2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1.會(huì)用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系．(難點(diǎn))2．會(huì)用比較法比較兩實(shí)數(shù)的大?。?重點(diǎn))1.借助不等式表示實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2.通過(guò)比較大小，培育邏輯推理素養(yǎng).你見(jiàn)過(guò)圖中的高速馬路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對(duì)應(yīng)的車(chē)道只能供小客車(chē)行駛，而且小客車(chē)的速率v1(單位：km/h，下同)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)意100≤v1≤120；右邊的指示牌是指對(duì)應(yīng)的車(chē)道可供客車(chē)和貨車(chē)行駛，而且車(chē)的速率v2應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)意60≤v2≤100.學(xué)問(wèn)點(diǎn)1基本領(lǐng)實(shí)假如a－b是正數(shù)，那么a>b；假如a－b等于0，那么a＝b；假如a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過(guò)來(lái)也對(duì)．依據(jù)a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小1.思索辨析(正確的畫(huà)√，錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)不等式a≥b等價(jià)于“a不小于b”．()(2)若x－2≤0，則x<2.()(3)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．()[答案](1)√(2)×(3)√2.大橋頭直立的“限重40噸”的警示牌，是提示司機(jī)要平安通過(guò)該橋，應(yīng)使車(chē)貨總重量T不超過(guò)40噸，用不等式表示為()A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥40C[限重就是不超過(guò)，可以干脆建立不等式T≤40.]如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)為a，b(a≠b)．(1)正方形的面積為多少？4個(gè)直角三角形的面積為多少？由此可以得出一個(gè)什么不等式？(2)假如4個(gè)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)(1)中的不等關(guān)系變成了什么關(guān)系？學(xué)問(wèn)點(diǎn)2重要不等式一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．3.若a，b∈R，且a2＋b2＝1，則ab的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)a＝________.eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)[∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立．]類(lèi)型1用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】京滬線上，復(fù)興號(hào)列車(chē)跑出了350km/h的速度，這個(gè)速度的2倍再加上100km/h，不超過(guò)民航飛機(jī)的最低時(shí)速，可這個(gè)速度已經(jīng)超過(guò)了一般客車(chē)的3倍，請(qǐng)你用不等式表示三種交通工具的速度關(guān)系．[解]設(shè)復(fù)興號(hào)列車(chē)速度為v1，民航飛機(jī)速度為v2，一般客車(chē)速度為v3.v1、v2的關(guān)系：2v1＋100≤v2，v1、v3的關(guān)系：v1＞3v3.在用不等式(組)表示不等關(guān)系時(shí)，要進(jìn)行比較的各量必需具有相同性質(zhì)，沒(méi)有可比性的兩個(gè)(或幾個(gè))量之間不行用不等式(組)來(lái)表示．另外，在用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，肯定要留意單位的統(tǒng)一．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，要求菜園的面積不小于216m2，靠墻的一邊長(zhǎng)為x[解]由于矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為xm，而墻長(zhǎng)為18m，所以0<x≤18，這時(shí)菜園的另一條邊長(zhǎng)為eq\f(30－x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)．因此菜園面積S＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))，依題意有S≥216，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.))類(lèi)型2比較兩數(shù)(式)的大小【例2】(對(duì)接教材P38例題)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。甗解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.把本例中“x≤1”改為“x∈R”，再比較3x3與3x2－x＋1的大?。甗解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；當(dāng)x＝1時(shí)，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；當(dāng)x＜1時(shí)，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本步驟eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大?。甗解](2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0.∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.類(lèi)型3不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用【例3】某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車(chē)前往．甲車(chē)隊(duì)說(shuō)：“如領(lǐng)隊(duì)買(mǎi)全票一張，其余人可享受7.5折實(shí)惠”．乙車(chē)隊(duì)說(shuō)：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折實(shí)惠”．這兩車(chē)隊(duì)的原價(jià)、車(chē)型都是一樣的，試依據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車(chē)隊(duì)的收費(fèi)哪家更實(shí)惠．先分別建立費(fèi)用表達(dá)式，再思索如何借助基本領(lǐng)實(shí)比較兩數(shù)大?。甗解]設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車(chē)需花y1元，坐乙車(chē)需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.因?yàn)閥1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)nx＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5)))，當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n＞5時(shí)，y1＜y2；當(dāng)n＜5時(shí)，y1＞y2.因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí)，兩車(chē)隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車(chē)隊(duì)更實(shí)惠；少于5人時(shí)，選乙車(chē)隊(duì)更實(shí)惠．解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題，首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè)，然后用作差法比較它們的大小即可．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．為打造“書(shū)香校內(nèi)”，某學(xué)校安排用不超過(guò)1900本科技類(lèi)書(shū)籍和1620本人文類(lèi)書(shū)籍，組建中、小型兩類(lèi)圖書(shū)角共30個(gè)．已知組建一個(gè)中型圖書(shū)角需科技類(lèi)書(shū)籍80本，人文類(lèi)書(shū)籍50本；組建一個(gè)小型圖書(shū)角需科技類(lèi)書(shū)籍30本，人文類(lèi)書(shū)籍60本．設(shè)組建中型圖書(shū)角x個(gè)，用不等式組將題目中的不等關(guān)系表示出來(lái)，并求有哪些符合題意的組建方案．[解]因?yàn)榻M建中型圖書(shū)角x個(gè)，所以組建小型圖書(shū)角為(30－x)個(gè)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<30，x∈N*，,80x＋3030－x≤1900，,50x＋6030－x≤1620.))解這個(gè)不等式組得18≤x≤20.由于x只能取正整數(shù)，所以x的取值是18,19,20.當(dāng)x＝18時(shí)，30－x＝12；當(dāng)x＝19時(shí)，30－x＝11；當(dāng)x＝20時(shí)，30－x＝10.故有三種組建方案：方案一，組建中型圖書(shū)角18個(gè)，小型圖書(shū)角12個(gè)；方案二，組建中型圖書(shū)角19個(gè)，小型圖書(shū)角11個(gè)；方案三，組建中型圖書(shū)角20個(gè)，小型圖書(shū)角10個(gè).1．某路段直立的的警示牌是提示司機(jī)通過(guò)該路段時(shí)，車(chē)速vkm/h應(yīng)滿(mǎn)意的關(guān)系式為()A．v<60 B．v>60C．v≤60 D．v≥36[答案]C2．下面表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”的不等關(guān)系的是()A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－b＜0C．a(chǎn)－b≥0 D．a(chǎn)－b≤0[答案]C3．某高速馬路要求行駛的車(chē)輛的速度v的最大值為120km/h，同一車(chē)道上的車(chē)間距d不得小于10m，用不等式表示為()A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10mA[v的最大值為120km/h，即v≤120km/h，車(chē)間距d不得小于10m，即d≥10m，故選A.]4．雷電的溫度大約是28000℃，比太陽(yáng)表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽(yáng)表面溫度為t℃，那么t4．5t<28000[由題意得，太陽(yáng)表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度，即4.5t<28000.]5．若實(shí)數(shù)a>b，則a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)>[因?yàn)?a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]回顧本節(jié)學(xué)問(wèn)，自我完成以下問(wèn)題：