重難點(diǎn)專項(xiàng)突破06旋轉(zhuǎn)之“費(fèi)馬點(diǎn)”模型13種題型（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破06旋轉(zhuǎn)之“費(fèi)馬點(diǎn)”模型13種題型【知識梳理】最值問題是中考?？碱}型，費(fèi)馬點(diǎn)屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來，所以應(yīng)熟練掌握費(fèi)馬點(diǎn)等此類最值經(jīng)典題?！究键c(diǎn)剖析】一．一元一次方程的應(yīng)用（共1小題）1．（2020春?江北區(qū)期末）如圖，已知直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠BOE＝90°，OF平分∠BOD，∠BOC：∠AOC＝1：3．（1）求∠DOE，∠COF的度數(shù)；（2）若射線OF，OE同時繞O點(diǎn)分別以2°/s，4°/s的速度，順時針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OE，OF的夾角為90°時，兩射線同時停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t，試求t值．二．二次函數(shù)綜合題（共1小題）2．（2018秋?沙坪壩區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，與拋物線交于另一點(diǎn)R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求拋物線與直線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥AR于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PH′⊥x軸于點(diǎn)H′，K為直線PH′上一點(diǎn)，且PK＝2PQ，點(diǎn)I為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當(dāng)l取得最大值時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時m的最小值．（3）如圖2，將點(diǎn)A沿直線AR方向平移13個長度單位到點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，動點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′（點(diǎn)M、N、D、N′在同一平面內(nèi)），連接AN、AN′、NN′，當(dāng)△ANN′為等腰三角形時，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）3．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．四．角平分線的性質(zhì)（共1小題）4．（2020?荷塘區(qū)模擬）在△ABC中，若其內(nèi)部的點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則稱P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，設(shè)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且滿足∠PBA＝45°，PA＝4，則△PAC的面積為．五．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）5．（2017秋?義烏市月考）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF＝（）A．2 B．1+ C．6 D．3六．等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）6．（2014秋?廈門期中）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA+PB+PC．七．等腰直角三角形（共1小題）7．（2020?崇州市模擬）如果點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF＝．八．三角形綜合題（共2小題）8．（2023春?渠縣校級期末）如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）證明：EF＝DF；（2）如圖2，點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時，若CD⊥AD，GD＝4，請問在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到△ACD三個頂點(diǎn)距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．9．（2017秋?邗江區(qū)期末）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最?。@個問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖①，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時，PA+PB+PC的值最?。鉀Q問題：（1）如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；基本運(yùn)用：（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：如圖③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，判斷BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；能力提升：（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．九．正方形的性質(zhì)（共1小題）10．（2020?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別為AB、BC上的動點(diǎn)，且始終保持BM＝CN．連接MN，以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt△MNQ，若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為．一十．四邊形綜合題（共1小題）11．（2023?桐城市校級開學(xué)）定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個頂點(diǎn)距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長為，E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形ABCD中，過AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長線于點(diǎn)F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．一十一．軸對稱最短路線問題（共2小題）12．（2021?丹東）已知：到三角形3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB＝AC＝，BC＝2，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝．13．（2019秋?開福區(qū)校級月考）法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最?。藗兎Q這個點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為．一十二．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共4小題）14．（2023春?城關(guān)區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．40° B．30° C．50° D．65°（多選）15．（2023春?臨朐縣期中）如圖，將一副三角板按如圖方式疊放在一起，保持三角板ABC不動，將三角板DCE的CE邊與CA邊重合，然后繞點(diǎn)C按順時針或逆時針方向任意轉(zhuǎn)動一個角度．當(dāng)這兩塊三角板各有一條邊互相平行時，∠ACE的度數(shù)可能是（）A．45° B．90° C．120° D．135°16．（2022秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，則當(dāng)線段AD的長度最小時，①∠BDC＝；②AD的最小值是．17．（2022秋?洪山區(qū)校級期中）如圖，以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD，已知AB＝3，，且∠BDC＝120°，在△BCD內(nèi)有一動點(diǎn)P，則PB+PC+PD的最小值為．一十三．幾何變換綜合題（共1小