2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章直線與圓2.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE2.4圓與圓的位置關(guān)系必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.如何通過(guò)兩個(gè)圓的方程推斷位置關(guān)系？2．從幾何圖形如何推斷位置關(guān)系？1.若兩圓的半徑分別為r1，r2，圓心距為d，則兩圓有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心距與半徑的關(guān)系圖示兩圓外離0d>r1+r2兩圓內(nèi)含d<|r1-r2|兩圓相交2|r1-r2|<d<r1+r2兩圓內(nèi)切1d=|r1-r2|兩圓外切d=r1+r22.本質(zhì)：利用圓的方程，通過(guò)定量計(jì)算探討圓與圓的位置關(guān)系．(1)當(dāng)兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)公切線的條數(shù)分別是多少？提示：公切線的條數(shù)分別是4，3，2，1，0.(2)當(dāng)兩圓相交、外切、內(nèi)切時(shí)，連心線有什么性質(zhì)？提示：當(dāng)兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分公共弦；當(dāng)兩圓外切時(shí)，連心線垂直于過(guò)兩圓公共點(diǎn)的公切線；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，連心線垂直于兩圓的公切線．1．辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”).(1)若兩圓有唯一的公共點(diǎn)，則兩圓外切．()(2)若兩圓沒(méi)有公切線，則兩圓內(nèi)含．()(3)若兩圓的半徑分別為r1，r2，圓心距為d，當(dāng)d<|r1－r2|時(shí)，兩圓相交．()提示：(1)×.兩圓也可能內(nèi)切．(2)√.只有兩圓內(nèi)含時(shí)，兩圓才沒(méi)有公切線．(3)×.當(dāng)d<|r1－r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含．2．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離【解析】選B.兩圓圓心分別為(－2，0)，(2，1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).因?yàn)?－2<d<3＋2，所以兩圓相交．3．(教材二次開發(fā)：例題改編)若圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則實(shí)數(shù)m＝()A．－24B．－16C．24D．16【解析】選D.C1(0，0)，r1＝2，C2(3，4)，r2＝eq\r(25－m)，由外切得eq\r(（0－3）2＋（0－4）2)＝2＋eq\r(25－m)，解得m＝16.關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一兩圓位置關(guān)系的判定(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)1．圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是()A．外離B．相交C．外切D．內(nèi)切2．圓A：x2＋y2＝1與圓B：x2－4x＋y2－5＝0的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0B．3C．2D．13．圓C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的位置關(guān)系為()A．外切B．相交C．內(nèi)切D．內(nèi)含【解析】1.選B.O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0，故圓心坐標(biāo)與半徑分別為O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，O1O2＝eq\r(5)，r2－r1＝1，1<eq\r(5)<3，所以兩圓相交．2．選D.因?yàn)閳AB：(x－2)2＋y2＝1，其圓心為B(2，0)，半徑為1，圓A的圓心為A(0，0)，半徑為1，所以圓心距為|AB|＝2，半徑之和為1＋1＝2，所以兩圓外切，只有一個(gè)公共點(diǎn)．3．選C.兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2＋(y－1)2＝1，(x－eq\r(3))2＋y2＝9.圓心分別為(0，1)，(eq\r(3)，0)，半徑分別為1，3.圓心距eq\r(3＋1)＝3－1，所以兩圓內(nèi)切．幾何法推斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)求兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑r1，r2.(3)求兩圓的圓心距d.(4)比較d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關(guān)系，從而推斷兩圓的位置關(guān)系．類型二有關(guān)相切的問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【典例】1.若圓C1：＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，則m等于()A．16B．7C．－4或16D．7或162．已知圓O1：x2＋y2－8eq\r(2)x－8eq\r(2)y＋48＝0，圓O2過(guò)點(diǎn)A(0，－4)，若圓O2與圓O1相切于點(diǎn)B(2eq\r(2)，2eq\r(2))，求圓O2的方程．【解析】1.選C.圓心分別為(1，0)，(4，－4).半徑分別為1，eq\r(32－m).因?yàn)閮蓤A相切，所以當(dāng)外切時(shí)，eq\r(（1－4）2＋（0＋4）2)＝1＋eq\r(32－m)，解得m＝16；當(dāng)內(nèi)切時(shí)，eq\r(（1－4）2＋（0＋4）2)＝|1－eq\r(32－m)|，解得m＝－4.2．圓O1的方程變?yōu)椋?6，所以圓心O1(4eq\r(2)，4eq\r(2))，因?yàn)閳AO2與圓O1相切于點(diǎn)B(2eq\r(2)，2eq\r(2))，所以圓O2的圓心在直線y＝x上，不妨設(shè)為(a，a)，因?yàn)閳AO2過(guò)點(diǎn)A(0，－4)，所以圓O2與圓O1外切，因?yàn)閳AO2過(guò)B(2eq\r(2)，2eq\r(2))，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2eq\r(2))2，所以a＝0，所以圓O2的方程為x2＋y2＝16.解決兩圓相切問(wèn)題的兩個(gè)步驟(1)定型，即必需精確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告知相切，則必需考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種狀況探討．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的肯定值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí)).求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程．【解析】圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(x－1)2＋y2＝1，則圓心C(1，0)，半徑為1，設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題意可得解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6，))所以所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.【拓展延長(zhǎng)】圓O1(x－a)2＋(y－b)2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，圓O2(x－c)2＋(y－d)2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)).兩圓相切時(shí)，兩圓方程作差得過(guò)切點(diǎn)的公切線方程．【拓展訓(xùn)練】已知圓C1：x2＋y2＝9與圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圓C2關(guān)于直線l：eq\f(ax,9)－eq\f(by,12)＝1對(duì)稱，求由點(diǎn)(a，b)向圓C2所作的切線長(zhǎng)的最小值．【解析】圓C1的圓心C1(0，0)，半徑為3.圓C2的圓心C2(3，4)，半徑r.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1C2))＝eq\r(32＋42)＝5.因?yàn)閮蓤A相外切，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1C2))＝3＋r＝5，解得r＝2.因?yàn)閳AC2關(guān)于直線l：eq\f(ax,9)－eq\f(by,12)＝1對(duì)稱，所以eq\f(3a,9)－eq\f(4b,12)＝1，化為a＝b＋3.由點(diǎn)(a，b)向圓C2所作的切線長(zhǎng)eq\r(（a－3）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－4))2－22)＝eq\r(2b2－8b＋12)＝eq\r(2（b－2）2＋4)，所以當(dāng)b＝2時(shí)，切線長(zhǎng)取得最小值2.類型三兩圓相交問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)角度1與公共弦相關(guān)的問(wèn)題

【典例】?jī)蓤Ax2＋y2＋4x－6y＋12＝0與x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直線的方程是()A．x－3y＋1＝0 B．6x＋2y－1＝0C．6x＋8y－3＝0D．3x－y＋5＝0【思路導(dǎo)引】把兩圓方程作差可得公共弦所在直線方程．【解析】選C.兩圓方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0與x2＋y2－2x－14y＋15＝0相減，可得公共弦所在直線方程為6x＋8y－3＝0.求【典例】中兩圓相交所得公共弦的弦長(zhǎng)．【解析】x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程得，(x＋2)2＋(y－3)2＝1，所以弦長(zhǎng)為2＝2eq\r(1－\f(81,100))＝eq\f(\r(19),5).角度2圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用

【典例】若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m∈R))相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線相互垂直，則線段AB的長(zhǎng)度為________．【思路導(dǎo)引】切線垂直轉(zhuǎn)化為過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑垂直．【解析】如圖所示，在Rt△OO1A中，OA＝eq\r(5)，O1A＝2eq\r(5)，所以O(shè)O1＝5，所以AC＝eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝2，所以AB＝4.答案：4公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，依據(jù)勾股定理求解．1．圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則()A．E＝－4，F(xiàn)＝8 B．E＝4，F(xiàn)＝－8C．E＝－4，F(xiàn)＝－8 D．E＝4，F(xiàn)＝8【解析】選C.由圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0.所以E＝－4，F(xiàn)＝－8.2．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝()A．2B．1C．－1D．－2【解析】選B.由圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)，可得公共弦的方程為y＝eq\f(1,a)，又x2＋y2＝4的圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑為r＝2，由圓的弦長(zhǎng)公式可得l＝2eq\r(r2－d2)＝2＝2eq\r(3)，解得a＝1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若圓＋＝b2＋1始終平分＋＝4的周長(zhǎng)，則a，b應(yīng)滿意的關(guān)系式為()A．a(chǎn)2－2a－2b－3＝0B．a(chǎn)2＋2a＋2b＋5＝0C．a(chǎn)2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0【解析】選B.因?yàn)閳A＋＝b2＋1始終平分＋＝4的周長(zhǎng)．所以兩圓交點(diǎn)的直線過(guò)＋＝4的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))，兩圓方程相減可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2a))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2b))y－a2－1＝0，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))代入可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0，即5＋2a＋2b＋a2＝0，所以B選項(xiàng)是正確的．備選類型圓系方程【典例】圓心在直線x－y－4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點(diǎn)的圓的方程為()A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0【思路導(dǎo)引】方法一，聯(lián)立兩圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再求圓的方程；方法二，利用圓系方程求解．【解析】選A.方法一：(幾何法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得A(－1，3)，B(－6，－2)，線段AB的垂直平分線方程為x＋y＋3＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－4＝0，,x＋y＋3＝0))得圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2))).半徑＝eq\f(\r(178),2).所求圓的方程為＝eq\f(178,4)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二：(圓系方程)依據(jù)題意，要求圓經(jīng)過(guò)兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點(diǎn)，設(shè)其方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6y－28))＝0，變形可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋λ))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋λ))y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，\f(－3λ,1＋λ)))，又由圓心在直線x－y－4＝0上，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3λ,1＋λ)))－4＝0，解得λ＝－7；則圓的方程為x2＋y2＋6x－42y＋192＝0，即x2＋y2－x＋7y－32＝0，所以A選項(xiàng)是正確的．求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓方程已知兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.當(dāng)λ＝－1時(shí)，表示公共弦所在直線方程；當(dāng)λ≠－1時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓．過(guò)兩圓x2＋y2－x－y－2＝0與x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交點(diǎn)和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))的圓的方程是________．【解析】依據(jù)題意，設(shè)所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y－2))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－8))＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ≠－1))，要求圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))，則有4＋10λ＝0，解可得λ＝－eq\f(2,5)，則要求圓的方程為x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0.答案：x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．已知圓M的圓心M(2，0)，圓M與圓O：x2＋y2＝1外切，則圓M的方程為()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－2)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】選B.兩圓圓心距2，圓M的半徑為2－1＝1，所以圓M的方程為(x－2)2＋y2＝1.2．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．外離C．外切D．相交【解析】選D.由題意可得兩圓方程為x2＋y2＝1和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝9.則兩圓圓心分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1))；半徑分別為r1＝1和r2＝3，則圓心距：d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－0))2)＝eq\r(5)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r1－r2))<eq\r(5)<eq\b\lc\|\rc\|(