53模擬試卷初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)02專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(二)

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(二)勾股定理的應(yīng)用類型一用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題(一)平面中的最短路徑問(wèn)題1.如圖,在正方形ABCD中,AB邊上有一點(diǎn)E,AE=3,EB=1,在AC上有一點(diǎn)P,使EP+BP的值最小,求EP+BP的最小值.2.如圖,在等邊三角形ABC中,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,P分別是線段AC,AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知AB=2,AD=3,求PE+PC的最小值.(二)立體圖形中的最短路徑問(wèn)題3.如圖所示的是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,每一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)、寬、高分別是50cm、30cm、10cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn),A點(diǎn)有一只壁虎,它想到B點(diǎn)去吃可口的食物,請(qǐng)你想一想,這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā),沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn),至少需爬()A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm4.如圖1,圓柱形容器高為18cm,底面周長(zhǎng)為24cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,為了吃到蜂蜜,螞蟻從外壁A處沿著最短路徑到達(dá)內(nèi)壁B處.(1)圖2是杯子的側(cè)面展開(kāi)圖,請(qǐng)?jiān)诒谻D上確定一點(diǎn)P,使螞蟻沿A→P→B爬行的距離最短;(2)結(jié)合圖,求出螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng).5.【轉(zhuǎn)化法】如圖,長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm、8cm、30cm,在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜂蜜,一只小蟲(chóng)從E處沿盒子表面爬到C處去吃,求小蟲(chóng)爬行的最短路程.類型二用勾股定理解決折疊問(wèn)題(一)三角形中的折疊問(wèn)題6.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)E在BC邊上,將△ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在斜邊AC上的點(diǎn)F處.(1)若AE=CE,求∠C的度數(shù);(2)若AB=3,BC=4,求△CEF的周長(zhǎng).(二)長(zhǎng)方形中的折疊問(wèn)題7.如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,且OE=OD,BE與CD相交于點(diǎn)F.(1)求證:OP=OF;(2)求AP的長(zhǎng).類型三用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題8.【國(guó)家安全】如圖,南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海,以西為公海.晚上10:28,我國(guó)邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我國(guó)沿?？拷?便立即通知正在PQ上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向.經(jīng)檢測(cè)AC=10nmile,AB=6nmile,BC=8nmile.若該可疑船只的速度為12.8nmile/h,則該可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海?類型四勾股定理在探究動(dòng)點(diǎn)的存在性問(wèn)題中的應(yīng)用9.如圖所示,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=8,BC=6,P,Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→C方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿C→B→A方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)出發(fā)2秒后,求線段PQ的長(zhǎng).(2)t為何值時(shí),△APB是等腰三角形?(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△CBQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

答案全解全析1.解析如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O,連接ED,與AC交于點(diǎn)P,連接BP,此時(shí)EP+BP的值最小.易知B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴BP=PD,∴EP+BP=EP+PD=ED.∵在Rt△ADE中,AE=3,AD=AB=1+3=4,∴由勾股定理得ED2=32+42=25=52,∴ED=5,∴EP+BP的最小值為5.2.解析如圖,過(guò)B作BE⊥AC于E,與AD交于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)PE+PC的值最小,∵△ABC是等邊三角形,D為BC的中點(diǎn),∴PC=PB,∴PE+PC=PE+PB=BE,即BE的長(zhǎng)就是PE+PC的最小值,∵△ABC是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,BE⊥AC,∴∠BEC=90°,CE=1,∴BE=22-1∴PE+PC的最小值是3.3.C將臺(tái)階面展開(kāi),連接AB,如圖,線段AB即為壁虎所爬的最短路線.由題意知BC=30×3+10×3=120(cm),AC=50cm,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得AB=AC2+所以壁虎至少需爬130cm.4.解析(1)如圖所示,作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A1,連接A1B交CD于點(diǎn)P,連接AP,點(diǎn)P即為所求.(2)過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E,∵點(diǎn)A1、A關(guān)于CD對(duì)稱,∴A1C=AC=2cm,PA1=PA,∴PA+PB=PA1+PB=A1B,在直角△A1BE中,由勾股定理得A1B=A1E2答:螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)是20cm.5.解析分為三種情況:(1)如圖①,連接EC.在Rt△EBC中,EB=12+8=20(cm),BC=12由勾股定理,得EC=20(2)如圖②,連接EC.同理可得CE=122+(8+15(3)如圖③,連接EC.同理可得CE=82+(12+15)綜上可知,小蟲(chóng)爬行的最短路程是25cm.方法解讀本題屬于轉(zhuǎn)化法,解幾何體表面上的最短距離問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化,即將立體圖形問(wèn)題通過(guò)展開(kāi)轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題,根據(jù)平面上“兩點(diǎn)之間,線段最短”確定路徑,連接起點(diǎn)與終點(diǎn)所得線段作為三角形的一條邊,以此邊來(lái)構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求最短路徑長(zhǎng).6.解析(1)由折疊的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAE,∵AE=CE,∴∠C=∠CAE.∵∠C+∠BAC=90°,∴∠C+∠BAE+∠CAE=90°,∴3∠C=90°,∴∠C=30°.(2)∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=AB2+由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=3,EF=BE,∴CF=AC-AF=2,∴△CEF的周長(zhǎng)為CE+EF+CF=CE+BE+CF=BC+CF=4+2=6.7.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形,∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8.由翻折可知EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,在△ODP和△OEF中,∠∴△ODP≌△OEF(ASA),∴OP=OF.(2)∵△ODP≌△OEF,∴OP=OF,PD=EF.∵OE=OD,∴OD+OF=OE+OP,∴DF=EP.設(shè)AP=EP=DF=x,則EF=PD=6-x,CF=8-x,∴BF=8-(6-x)=2+x,在Rt△FCB中,根據(jù)勾股定理得BC2+CF2=BF2,∴62+(8-x)2=(2+x)2,解得x=4.8,∴AP=4.8.8.解析∵AB2+BC2=62+82=100=102=AC2,∴△ABC為直角三角形,且∠ABC=90°.∵S△ABC=12AC·BD=12AB∴12×10BD=1在Rt△BCD中,CD=BC2-∴該可疑船只從被發(fā)現(xiàn)到進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最短航行時(shí)間為6.4÷12.8=0.5(h).∴該可疑船只最早進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的時(shí)間為晚上10:58.9.解析(1)當(dāng)t=2時(shí),CQ=2×2=4,CP=8-1×2=6,在Rt△PCQ中,PQ=CQ2+CP(2)如圖,當(dāng)△APB是等腰三角形時(shí),有AP=BP=t,則CP=8-t.在Rt△CPB中,由勾股定理得62+(8-t)2=t2,∴t=254故當(dāng)t=254時(shí),△(3)∵點(diǎn)Q在邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí),△CBQ為等腰三角形,∴應(yīng)分三種情況:①如圖,若CQ=BQ,則∠B=∠BCQ.∵∠B+∠A=∠BCQ+∠ACQ=90°,∴∠A=∠ACQ,∴CQ=AQ,∴BQ=AQ.在Rt△BCA中,BA=BC2+