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專題二三角函數(shù)的綜合應(yīng)用2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第三章
三角函數(shù)、解三角形題型一與邊或角有關(guān)的范圍(最值)問題(1)若a,b,c成等差數(shù)列,試判斷△ABC的形狀;(2)求a+c的取值范圍.因為a,b,c成等差數(shù)列,b=4,所以a+c=2b=8,所以16=(a+c)2-3ac,得ac=16,所以a=c=b=4,所以△ABC是等邊三角形.【反思感悟】已知三角形一邊及其對角,求取值范圍的問題的解法圓半徑.(2)根據(jù)b=2RsinB,c=2RsinC把邊長問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.(3)再利用sinB=sin(A+C)[或sinC=sin(A+B),cosB=-cos(A+C)]消去一個未知角.(4)利用三角恒等變換公式,化簡為Msin(ωx+φ)的形式.(5)根據(jù)未知角的取值范圍確定三角函數(shù)的取值范圍.注意:若題目對三角形的形狀有限制(如銳角三角形),需全面考慮三個內(nèi)角的取值范圍.
【互動探究】
2.(2023年西安市校級期中)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且2sinB-sinC=2sinAcosC. (1)求A;解:(1)∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,又∵2sinB-sinC=2sinAcosC,∴2(sinAcosC+cosAsinC)-sinC=2sinAcosC,∴2cosAsinC-sinC=0,題型二與面積有關(guān)的范圍或最值問題[例2](2023年達(dá)州市校級開學(xué))在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinA-csinC=(b-c)sinB.(1)求A的大??;(2)若a=3,求△ABC面積的最大值.【反思感悟】已知三角形一邊及其對角,求最值的問題的解法此類題目除了可按題型一的方式求解之外,亦可用基本不等式求解.(1)(不妨設(shè)已知a與cos
A的值)列出余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,并代入a的值.(2)結(jié)合基本不等式b2+c2≥2bc,得2bc
cos
A+a2≥2bc,并判斷是否能取等.(3)得到bc的最大值,進(jìn)一步求解.注意:若題目中的三角形有特殊限制(如鈍角三角形),基本不等式可能無法取等,此時不宜用基本不等式解題.分別為a,b,c,已知【互動探究】4.(2023年湖州市期末)在△ABC中,設(shè)角A,B,C的對邊長
(1)求B; (2)若△ABC為銳角三角形,且c=2,求△ABC的面積S的取值范圍.題型三三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用[例3](2023年潮州市校級月考)已知函數(shù)f(x)=2sin(π-x)cosx-(1)求f(x)的最大值;(2)在銳角三角形ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,若f(A)=0,b=4,c=3求BC邊上的高AD的長.
【反思感悟】
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