第11講特殊的平行四邊形（練習(xí)）

第11講特殊的平行四邊形（練習(xí)）夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2019·上海普陀區(qū)·八年級(jí)期中）如果順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點(diǎn)，那么所圍成的四邊形一定是（）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形【答案】A【分析】因?yàn)轭}中給出的條件是中點(diǎn)，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對(duì)角線相等可證明四條邊都相等，從而說(shuō)明是一個(gè)菱形．【詳解】如圖，連接對(duì)角線AC、BD，

在△ABD中，

∵AH=HD，AE=EB

∴EH=BD，

同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，

∴EH=HG=GF=FE，

∴四邊形EFGH為菱形．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對(duì)角線互相垂直平分．2．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，于點(diǎn)，連結(jié)，則線段的最小值為（）A． B． C． D．5【答案】B【分析】連接PC，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，利用三角形面積解答即可．【詳解】解：連接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴PC的最小值為：，∴線段EF長(zhǎng)的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答．3．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期末）下列命題中，真命題是（）A．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；B．兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；C．兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；D．兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形【答案】D【分析】A、根據(jù)矩形的判定定理作出分析、判斷；

B、根據(jù)菱形的判定定理作出分析、判斷；

C、根據(jù)正方形的判定定理作出分析、判斷；

D、根據(jù)等腰梯形的判定定理作出分析、判斷．【詳解】解：A、兩條對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形．例如等腰梯形的兩條對(duì)角線也相等；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、兩條對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、兩條對(duì)角線垂直且相等的四邊形也可能是等腰梯形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，此說(shuō)法正確；故本選項(xiàng)正確；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰梯形、正方形菱形以及矩形的判定．解答該題時(shí)，需要牢記常見(jiàn)的四邊形的性質(zhì)．4．（2019·上海市婁山中學(xué)八年級(jí)月考）下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）．A．對(duì)邊平行且相等 B．對(duì)角線互相平分C．內(nèi)角和等于外角和 D．每一條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸【答案】D【分析】根據(jù)菱形和矩形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A.對(duì)邊平行且相等，都具有；B.對(duì)角線互相平分，都具有；C.內(nèi)角和等于外角和，都具有；D.每一條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸，菱形具有而矩形不一定具有；故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形和矩形的問(wèn)題，掌握菱形和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2019·上海市民辦新和中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形【答案】D【分析】由題意分別根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形，故A選項(xiàng)正確；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故B選項(xiàng)正確；C、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確；D、根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD時(shí)，它是矩形，不是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；綜上所述，符合題意是D選項(xiàng)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、矩形和正方形的判定，熟練掌握菱形、矩形、正方形是特殊的平行四邊形是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，圖中等于60°的角有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】由已知條件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少個(gè)．【詳解】，，D是AB的中點(diǎn)，AD=DB=CD，，是等邊三角形，，．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)斜邊中線定理得到線段的等量關(guān)系，進(jìn)而得到角的等量關(guān)系．7．（2019·上海市南洋模范中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿其對(duì)角線剪開(kāi)，再把沿著方向平移，得到,若兩個(gè)三角形重疊部分的面積為,則它移動(dòng)的距離等于()

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合陰影部分是平行四邊形，△AA′H與△HCB′都是等腰直角三角形，則若設(shè)AA′＝x，則陰影部分的底長(zhǎng)為x，高A′D＝2?x，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可列出方程求解．【詳解】解：設(shè)AC交A′B′于H，

∵∠A＝45°，∠D＝90°

∴△A′HA是等腰直角三角形

設(shè)AA′＝x，則陰影部分的底長(zhǎng)為x，高A′D＝2?x

∴x?(2?x)＝1

∴x＝1

即AA′＝1cm．

故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，解決本題關(guān)鍵是抓住平移后圖形的特點(diǎn)，利用方程方法解題．二、填空題8．（2019·上海上外附中）判斷：一條對(duì)角線平分一組對(duì)角且有一組對(duì)角都是直角的四邊形是正方形（______）【答案】錯(cuò)誤【分析】根據(jù)題設(shè)畫出反例圖形即可.【詳解】解：反例：如圖，四邊形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，且，而四邊形不是正方形，故該命題是假命題，故答案為：錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定定理，根據(jù)題設(shè)畫出反例圖形是解題的關(guān)鍵.9．（2018·上海楊浦區(qū)·八年級(jí)月考）□ABCD中,若AB=BC,則ABCD是_______形.【答案】菱【分析】根據(jù)菱形的判定可知，由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，

∴四邊形ABCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；故答案為菱形.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，熟記一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2018·上海楊浦區(qū)·八年級(jí)月考）當(dāng)一個(gè)任意平行四邊形的一個(gè)銳角增大到90°時(shí),它就變成了______形.【答案】矩【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，平行四邊形兩組對(duì)邊互相平行，一個(gè)角為直角，則四個(gè)角都是直角，則可知其變成矩形．【詳解】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，因?yàn)槠叫兴倪呅蝺山M對(duì)邊分別平行且相等，所以當(dāng)一個(gè)銳角增加為90°時(shí)，四個(gè)角都是90°，可得其為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定及平行四邊形的性質(zhì)．11．（2018·上海閔行區(qū)·八年級(jí)月考）已知一個(gè)菱形的面積是,其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為4cm,則這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)________【答案】【分析】根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半求解．【詳解】解：設(shè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為x，由題意可得：，解得：，即這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的面積求法，熟知菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半是解題關(guān)鍵．12．（2019·上海八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，∠B＝60°，則AB＝_______cm．【答案】2【分析】過(guò)A作AE∥DC，可得到平行四邊形AECD，從而可求得BE的長(zhǎng)，由已知可得到△ABE是等邊三角形，此時(shí)再求AB就不難求得了．【詳解】等腰梯形ABCD中,AD∥BC,作AE∥DC,則四邊形AECD是平行四邊形,因而AB=AE,CE=AD,再由∠B=60°得到△ABE是等邊三角形，AE=2cm，AB=2cm.【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的性質(zhì).13．（2017·上海市青浦區(qū)金澤中學(xué)八年級(jí)期末）已知如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，若CD＝BC，則∠A＝_____．【答案】30°．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和已知條件可以推知△BCD是等邊三角形，則利用直角三角形兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)來(lái)求∠A的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，∴BD＝CD．又∵CD＝BC，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線,等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出△BCD是等邊三角形.14．（2019·上海八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．設(shè)CE為x．則DE=ADx，CD=AB=2．根據(jù)勾股定理可得x2=（3x）2+22，解得CE=13/6．三、解答題15．（2019·上海普陀區(qū)·八年級(jí)期中）如圖，中，，平分交于點(diǎn)，平分的外角，且．求證：四邊形是矩形．【分析】利用角平分線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)可得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，利用矩形的判定定理即可求解．【詳解】如圖：∵是的平分線，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，即，∵，，∴，即，∵，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)，利用平角的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．16．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是邊AC上一點(diǎn)（D與A、C不重合），過(guò)點(diǎn)A作AE垂直AC，求滿足AE=CD，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F.（1）試判斷△DBE的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADBE的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出四邊形ADBE的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）當(dāng)△BDF是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD的長(zhǎng).【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析；（2）不變；2；（3）或2．【分析】（1）根據(jù)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中△CBD≌△ABE可知四邊形ADBE的面積不變，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況分別討論即可求得．【詳解】（1）△DBE是等腰直角三角形．理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠CAB=∠ACB=45°．∵AE⊥AC，∴∠EAC=90°，∴∠BAE=45°．在△CBD與△ABE中，∵，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，∵∠CBD+∠ABD=90°，∴∠ABE+∠ABD=90°，即∠BDE=90°，即△DBE是等腰直角三角形；（2）不變．∵由（1）知△CBD≌△ABE，∴S四邊形ADBE=S△ABC=×2×2=2；（3）當(dāng)BF=DF時(shí)，則∠BDE=∠FBD，∵△DBE是等腰直角三角形，∴∠BDE=45°，∴∠FBD=45°∴∠CBD=45°，∴∠CBD=∠ABD，∴AD=CD，∴AD=AC，∵AB=BC=2，∴AC=2∴AD=；當(dāng)BD=DF時(shí)，∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形，∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°，∴∠C=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA，∴∠CDB=∠ADF，在△BCD和△DAF中∴△BCD≌△DAF（AAS），∴AD=BC=2．∴當(dāng)△BDF是等腰三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為或2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.能力提升一、單選題1．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，的對(duì)角線、交于點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形，如果添加下列四個(gè)條件中的一個(gè)條件：①；②；③；④，可以使這個(gè)新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形．逐一對(duì)四個(gè)條件進(jìn)行判斷．【詳解】解：順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形．①新的四邊形成為矩形，符合條件；②四邊形是平行四邊形，．．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知．所以新的四邊形成為矩形，符合條件；③四邊形是平行四邊形，．．．四邊形是矩形，連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形是菱形，不符合條件；④，，即平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，新四邊形是矩形．符合條件．所以①②④符合條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊四邊形的判定與性質(zhì)，掌握矩形、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)月考）菱形的一條對(duì)角線與它的邊相等，則它的銳角等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)可得這條對(duì)角線與菱形的兩邊組成等邊三角形，從而求得銳角的度數(shù)等于60°．【詳解】解：由菱形的性質(zhì)得，菱形相鄰的兩邊相等，則與這條對(duì)角線組成等邊三角形，則它的銳角等于60°，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)：四邊相等．3．（2020·青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在中，是高，是中線，那么在結(jié)論①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAM，根據(jù)已知條件判斷∠B＝∠MAH不一定成立；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及余角的性質(zhì)得出∠B＝∠CAH．【詳解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中線，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正確；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②錯(cuò)誤；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4．（2018·上海虹口區(qū)·八年級(jí)期末）菱形的面積為2，其對(duì)角線分別為x、y，則y與x的圖象大致（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)菱形的面積公式，得出x、y的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)x的取值范圍選出答案．【詳解】∵菱形的面積S=∴，即y=其中，x＞0故選：C【點(diǎn)睛】本題考查菱形面積公式的應(yīng)用，注意在求解出x、y的關(guān)系后，還需要判斷x的取值范圍．5．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把矩形沿對(duì)折后使兩部分重合，若，則=（）A．110° B．115° C．120° D．130°【答案】B【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵矩形沿對(duì)折后兩部分重合，，∴∠3=∠2==65°，∵矩形對(duì)邊AD∥BC，∴∠AEF=180°∠3=180°65°=115°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形中翻折的性質(zhì)，兩直線平行的性質(zhì)，平角的定義，掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海市甘泉外國(guó)語(yǔ)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，正方形，邊在軸的正半軸上，頂點(diǎn)，在直線上，如果正方形邊長(zhǎng)是1，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】令y＝1可得x＝2，即點(diǎn)A（2,1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，待入解析式即可求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，繼而根據(jù)正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)F的坐標(biāo)．【詳解】∵正方形，邊在軸的正半軸上，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，CE＝CG＝EF＝GF，AB、CD、CE、FG⊥x軸，∵頂點(diǎn)，在直線令y＝1，則x＝2∴點(diǎn)A（2,1）∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3將x＝3代入直線，得∴點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)是即∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為即點(diǎn)F（，）故答案為：（，）【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到正方形的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)求得點(diǎn)A、E的坐標(biāo)．7．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)月考）我們把兩條對(duì)角線所成兩個(gè)角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩形”，如果一個(gè)“和諧矩形”的對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，則矩形的面積為_(kāi)____cm2．【答案】25【分析】根據(jù)“和諧矩形”的性質(zhì)求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB、AD的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是“和諧矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5，∴矩形ABCD的面積＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）；故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、新定義、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，斜邊上的中線CD=1，AB+AC=2.5，則S△ABC=_________．【答案】【分析】利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AB=2，求得AC=，利用勾股定理求得BC的長(zhǎng)，即可求得答案．【詳解】∵∠BCA=90°，斜邊上的中線CD=1，∴AB=2CD=2，∵AB+AC=2.5，∴AC=，由勾股定理可得BC=，∴S△ABC=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分別是中線，角平分線，高，則和的大小關(guān)系：_________________【答案】相等【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ACE=∠BCE，再根據(jù)高線的定義以及直角三角形的性質(zhì)可得∠BCF=∠A，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠ACD=∠A，最后根據(jù)圖形寫出角的關(guān)系即可得證．【詳解】證明：∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠ACE=∠BCE．∵CF⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠BCF=∠A（同角的余角相等）．

∵CD是AB邊上的中線，∠ACB=90°，

∴AD=CD，

∴∠ACD=∠A（在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角），

∴∠DCE=∠ACE∠ACD=∠ACE∠A，

∠FCE=∠BCE∠BCF=∠ACE∠A，

∴∠DCE=FCE．

故答案為：相等．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，理清圖中角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10（2020·上海松江區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，已知在矩形中，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】45°【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O，由矩形的性質(zhì)得出AC＝BD，OB＝OC，則∠OBC＝∠OCB，證出AC＝CE，則∠CAE＝∠E＝15°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠OBC＝∠OCB＝30°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠E＝15°，∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE＋∠E＝30°，∴∠AFB＝∠OBC＋∠E＝30°＋15°＝45°；故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期末）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若BD=3，AE=4，則正方形ODCE的邊長(zhǎng)等于_____．【答案】【分析】設(shè)正方形ODCE的邊長(zhǎng)為，則CD=CE=，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AE，BF=BD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)正方形ODCE的邊長(zhǎng)為，則CD=CE=，∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，∴AF=AE，BF=BD，∴AB=3+4=7，∵，即，∴（舍去），，∴正方形ODCE的邊長(zhǎng)等于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明及應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．（2020·上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形OABC中，OA=8，OC=4，沿對(duì)角線OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)及過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)E（3，4），過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)（，）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得兩對(duì)邊分別相等，利用翻折的性質(zhì)可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代換和等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得OE＝BE，設(shè)CE＝x，則BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，繼而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，繼而設(shè)反比例函數(shù)解析式，代入即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等積法求得，利用勾股定理求出，繼而即可求解．【詳解】（1）∵長(zhǎng)方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，由折疊的性質(zhì)可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD∴∠CBO＝∠BOD∴OE＝BE設(shè)CE＝x，則BE＝OE＝8－x，在Rt△COE中，由勾股定理可得：即解得：∴點(diǎn)E（3，4）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式將點(diǎn)E（3，4）代入上式可得：∴故過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)的解析式（2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，由翻折的性質(zhì)可得∠BAO＝∠BDE＝90°∴解得：，∵在Rt△DEF中，，∴，∴，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（，）【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)解析式、等積法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)做輔助線，求出關(guān)鍵線段的長(zhǎng)．13．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AF∥BC，且交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF．（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，求證：四邊形AFBD是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加條件．則四邊形AFBD是正方形．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）∠BAC＝90°【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合矩形的判定方法得出答案；（3）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，四邊形AFBD是正方形，理由為：由第一問(wèn)證得的AF＝BD，且AF與BD平行，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得四邊形AFBD為平行四邊形，若三角形ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD＝BD，且根據(jù)三線合一得到AD與BC垂直，可得平行四邊形的鄰邊相等且有一個(gè)角為直角，即可判定出四邊形AFBD為正方形．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴DE是△BCF的中位線，∴DE∥BF，∴AD∥BF，∵AF∥BC，∴四邊形AFBD是平行四邊形；（2）證明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四邊形AFBD是平行四邊形，∴四邊形AFBD是矩形；（3）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AFBD是正方形，理由如下：∵四邊形AFBD為平行四邊形，又∵等腰直角三角形ABC，且D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∠ADB＝90°，∴四邊形AFBD為正方形．故答案為：∠BAC＝90°．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（2020·青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在中，，AD是邊BC上的高，G是AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CG，點(diǎn)E、F分別是AB、CG的中點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)E恰在射線CG上，求的度數(shù)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)直接愛(ài)哦三角形斜邊中線的性質(zhì)，得到，根據(jù)等角對(duì)等邊得到，然后根據(jù)HL即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：AD是BC上的高，點(diǎn)E、F分別是AB、CG的中點(diǎn)，，，，，，AD是邊BC上的高，，