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2022-2023學(xué)年安徽省安慶市大觀區(qū)第一中學(xué)高三下學(xué)期一次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.2.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.363.已知復(fù)數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.24.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B.2 C.3 D.5.已知命題:“關(guān)于的方程有實(shí)根”,若為真命題的充分不必要條件為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.7.若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),則()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度9.若集合,,則()A. B. C. D.10.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.11.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.612.若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的模為_______________.14.設(shè)函數(shù),則______.15.?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____.16.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則數(shù)列的公比是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點(diǎn),.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點(diǎn),使與所成角的余弦值為,若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.18.(12分)在中,、、分別是角、、的對邊,且.(1)求角的值;(2)若,且為銳角三角形,求的取值范圍.19.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.20.(12分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)證明:.21.(12分)中的內(nèi)角,,的對邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.22.(10分)已知拋物線,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為,.(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí),求直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.2.B【解析】
方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.3.C【解析】
由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.【詳解】因?yàn)?,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時(shí),,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.5.B【解析】命題p:,為,又為真命題的充分不必要條件為,故6.A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計(jì)算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),,且平面,,的中點(diǎn)為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.7.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準(zhǔn)確化簡、計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法:9.B【解析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.10.D【解析】
設(shè),則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).
答案:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時(shí),一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最小);三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
先化簡的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng),然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng).令,則,∴,∴(舍)或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式問題,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解:由,得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由自變量所在定義域范圍,代入對應(yīng)解析式,再由對數(shù)加減法運(yùn)算法則與對數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加,即為答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),則因?yàn)椋瑒t故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值,屬于簡單題.15.【解析】
先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解:樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.16..【解析】
當(dāng)q=1時(shí),.當(dāng)時(shí),,所以.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量,然后求解線面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在,設(shè),由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程,解方程即可確定點(diǎn)F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則:,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為,而,設(shè)直線與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在,設(shè),,據(jù)此可得:,即:,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線面角的向量求法,立體幾何中的探索性問題等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18.(1).(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,由余弦定理求得,即可求解C角的值;(2)由正弦定理和三角恒等變換的公式,化簡得到,再根據(jù)為銳角三角形,求得,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由題意知,∴,由余弦定理可知,,又∵,∴.(2)由正弦定理可知,,即∴,又∵為銳角三角形,∴,即,則,所以,綜上的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題,對于解三角形問題,通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系,利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系,利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角,利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn),經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理,三角形面積公式,結(jié)合正、余弦定理解題.19.(1)(2)見解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要證,只需證,當(dāng)時(shí),;假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,兩邊同乘以3得:而∴,即時(shí)結(jié)論也成立,∴當(dāng)時(shí),成立.綜上原不等式獲證.20.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用基本不等式即可求得最小值;(2)關(guān)鍵是配湊系數(shù),進(jìn)而利用基本不等式得證.【詳解】(1),當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào),故的最小值為;(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí).故.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)(2)10【解析】
(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計(jì)算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡得,,解得或(負(fù)值舍去),,,,,,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查了二倍角公式的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22.(1);(2)或【解析】試題分析:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.第一問,設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到y(tǒng)1+y2,y1y2,,代入到中解出P的值;第二問,結(jié)合第一問的過程,利用兩種方法求出的長,聯(lián)立解出m的值,從而得到直線的方程.試題解析:(Ⅰ)設(shè)l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=1.(*)設(shè)A(x1,y1)
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