四川省眉山市東坡區(qū)多悅高級中學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

四川省眉山市東坡區(qū)多悅高級中學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.22．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.23．已知命題，，則p的否定是（）A. B.C. D.4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)Р為拋物線C上的動點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時，點(diǎn)P恰好在以F，為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．在平面直角坐標(biāo)系中，直線+的傾斜角是（）A. B.C. D.7．過點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.8．已知集合，則（）A. B.C. D.9．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C.和 D.10．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.411．函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.512．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________14．若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為______.15．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為___________.16．在不等邊△ABC(三邊均不相等)中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有，則角C的大小為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，且，，點(diǎn)E在棱AB上移動.（1）證明：；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，求直線AC與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且長軸長為4（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線，分別經(jīng)過點(diǎn)與C相切，切點(diǎn)分別為A，B，證明：19．（12分）在對某老舊小區(qū)污水分流改造時，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價為248元/平方米，池底的建造單價為80元/平方米，池蓋的建造單價為100元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費(fèi)以及其他費(fèi)用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計(jì)算時忽略不計(jì)）（1）現(xiàn)有財(cái)政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少萬元？20．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別在上，且（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行，求函數(shù)的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到結(jié)果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D2、A【解析】畫出可行域，令，則，結(jié)合圖形求出最小值，即可得解；【詳解】解：畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結(jié)合圖形可知當(dāng)過點(diǎn)時，取得最小值，且，即故選：A3、A【解析】直接根據(jù)全稱命題的否定寫出結(jié)論.【詳解】命題，為全稱命題，故p的否定是：.故選：A【點(diǎn)睛】全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題4、C【解析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.5、D【解析】過點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當(dāng)最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進(jìn)而解出此時P的坐標(biāo)，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上，作PD垂直于準(zhǔn)線，且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當(dāng)取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設(shè)切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.6、B【解析】由直線方程得斜率，從而得傾斜角【詳解】由直線方程知直角斜率為，在上正切值為1的角為，即為傾斜角故選：B7、A【解析】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線垂直于直線，再由點(diǎn)斜式求解即可【詳解】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直垂直于直線，，∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線的斜率為，∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線方程為：，即.故選：A8、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運(yùn)算求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴.故選：C.9、B【解析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，然后由求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：B10、B【解析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B11、C【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)為4個.故選：C.12、B【解析】由含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p：，總有是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】解：因，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：14、【解析】設(shè)圓錐的高為，可得出圓錐的母線長為，以及圓錐的底面半徑為，利用圓錐的側(cè)面積公式求出的值，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為，由于圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，則軸截面三角形的底角為，故該圓錐的母線長為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，可得，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.15、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.【詳解】，當(dāng)時，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.16、【解析】由正弦定理可得,又,,,,,在三角形中,.考點(diǎn)：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：設(shè)，，，，；【小問2詳解】當(dāng)為的中點(diǎn)時，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)共焦點(diǎn)求出參數(shù)c，由長軸長求參數(shù)a，即可確定C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）令過切線為，聯(lián)立橢圓C結(jié)合得到關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，對于橢圓C有，又橢圓的焦點(diǎn)為，則，所以，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問2詳解】由題設(shè)，直線，的斜率必存在，令橢圓C的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程并整理可得：，由相切關(guān)系知：，整理得：，所以，即直線，相互垂直，則.19、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價直接計(jì)算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費(fèi)用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長為（米），建造總費(fèi)用為：（元）因?yàn)?，所以如果污水處理池的寬建?米，那么9萬元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費(fèi)用為元，則污水處理池的長為米.則因?yàn)椋忍杻H當(dāng)，即時成立，所以時建造總費(fèi)用取最小值90000，所以將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為90000元.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進(jìn)而證明問題；（2）先證明平面，平面，進(jìn)而證明點(diǎn)P在兩個平面的交線上，然后證得結(jié)論.【小問1詳解】連接分別是的中點(diǎn)，.在中，.所以四點(diǎn)共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理：，平面平面，為平面與平面的一個公共點(diǎn).又平面平面，即三點(diǎn)共線.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)作差即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可得到，再令，利用錯位相減法求出，即可得證；【小問1詳解】解：因?yàn)?，且，?dāng)時，則，所以，當(dāng)時，，則，即，所以是