1.4整式的乘法-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

1.4整式的乘法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一單項(xiàng)式×單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注：=1\*GB3①單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，結(jié)果仍為單項(xiàng)式；=2\*GB3②單項(xiàng)式相乘時(shí)，注意不要漏掉無(wú)相同之母的項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二單項(xiàng)式×多項(xiàng)式根據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式的積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；如果式中含有乘方運(yùn)算，仍應(yīng)先算乘方，在算乘法。知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三多項(xiàng)式×多項(xiàng)式先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：運(yùn)算過(guò)程中，需要關(guān)注符號(hào)的變化（負(fù)負(fù)得正，正負(fù)為負(fù)）；乘法運(yùn)算的結(jié)果中，如果有同類項(xiàng)，需要合并同類項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式。題型一整式乘法中的求值問題【例題1】已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q為正整數(shù)），則m的值不可能是（）A．37 B．13 C．20 D．36【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，把等式的左邊進(jìn)行運(yùn)算，再根據(jù)條件進(jìn)行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，則p+q＝13，36＝1×36，則p+q＝37，36＝2×18，則p+q＝20，36＝3×12，則p+q＝15，36＝6×6，則p+q＝12，∴p+q不可能為36，即m不可能為36．故選：D．解題技巧提煉p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn【變式11】（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____【分析】（1）根據(jù)題意，得到；再將原式進(jìn)行變形即可得出答案（2）先設(shè)原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后將a代入即可（3）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算公式對(duì)原式進(jìn)行變形，然后進(jìn)而的出答案（4）采用賦值法進(jìn)行計(jì)算【解析】（1）由題意得：；∴======2001（2）設(shè)，則；∴，即∴原式=（3）=?==192∴∴∴（4）當(dāng)x=1時(shí)，1=……①當(dāng)x=﹣1時(shí)，=……②當(dāng)x=0時(shí)，1=①＋②==即=∴=＋1=﹣120【變式12】若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，則ab﹣a+b的值是（）A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算等式的左邊，根據(jù)等式得到a、b的值，代入計(jì)算出代數(shù)式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故選：A．【變式13】若x+y＝2，xy＝﹣1，則（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開，整理后整體帶入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，當(dāng)x+y＝2，xy＝﹣1時(shí)原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案為：﹣7．【變式14】在計(jì)算（2x+a）（x+b）時(shí)，甲錯(cuò)把b看成了6，得到結(jié)果是：2x2+8x﹣24；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，得到結(jié)果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計(jì)算（2x+a）（x+b）的結(jié)果．【分析】（1）根據(jù)題意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a(bǔ)、b的值代入，再根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則求出即可．【解答】解：（1）甲錯(cuò)把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a(bǔ)＝﹣4代入，得b＝5；（2）當(dāng)a＝﹣4，b＝5時(shí)，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．題型二整式乘法中的不含某項(xiàng)問題【例題2】關(guān)于x的代數(shù)式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化簡(jiǎn)后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．（1）分別求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【分析】（1）先展開整理原式，再根據(jù)題意建立關(guān)于m、n的等式，分別求解即可得出結(jié)論．（2）同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，使n2021變?yōu)閚2020?n，再利用積的乘方逆運(yùn)算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由題意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=?12，（2）原式＝m2020?n2020?n，＝（m?n）2020?n，由（1）得m=?12，原式＝（?12×＝2．解題技巧提煉先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式將括號(hào)打開，再根據(jù)不含項(xiàng)的系數(shù)為0得到方程，解方程即可得到答案.【變式21】已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的結(jié)果中不含x3項(xiàng)，則m的值為()A．1 B．－1 C．－ D．0【分析】根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，根據(jù)整式不含x3項(xiàng)，可得三次項(xiàng)的系數(shù)為零．【解析】（2x）?（53x+mx2nx3）=10x+6x22mx3+2nx4，由（2x）?（53x+mx2nx3）的結(jié)果中不含x3項(xiàng)，得2m=0，解得m=0，故選：D．【變式22】若多項(xiàng)式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘積中不含x2和x3的項(xiàng)，求m+n的值．【分析】利用多項(xiàng)式的乘法法則將兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積展開，令x2項(xiàng)和x3項(xiàng)的系數(shù)為0，結(jié)論可得．【解答】解：由題意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘積中不含x2和x3的項(xiàng)，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【變式23】已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展開式中不含x3和x2項(xiàng)．（1）求m、n的值；（2）當(dāng)m、n取第（1）小題的值時(shí)，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，根據(jù)展開式中不含x2和x3項(xiàng)列出關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解即可得到m與n的值；（2）先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則將（m+n）（m2﹣mn+n2）展開，再合并同類項(xiàng)化為最簡(jiǎn)形式，然后將（1）中所求m、n的值代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根據(jù)展開式中不含x2和x3項(xiàng)得：m+4=0n?3m=0解得：m=?4n=?12即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，當(dāng)m＝﹣4，n＝﹣12時(shí)，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【變式24】【知識(shí)回顧】七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題“代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，則a＝﹣3．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值與x無(wú)關(guān)，求y的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為a，寬為b，按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．【分析】（1）由題可知代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，故將多項(xiàng)式整理為（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系數(shù)為0，即可求出m；（2）根據(jù)整式的混合運(yùn)算順序和法則化簡(jiǎn)3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根據(jù)其值與x無(wú)關(guān)得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)取值與x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，∵其值與x的取值無(wú)關(guān)，∴2m﹣3＝0，解得，m=3答：當(dāng)m=32時(shí)，多項(xiàng)式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值與x無(wú)關(guān)，∴5y﹣2＝0，即y=2（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變．∴S1﹣S2取值與x無(wú)關(guān)，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【變式25】先化簡(jiǎn)，再求值：已知代數(shù)式化簡(jiǎn)后，不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).（1）求a、b的值；（2）求的值.【分析】（1）先算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)，即可得出關(guān)于a、b的方程，求出即可；

（2）先化簡(jiǎn)原式，然后將a與b的值代入求出即可．【解析】解：原式=2ax2+4ax6x12x2b=，∵代數(shù)式（ax3）（2x+4）x2b化簡(jiǎn)后，不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．，

∴2a1=0，12b=0，∴,；(2)解：∵a=，b=12，∴（ba）（ab）+（ab）2a（2a+b）=a2b2+a2+2ab+b22a2ab=ab=×（12）=6．題型三整式乘法的計(jì)算【例題3】計(jì)算：（1）?12（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算即可．【解答】解：（1）?12=?12x＝﹣4x5y3+9x4y2﹣2x2y；（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．解題技巧提煉根據(jù)整式乘法的法則，進(jìn)行計(jì)算.【變式31】計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則求出即可．【解析】解：2a2b3?（?3a）＝?6a3b3，故選：A．【變式32】化簡(jiǎn)5a?（2a2﹣ab），結(jié)果正確的是（）A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b【分析】按照單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解析】解：5a?（2a2﹣ab）＝10a3﹣5a2b，故選：B．【變式33】計(jì)算：（1）2x2y（x?12（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【分析】（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（2）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【變式34】計(jì)算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【變式35】小奇計(jì)算一道整式的混合運(yùn)算的題：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇將第一個(gè)多項(xiàng)式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的結(jié)果為4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）請(qǐng)計(jì)算出這道題的正確結(jié)果．【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件即可求出a的值；（2）列出正確的算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正確的算式為（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．題型四整式乘法的應(yīng)用【例題4】有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去a，同時(shí)B區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上3a，且均顯示化簡(jiǎn)后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16（如圖所示）．例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為，B區(qū)顯示的結(jié)果為．（2）計(jì)算（1）中A、B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的乘積，并求當(dāng)a＝2時(shí)，代數(shù)式乘積的值．【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，然后將a＝2代入求值．【解答】解：（1）A區(qū)顯示的結(jié)果為：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B區(qū)顯示的結(jié)果為：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．解題技巧提煉根據(jù)題意列出代數(shù)式；再利用整式乘法法則進(jìn)行計(jì)算【變式41】我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，對(duì)幾何圖形做出代數(shù)解釋和用幾何圖形的面積表示代數(shù)恒等式是互逆的．課本上由拼圖用幾何圖形的面積來(lái)驗(yàn)證了乘法公式，一些代數(shù)恒等式也能用這種形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用圖①或圖②等圖形的面積表示．(1)填一填：請(qǐng)寫出圖③所表示的代數(shù)恒等式：______________________________；(2)畫一畫：試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.【分析】（1）由題意，等號(hào)的左邊表示的是長(zhǎng)方形的面積，等號(hào)的右邊表示的是長(zhǎng)方形里面的小圖形的面積和；故問題可求．（2）由（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2可知，圖形的兩個(gè)邊長(zhǎng)為a+b和a+3b；里邊的小圖形有八個(gè)，一個(gè)面積為a2，4個(gè)面積為ab，3個(gè)面積為b2．【解析】(1)由題意,可得：整理,得：故答案為(2)由.可知,圖形的兩個(gè)邊長(zhǎng)為a+b和a+3b;里邊的小圖形有八個(gè),一個(gè)面積為a2,4個(gè)面積為ab,3個(gè)面積為b2.畫圖如下(答案不唯一)．【變式42】我們經(jīng)常利用圖形描述問題和分析問題．借助直觀的幾何圖形，把問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路．（1）在整式乘法公式的學(xué)習(xí)中，小明為了解釋某一公式，構(gòu)造了幾何圖形，如圖1所示，先畫了邊長(zhǎng)為a，b的大小兩個(gè)正方形，再延長(zhǎng)小正方形的兩邊，把大正方形分割為四部分，并分別標(biāo)記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后補(bǔ)出圖形Ⅴ．顯然圖形Ⅴ與圖形Ⅳ的面積相等，所以圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面積和與圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面積和相等，從而驗(yàn)證了公式．則小明驗(yàn)證的公式是；（2）計(jì)算：（x+a）（x+b）=；請(qǐng)畫圖說(shuō)明這個(gè)等式．【分析】（1）根據(jù)各部分的面積以及兩種方式的面積相等的關(guān)系即可解答；（2）將（x+a）（x+b）展開即可；畫一個(gè)長(zhǎng)為x+b，寬x+a的長(zhǎng)方形即可．【解析】解：（1），故答案為；（2），故答案為：，畫圖如下：【變式43】為迎接十四運(yùn)，某小區(qū)修建一個(gè)長(zhǎng)為（3a﹣b）米，寬為（a+2b）米的長(zhǎng)方形休閑場(chǎng)所ABCD．長(zhǎng)方形內(nèi)筑一個(gè)正方形活動(dòng)區(qū)EFGH和連接活動(dòng)區(qū)到矩形四邊的四條筆直小路（如圖），正方形活動(dòng)區(qū)的邊長(zhǎng)為（a﹣b）米，小路的寬均為2米．活動(dòng)區(qū)與小路鋪設(shè)鵝卵石，其它地方鋪設(shè)草坪．（1）求鋪設(shè)草坪的面積是多少平方米；（2）當(dāng)a＝10，b＝4時(shí)，需要鋪設(shè)草坪的面積是多少？【分析】（1）用大長(zhǎng)方形的面積減去小正方形的面積和四個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可；（2）將a＝10，b＝4代入（1）中結(jié)果計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面積為：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）當(dāng)a＝10，b＝4時(shí)，草坪的面積為：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【變式44】（1）如圖是小穎家新房的戶型圖，小穎的爸爸打算把兩個(gè)臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果某種地磚的價(jià)格為每平方米a元，那么購(gòu)買地磚至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，現(xiàn)在需要在客廳和兩個(gè)臥室四周的墻上貼墻紙，那么至少需要多少平方米的墻紙？如果某種墻紙的價(jià)格為每平方米b元，那么購(gòu)買所需的墻紙至少要多少元？（計(jì)算時(shí)不扣除門、窗所占的面積，忽略墻的厚度）【分析】（1）求出衛(wèi)生間，廚房，以及客廳的面積之和即可得到需要地磚的面積；根據(jù)每平方米地磚的價(jià)格是a元錢，求出需要的錢數(shù)即可；（2）求出客廳與臥室的面積，乘以高h(yuǎn)，即可得到需要的壁紙數(shù)；根據(jù)壁紙的價(jià)格是b元/平方米，求出需要的錢數(shù)即可．【解答】解：（1）由題意知，兩個(gè)臥室以外的部分面積為：3y?y+2y?（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y(tǒng)2+4xy（平方米）．∴購(gòu)買地磚所需的費(fèi)用為：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客廳貼墻紙的面積為：（2y+6y）h＝8yh，兩個(gè)臥室貼墻紙的面積為：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴貼墻紙的總面積為：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴購(gòu)買墻紙所需的費(fèi)用為：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【變式45】已知有甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的邊長(zhǎng)如圖所示，面積分別為S1，S2．（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1S2．（2）若一個(gè)正方形的周長(zhǎng)與甲的周長(zhǎng)相等．①求該正方形的邊長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．②若該正方形的面積為S3，試探究：S3與S2的差（即S3﹣S2）是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出這個(gè)常數(shù)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列式，然后根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解；（2）①根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式計(jì)算求解；②根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積公式列式，然后利用整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解．【解答】解：（1）由題意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案為：＜，（2）①甲的周長(zhǎng)為2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周長(zhǎng)與甲的周長(zhǎng)相等，∴正方形的邊長(zhǎng)為4m+164②由①可得，正方形的面積S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3與S2的差（即S3﹣S2）是常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是1．題型五整式乘法中的規(guī)律探究【例題5】觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根據(jù)規(guī)律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝（其中n為正整數(shù)）；（3）計(jì)算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【分析】（1）觀察各式，得到因式結(jié)果即可；（2）利用得出的規(guī)律計(jì)算即可；（3）利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案為：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn﹣1解題技巧提煉根據(jù)題目中的已知總結(jié)出一定的規(guī)律，進(jìn)而解題【變式51】閱讀下文，回答問題：已知：（1x）（1+x）=1x2．（1x）（1+x+x2）=_______;（1x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）計(jì)算上式并填空；（2）猜想：（1x）（1+x+x2+…+xn）=

；（3）你能計(jì)算399+398+397…+32+3+1的結(jié)果嗎？請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程（結(jié)果用含有3冪的式子表示）.【分析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可；(2)觀察式子特點(diǎn)可得規(guī)律（1x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根據(jù)（2）中的規(guī)律先計(jì)算(13)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得結(jié)果.【解析】解：（1）（1x）（1+x+x2）=1+x+x2xx2x3=;（1x）（1+x+x2+x3）=;（2）猜想：（1x）（1+x+x2+…+xn）=；（3）∵(13)(399+398+397…+32+3+1)=∴399+398+397…+32+3+1=【變式52】探究規(guī)律，解決問題：（1）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（m3+m2+m+1），寫出化簡(jiǎn)過(guò)程．（3）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝．（n為正整數(shù)，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1為n+1項(xiàng)多項(xiàng)式）（4）利用以上結(jié)果，計(jì)算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)（1）（2）得出的規(guī)律可直接得出答案；（4）根據(jù)（3）的出的規(guī)律可直接代數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案為：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…m2+m+1）＝mn+1﹣1；故答案為：mn+1﹣1；（4）根據(jù)（3）得出的規(guī)律可得：1+3+32+33+…+3100=3=3【變式53】觀察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的規(guī)律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多項(xiàng)式的乘法法則，證明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化簡(jiǎn)：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【分析】（1）根據(jù)所給等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)題目所給的例子，找出公式后直接運(yùn)用即可．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案為：a2﹣ab+b2；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+y3﹣（x3﹣y3）＝2y3．【變式54】如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧數(shù)”在正整數(shù)中，從1開始，第2018個(gè)智慧數(shù)是_____．【分析】如果一個(gè)數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別m、n，設(shè)m＞n，即智慧數(shù)=m2n2=（m+n）（mn），因?yàn)閙，n是正整數(shù)，因而m+n和mn就是兩個(gè)自然數(shù)．要判斷一個(gè)數(shù)是否是智慧數(shù)，可以把這個(gè)數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個(gè)整數(shù)的積，看