)拓展探究：如圖3，若的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②見解析(2)【解析】【分析】解：①結(jié)論：．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，再證明四邊形是正方形，可得結(jié)論．②結(jié)論不變，如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．證明，可以推出，再利用正方形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）結(jié)論：，證明方法類似②．(1)解：①解：．理由：∵，∴，在中，，，∵將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵是中邊上的中線，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴②結(jié)論成立，證明：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．則．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∴，，，∵，，∴，∴，∴，，．∴．∴．∴四邊形是正方形．∴，∴．∵，，，∴．∴．∴．(2)解：．理由：如下圖所示，過(guò)作交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如果有一條直線經(jīng)過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最??？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)；(3)∠QAC的正弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)定義證明△DBA∽△ABC即可得證；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，,此時(shí)最小，設(shè)，則根據(jù)，列出方程，解方程求解即可求得，進(jìn)而即可求得的長(zhǎng)，即最小值；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，則當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的值最小，最小值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可．(1)∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直線AD是△ABC的自相似分割線．(2)如圖，連接，，垂直平分AB，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，,此時(shí)最小，，設(shè)，則解得：PA+PC=當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，，由（2）知，平分點(diǎn)落在上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即此時(shí)的值最小，最小值為∠QAC的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，胡不歸問(wèn)題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．4．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線（）與x軸交于點(diǎn)B．與y軸交于點(diǎn)A，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，軸交CD于點(diǎn)E．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接AE，于點(diǎn)F．，，AG交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)G，設(shè)BF的長(zhǎng)為t，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為n，求n與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)n=(3)(，)【解析】【分析】(1)先求得B的坐標(biāo)，代入直線的解析式即可．(2)先證明△FBE∽△OAB，求得EF=，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，證明四邊形AOBH是矩形，△OAG∽△HAE，整理即可．(3)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，利用三角函數(shù)法求解．(1)∵直線（）與x軸交于點(diǎn)B．與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0，2k)，B(2，0)，當(dāng)x=2時(shí)，=b2，∴E(2，b2)，∴EB=b20=b2．(2)∵直線（）與x軸交于點(diǎn)B．與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0，2k)，B(2，0)，∴OA=|2k|=2k，OB=2，∵軸，，∴AO∥BE，∴∠FBE=∠OAB，∴△FBE∽△OAB，∴，∴，解得EF=，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，∵EF⊥AB，∴A、F、E、H四點(diǎn)共圓，∴∠FAH=∠BEF，∵∠BEF=2∠EAF，∴∠FAH=2∠EAF=∠EAF+∠EAH，∴∠EAF=∠EAH，∴EF=EH=，∵AO⊥OB，AH⊥BE，BH⊥OB，∴四邊形AOBH是矩形，∴∠OAH=90°，AH=OB=2，∵AG⊥AE，∴∠OAG=∠HAE，∴△OAG∽△HAE，∴，∴×(2k)=2n，解得n=．(3)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，根據(jù)(2)，得AB=t+2，∴sin∠OAB=，tan∠OAB=，∵FN∥AO，∴∠OAB=∠NFB，∴sin∠NFB=，tan∠NFB=，∴NB=，F(xiàn)N==，∴ON=OBNB=2=，F(xiàn)N==，∴F的坐標(biāo)為(，)，∵CG=5，∴b=n+5=5t，∴BE=b2=3t，∵cos∠FBE=cos∠BFN，∴，∴k=，∴F的坐標(biāo)為(，)，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，三角函數(shù)，熟練掌握三角形相似的判定，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·貴州遵義·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（6，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時(shí)，△CDP的面積最大，并求出最大面積；(3)如圖2，點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD于點(diǎn)E，MF//x軸交直線CD于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)M，使得△MEF≌△COD，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)P（,），最大面積為(3)M（2，8）或M（5，4）【解析】【分析】（1）將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交直線CD于點(diǎn)G，設(shè)P（t，），則G（t，），由S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，即可求解；（3）由題意可得FM＝5，設(shè)M（m，），則F（m?5，），再由F點(diǎn)在直線CD上，即可求m的值，進(jìn)而確定M點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)解：將A（?1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，∴，∴，∴(2)過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交直線CD于點(diǎn)G，設(shè)P（t，），則G（t，），，∴GP＝令y＝0，則x＝3，∴D（3，0），∵S△CDP＝S△PCG?S△PDG＝×PG×3＝?（t?）2＋，，∴當(dāng)t＝時(shí)，S△CDP有最大值此時(shí)P（,）；(3)存在點(diǎn)M，使得△MEF≌△COD，理由如下：∵M(jìn)E⊥CD，∴∠MEF＝90°，∵M(jìn)F∥x軸，∴∠FME＝∠CDO，∵△MEF≌△COD，∴MF＝CD，∵OC＝4，OD＝3，∴CD＝5，∴FM＝5，設(shè)M（m，），則F（m?5，），∵F點(diǎn)在直線CD上，∴＝∴m＝2或m＝5，∴M（2，8）或M（5，4）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）閱讀下面材料．小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC外，∠ADC＝120°，連接BD．用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．小明經(jīng)過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法：如圖2，延長(zhǎng)CD至E，使ED＝AD，連接AE．證△ADE是等邊三角形，△ACE≌△ABD，問(wèn)題得到解決．(1)填空：線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)用學(xué)過(guò)的知識(shí)或參考小明的方法解決下面的問(wèn)題：①如圖3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝135°，連接BD．用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②如圖4，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DAB＝∠DBA＝15°，將線段BD繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到線段B'D，連接B'D．直接寫出的值．【答案】(1)(2)①，證明見解析；②【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)至，使，連接．證是等邊三角形，再利用證明，從而解決問(wèn)題；（2）①延長(zhǎng)，作交的延長(zhǎng)線于，得是等腰直角三角形，得，由（1）同理可得，，從而得出答案；②連接，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，作，交的延長(zhǎng)線于，作于，可得是等腰直角三角形，設(shè)，則，，，利用勾股定理表示出的長(zhǎng)，即可得出答案．(1)解：延長(zhǎng)至，使，連接．，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，故答案為：；(2)①，理由如下：延長(zhǎng)，作交的延長(zhǎng)線于，，，是等腰直角三角形，，由（1）同理可得，，；②連接，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，作，交的延長(zhǎng)線于，作于，，，，是的垂直平分線，，，設(shè)，則，，，，，，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握基本幾何模型，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋6與x軸交于點(diǎn)B（﹣4，0），C（2，0），與y軸交于點(diǎn)A，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP，BP，AB，CP．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若P點(diǎn)在第二象限的拋物線上，當(dāng)△ABP的面積是時(shí)，求△BCP的面積；(3)點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上，且D，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于y軸上的某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接DF和EF，線段EF的長(zhǎng)度是否有最小值，如果有請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值，若沒(méi)有最小值請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，EF最小值為【解析】【分析】（1）將B（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx+6，解出a、b，即可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）先求直線AB解析式，設(shè)P（m，﹣m2﹣m+6），用含m的代數(shù)式表示S△ABP，且由△ABP的面積是列方程，即可求△BCP的面積；（3）過(guò)F作FH⊥x軸于H，連接FE，求出直線AC解析式，由D，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于y軸上的某點(diǎn)成中心對(duì)稱，設(shè)D（t，﹣3t+6），則F（﹣t，﹣t+6），用含t的代數(shù)式表示，求出其最小值，從而得到EF的最小值．(1)（1）將B（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx+6得：，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣x+6；(2)過(guò)P作PQ∥y軸交AB于Q，如圖：在y＝﹣x2﹣x+6中令x＝0，得y＝6，∴A（0，6），設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線AB解析式為y＝x+6，∵P點(diǎn)在第二象限的拋物線上，∴設(shè)P（m，﹣m2﹣m+6），則Q（m，m+6），∴PQ＝﹣m2﹣m+6﹣（m+6）＝﹣m2﹣3m，∵S△ABP＝S△QBP+S△AQP＝PQ?（xA﹣xB），且△ABP的面積是，∴×（﹣m2﹣3m）×4＝，解得m＝﹣1或m＝﹣3，當(dāng)m＝﹣1時(shí)，P（﹣1，），S△BCP＝BC?yP＝×[2﹣（﹣4）]×＝，當(dāng)m＝﹣3時(shí)，P（﹣3，），S△BCP＝BC?yP＝×[2﹣（﹣4）]×＝，∴△BCP的面積是或．(3)過(guò)F作FH⊥x軸于H，連接FE，如圖：設(shè)直線AC解析式為y＝mx+n，將A（0，6）、C（2，0）代入得：，解得，∴直線AC解析式為y＝﹣3x+6，∵D，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于y軸上的某點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴設(shè)D（t，﹣3t+6），則F（﹣t，﹣t+6），∴FH＝﹣t+6，EH＝t﹣（﹣t）＝2t，在Rt△EFH中，EF2＝FH2+EH2，∴EF2＝（﹣t+6）2+（2t）2＝t2﹣18t+36＝（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時(shí)，EF2最小值為，故EF最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，涉及二次函數(shù)解析式、三角形面積、中心對(duì)稱、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)的線段長(zhǎng)度，列方程解決問(wèn)題．3．（2022·陜西西安·九年級(jí)期末）有這樣一類特殊邊角特征的四邊形，它們有“一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)”，我們稱之為“等對(duì)補(bǔ)四邊形”．(1)如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，則四邊形ABCD的面積等于．(2)等對(duì)補(bǔ)四邊形中，經(jīng)過(guò)兩條相等鄰邊的公共頂點(diǎn)的一條對(duì)角線，必平分四邊形的一個(gè)內(nèi)角，即如圖2，四邊形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，連接BD，求證：BD平分∠ABC．(3)現(xiàn)準(zhǔn)備在某地著名風(fēng)景區(qū)開發(fā)一片國(guó)家稀有動(dòng)物核心保護(hù)區(qū)，保護(hù)區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示，該地規(guī)劃部門要求：四邊形ABCD是一個(gè)“等對(duì)補(bǔ)四邊形”，滿足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地勢(shì)原因，要求3≤AD≤6，求該區(qū)域四邊形ABCD面積的最大值．【答案】(1)9(2)見解析(3)【解析】【分析】（1）過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，求出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)得出，根據(jù)全等得出，，求出，求出，代入求出即可；（2）如圖1中，連接，．證明，，，四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，延長(zhǎng)到，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作于，根點(diǎn)作于，于．設(shè)．構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．(1)解：如圖1，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，．故答案為：16；(2)解：證明：如圖2中，連接．，，，，四點(diǎn)共圓，，，，平分．(3)解：如圖3中，延長(zhǎng)到，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，于．設(shè)．，，，，，是等邊三角形，，，由（2）可知．平分，，，，，，，，，，，，，∵，∴∴時(shí)，有最大值，最大值．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．(1)求該拋物線解析式；(2)如圖1，點(diǎn)M為拋物線上第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BM交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)BM將四邊形ABCM的面積分為1：2兩部分時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上D點(diǎn)下方一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線y＝x第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3．(2)M（﹣2，3）或（，）．(3)最小值為AC＝，點(diǎn)P（﹣1，2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的交點(diǎn)式，再將C點(diǎn)的坐標(biāo)帶圖求解，即可得出結(jié)論．（2）過(guò)A點(diǎn)作AG⊥x軸交BM的延長(zhǎng)線于G，則，設(shè)ON＝t，則AG＝4t，CN＝3﹣t，進(jìn)而得出或2，進(jìn)而建立方程求解，即可得出結(jié)論．（3）先判斷出△PCD∽△OBQ，進(jìn)而得出PC＝OQ，在判斷出A、P、C在同一條直線上時(shí)，BP+OQ的最小值，在求出直線AC的解析式，即可得出結(jié)論．(1)解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），∵點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；(2)解：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸交BM的延長(zhǎng)線于G，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），∴S△BCM＝CN（1﹣m），S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝AG[（1+3）﹣（m+3）]＝AG（1﹣m），∴，∵，∴＝，設(shè)ON＝t，則AG＝4t，CN＝3﹣t，∵BM將四邊形ABCM的面積分為1：2兩部分時(shí)，∴＝或2，∴，或2，∴或2，∴t＝1或，∴N（0，1）或N（0，），當(dāng)N（0，1）時(shí)，∵B（1，0），∴直線BM的解析式為y＝﹣x+1①，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1）②，聯(lián)立①②解得，或，∴M（﹣2，3）；當(dāng)N（0，）時(shí)，∵B（1，0），∴直線BM的解析式為y＝﹣x+③，聯(lián)立②③解得，或，∴M（，）；即M（﹣2，3）或（，）；(3)解：如圖2，連接PC，CD，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DP于H，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2m+3＝﹣（m﹣1）2+4，∴D（﹣1，4），∵C（0，3），∴CD＝，DH＝1，CH＝1，∴DH＝CH，∴∠CDP＝45°，∵點(diǎn)Q為直線y＝x第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，∵DP＝OQ，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△PCD∽△OBQ，∴，∴PC＝OQ，∴BP+OQ＝BP+PC，連接AP，∵點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)，∴PB＝PA，∴BP+OQ＝BP+PC＝PA+PC，∴當(dāng)點(diǎn)A，P，C在同一條直線上時(shí)，BP+OQ最小，最小值為AC＝＝，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為y＝x+3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2，∴點(diǎn)P（﹣1，2）．【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)解析式的求法，拋物線的性質(zhì)，三角形面積公式，相識(shí)三角形等問(wèn)題，需要數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題．5．（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在平面