2024年高考數(shù)學學霸糾錯筆記立體幾何含解析

對空間幾何體的結(jié)構(gòu)相識不精確致錯有一種骰子，每一面上都有一個英文字母，如圖是從3個不同的角度看同一粒骰子的情形，請畫出骰子的一個側(cè)面綻開圖，并依據(jù)綻開圖說明字母H對面的字母是.【錯解】P【試題解析】將原正方體外面朝上綻開，得其表面字母的排列如圖所示，易得H對面的字母是O.【參考答案】O1．2．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征問題的留意事項：(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是推斷的關(guān)鍵，熟識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.1．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】圓柱的側(cè)面綻開圖如圖，圓柱的側(cè)面綻開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側(cè)面上從到的最短路徑為線段，.故選：A．不能正確畫出三視圖或還原幾何體而致錯一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是【錯解】A或B或C【錯因分析】選A，俯視圖推斷出錯，從俯視圖看，幾何體的上、下部分都是旋轉(zhuǎn)體；選B，下部分幾何體推斷出錯，誤把旋轉(zhuǎn)體當多面體；選C，上部分幾何體推斷出錯，誤把旋轉(zhuǎn)體當多面體.【試題解析】由三視圖可知幾何體上部是一個圓臺，下部是一個圓柱，選D.【參考答案】D1．當已知三視圖去還原成幾何體時，要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點的投影，先從俯視圖來確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再從正視圖和側(cè)視圖想象出幾何體的大致形態(tài)，然后通過已知的三視圖驗證幾何體的正確性，最終檢查輪廓線的實虛．2．三視圖問題的常見類型及解題策略：(1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)．要熟識柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．(2)由幾何體的直觀圖求三視圖．留意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的視察方向，留意看到的部分用實線，不能看到的部分用虛線表示．(3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先依據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.2．下列四個幾何體的三視圖中，只有正視圖和側(cè)視圖相同的幾何體是A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】D【解析】分析題中簡潔幾何體可知，②④中幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同.故選D.空間幾何體的直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系如圖是水平放置的平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的面積為A．3 B．C．6 D．【錯解】B【錯因分析】錯解中把直觀圖認為是原平面圖形，則平面圖形的面積為.事實上，題圖為直觀圖，必需依據(jù)直觀圖還原得到平面圖形，再利用三角形的面積公式求解.【試題解析】原平面圖形如圖，即Rt△OAB，其中OA=O′A′=3，OB=2O′B′=4，故原平面圖形的面積為，選C.【方法點晴】本題主要考查了平面圖形的直觀圖及其原圖形與直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎題，解答關(guān)鍵是牢記原圖形與直觀圖的面積比為．【參考答案】C1．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”：“三變”；“三不變”.2．原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，直觀圖面積是原圖面積的倍.3．已知梯形是直角梯形，依據(jù)斜二測畫法畫出它的直觀圖(如圖所示)，其中，，，則直角梯形邊的長度是A． B．C． D．【答案】B【解析】由直觀圖作出梯形是直角梯形，如圖：依據(jù)斜二測畫法畫，可得出它的直觀圖，∴直角梯形中,，過作，交于,則，直角梯形邊的長度為，故選B.【名師點睛】本題主要考查斜二測畫法的基本原理與性質(zhì)，以及由直觀圖還原平面圖形，意在考查對基礎學問駕馭的嫻熟程度，屬于中檔題.本題簡潔忽視了圖形中的平行關(guān)系，從而得不到原圖中邊與坐標軸的平行關(guān)系，推斷不出直角三角形而導致錯誤．空間幾何體的表面積或體積計算不全致錯一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為A．21+ B．18+C．21 D．18【錯解】B或C或D【錯因分析】由三視圖可知原幾何體應當是一個正方體截取兩個全等的小正三棱錐，B項計算三角形面積時出錯；截取小正三棱錐，即除去了六個全等的等腰直角三角形，但C項忽視了幾何體多了兩個等邊三角形面；由三視圖可知原幾何體應當是一個正方體截取兩個全等的小正三棱錐的組合體，D項計算三角形面積時出錯，且計算時還少加了三棱錐的底面.【試題解析】由三視圖可知原幾何體如圖所示，是一個正方體截取兩個全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24，兩個全等的三棱錐是以正方體的相對頂點為頂點，側(cè)面是三個全等的直角邊長為1的等腰直角三角形，其側(cè)面面積的和為3，三棱錐的底面是邊長為的正三角形，其底面面積的和為，故所求幾何體的表面積為24?3+=21+.故選A.【參考答案】A1．柱體、錐體、臺體的表面積（1）已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先依據(jù)三視圖推斷空間幾何體的形態(tài)，再依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積．（2）多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應留意重合部分的處理，以確保不重復、不遺漏.（3）求多面體的側(cè)面積時，應對每一個側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般要將旋轉(zhuǎn)體綻開為平面圖形后再求面積.2．柱體、錐體、臺體的體積空間幾何體的體積是每年高考的熱點之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬簡潔題.求柱體、錐體、臺體體積的一般方法有：（1）若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可干脆利用公式進行求解．（2）若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用等體積法、割補法等方法進行求解．（3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應先依據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后依據(jù)條件求解.①等體積法：一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．假如一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采納等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特殊是三棱錐的體積.②割補法：運用割補法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關(guān)鍵是能依據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進行切割或者補成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，假如是由幾個規(guī)則的幾何體積累而成的，其體積就等于這幾個規(guī)則的幾何體的體積之和；假如是由一個規(guī)則的幾何體挖去幾個規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個幾何體的體積．因此，從肯定意義上說，用割補法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法．4．如圖所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2cm，下底BC＝10cm，底角∠ABC＝60°，現(xiàn)繞腰AB旋轉(zhuǎn)一周，則所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是A．246π B．248πC．249π D．250π【答案】B【解析】過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，所得旋轉(zhuǎn)體是以CF為底面半徑的圓錐和圓臺，挖去以A為頂點，以DE為底面半徑的圓錐的組合體．由于AD＝2cm，BC＝10cm，∠ABC＝60°，在Rt△BCF中，BF＝5cm，F(xiàn)C＝5eq\r(3)cm.由AD∥BC得，∠DAE＝∠ABC＝60°.在Rt△ADE中，DE＝eq\r(3)cm，AE＝1cm.又在等腰梯形ABCD中可求得AB＝8cm，AF＝AB－BF＝8－5＝3(cm)，EF＝AE＋AF＝4cm.所以旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)π·BF·FC2＋eq\f(1,3)π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－eq\f(1,3)π·AE·DE2＝eq\f(1,3)π×5×(5eq\r(3))2＋eq\f(1,3)π×4×[(eq\r(3))2＋(5eq\r(3))2＋eq\r(3)×5eq\r(3)]－eq\f(1,3)π×1×(eq\r(3))2＝248π(cm3)，即所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為248πcm3.本題易將所得旋轉(zhuǎn)體漏掉扣除以圓臺上底面為底面，高為1cm的圓錐的體積而錯選C.問題考慮不全面致錯已知半徑為10的球的兩個平行截面圓的周長分別是12π和16π，則這兩個截面圓間的距離為.【錯解】2如圖，設球的大圓為圓O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過點C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.在Rt△COE中，.在Rt△DOF中，.所以CD=OC?OD=8?6=2，故這兩個截面圓間的距離為2.【錯因分析】錯解中由于對球的結(jié)構(gòu)把握不準，考慮問題不全面而導致錯誤.事實上，兩個平行截面既可以在球心的同側(cè)，也可以在球心的兩側(cè).【試題解析】如上圖，設球的大圓為圓O，C，D為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過點C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.當兩截面在球心同側(cè)時，；當兩截面在球心兩側(cè)時，.綜上可知，兩截面圓間的距離為2或14.【參考答案】2或141．球的有關(guān)問題（1）確定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.（2）球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：①長方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長；②正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特殊地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點；④球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；⑤球與圓臺的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高．（3）與球有關(guān)的實際應用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.（4）有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿意關(guān)系式：.2．求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個思路：一是依據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，依據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論干脆進行推斷；二是利用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的方法或者利用導數(shù)方法解決.5．如圖所示，在長方體中，則在長方體表面上連接兩點的全部曲線長度的最小值為__________．【答案】【解析】將長方體的面分別綻開平鋪，當四邊形和四邊形在同一平面內(nèi)時，最小距離為四邊形的對角線，長度是；當四邊形和四邊形在同一平面內(nèi)時，最小距離為四邊形的對角線，長度是；四邊形和四邊形在同一平面內(nèi)時，最小距離為四邊形的對角線，長度是，所以最小距離是．將空間幾何體的表(側(cè))面綻開，化折(曲)為直，使空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間問題平面化，是解決立體幾何問題最基本的、最常用的方法，將空間圖形綻開成平面圖形后，弄清幾何中的有關(guān)點和線在綻開圖中的相應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．該題考查的是幾何體的表面距離的最值問題，結(jié)合平面內(nèi)連接兩點的直線段是最短的，所以將長方體的側(cè)面沿著不同的方向綻開，使得兩個點落在同一平面內(nèi)，利用勾股定理來求解，選出最小的那個就是，簡潔出錯的地方在于考慮不全面，沿著一個方向綻開求得結(jié)果，從而出現(xiàn)錯誤．應用公理或其推論時出錯已知A，B，C，D，E五點中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點肯定共面嗎？【錯解】A，B，C，D，E五點肯定共面.因為A，B，C，D共面，所以點A在B，C，D所確定的平面內(nèi)，因為B，C，D，E共面，所以點E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)，所以點A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點肯定共面.【錯因分析】錯解忽視了公理2中“不在一條直線上的三點”這個重要條件.事實上B，C，D三點有可能共線.【試題解析】（1）假如B，C，D三點不共線，則它們確定一個平面α.因為A，B，C，D共面，所以點A在平面α內(nèi)，因為B，C，D，E共面，所以點E在平面α內(nèi)，所以點A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點肯定共面.（2）若B，C，D三點共線于l，若Al，El，則A，B，C，D，E五點肯定共面；若A，E中有且只有一個在l上，則A，B，C，D，E五點肯定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點可能不共面.【參考答案】見試題解析.在立體幾何中，空間點、線、面之間的位置關(guān)系不確定時，要留意分類探討，避開片面地思索問題.對于確定平面問題，在應用公理2及其三個推論時肯定要留意它們成立的前提條件.1．證明點共線問題，就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是公理3.常用方法有：①首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，依據(jù)公理3知這些點都在這兩個平面的交線上；②選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.2．證明三線共點問題，一般先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常結(jié)合公理3，證明該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點.3．證明點或線共面問題，主要有兩種方法：①首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)；②將全部條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.6．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：（1）D，B，F(xiàn)，E四點共面；（2）若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線．【解析】（1）如圖，連接B1D1.∵EF是D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．（2）正方體AC1中，設平面A1ACC1確定的平面為α，又設平面BDEF為β.∵QA1C1，∴Qα.又QEF，∴Qβ.則Q是α與β的公共點，同理P是α與β的公共點，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴RA1C.∴Rα，且Rβ，則RPQ.故P，Q，R三點共線．忽視空間角的范圍或不能正確找出空間角致誤如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD=BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角為30°，則BC與AD所成的角為.【錯解】120°如圖，連接BD，并取中點E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故為BC與MN所成的角，∠MEN為BC與AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°，∴，即BC與AD所成的角為120°.【錯因分析】在未推斷出∠MEN是銳角或直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩異面直線所成的角，因為異面直線所成的角α的取值范圍是，假如∠MEN為鈍角，那么它的補角才是異面直線所成的角.【試題解析】以上同錯解，求得∠MEN=120°，即BC與AD所成的角為60°.【參考答案】60°求異面直線所成的角的時候，要留意異面直線所成的角α的取值范圍是.1．求異面直線所成的角的常見策略：（1）求異面直線所成的角常用平移法．平移法有三種類型，利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移，利用補形平移．（2）求異面直線所成角的步驟①一作：即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；③三求：解三角形，求出作出的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.（3）判定空間兩條直線是異面直線的方法①判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．②反證法：證明兩線不行能平行、相交或證明兩線不行能共面，從而可得兩線異面．2．求直線與平面所成的角的方法：（1）求直線和平面所成角的步驟①找尋過斜線上一點與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．（2）求線面角的技巧在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點，比如中心、垂心、重心等．3．求二面角大小的步驟：簡稱為“一作二證三求”．作平面角時，肯定要留意頂點的選擇．7．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，由題得，故四邊形是平行四邊形，，則的余弦值即為所求，由，可得，，故有，解得，故選D.【名師點睛】本題考查異面直線的夾角的余弦值和余弦定理，常見的方法是平移直線，讓兩條直線在同一平面中，再求夾角的余弦值.對線面位置關(guān)系不能正確應用定理作出推斷假如兩條平行直線a，b中的a∥α，那么b∥α.這個命題正確嗎？為什么？【錯解】這個命題正確．∵a∥α，∴在平面α內(nèi)肯定存在一條直線c，使a∥c.又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.【錯因分析】忽視了b?α這種狀況，從而導致錯誤，本題條件中的直線b與平面α有兩種位置關(guān)系：b∥α和b?α.【試題解析】這個命題不正確．若b?α，∵a∥α，∴在平面α內(nèi)必存在一條直線c，使a∥c.又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.若b?α，則不滿意題意．綜上所述，b與α的位置關(guān)系是b∥α或b?α.【參考答案】見試題解析.錯誤的緣由是利用線面平行的判定定理時，忽視了定理運用的前提條件必需是平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行．1．點、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線，直觀感知并相識空間點、線、面的位置關(guān)系，精確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直．2．嫻熟應用線面位置關(guān)系中的判定定理與性質(zhì)定理即可順當解決此類問題.8．下列命題中，錯誤的是A．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交B．平行于同始終線的兩個平面肯定平行C．假如平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面D．若直線不平行于平面，且l不在平面，則在平面內(nèi)不存在與平行的直線【答案】B【解析】由直線與平面相交的性質(zhì)，知一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交，故A正確；平行于同始終線的兩個平面有兩種位置關(guān)系，可能平行，也可能相交，B錯誤；假如一個平面內(nèi)存在直線垂直于平面，則平面肯定垂直于平面，故C正確．若直線不平行于平面，且不在內(nèi)，則與相交，則在平面內(nèi)不存在與平行的直線.故選B．證明線面位置關(guān)系時不能正確應用定理致錯如圖，，點P在所確定的平面γ外，于點，于點.求證：.【錯解】因為，，所以.所以，所以.【錯因分析】本題錯解的緣由在于沒有正確運用線面垂直的判定定理，由得，而忽視了“垂直于平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件，即.【試題解析】因為，所以.又，所以平面.因為，所以.【參考答案】見試題解析.應用直線與平面垂直的判定定理時，要熟記定理的應用條件，不能忽視“兩條相交直線”這一關(guān)鍵點.1．推斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義(無公共點)；②利用線面平行的判定定理()；③利用面面平行的性質(zhì)()；④利用面面平行的性質(zhì)().2．判定面面平行的常見策略：①利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)．②利用面面平行的判定定理(主要方法)．③利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．④利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用).3．證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性()；④面面平行的性質(zhì)()；⑤面面垂直的性質(zhì)．4．判定面面垂直的常見策略：①利用定義(直二面角)．②判定定理：可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直．③在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作協(xié)助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直．9．如圖，在四棱錐中，，且，，，點在上，且．（1）求證：平面⊥平面；（2）求證：直線∥平面．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）因為，，所以，所以，又，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）連接交于點，連接，在四邊形中，，，∽，所以，又，即，所以，又直線平面，直線平面，所以直線平面.【名師點睛】（1）證明面面垂直：先正線面垂直，線又屬于另一個面，即可證明面面垂直；（2）證明線面平行，在面內(nèi)找一個線與已知直線平行即可.一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖與直觀圖1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)（1）多面體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注棱柱①底面相互平行.②側(cè)面都是平行四邊形.③每相鄰兩個平行四邊形的公共邊相互平行.按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特殊地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.棱錐①底面是多邊形.②側(cè)面都是三角形.③側(cè)面有一個公共頂點.三棱錐的全部面都是三角形，所以四個面都可以看作底.三棱錐又稱為四面體.棱臺①上、下底面相互平行，且是相像圖形.②各側(cè)棱的延長線交于一點.③各側(cè)面為梯形.可用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐（2）旋轉(zhuǎn)體幾何體結(jié)構(gòu)特征備注圓柱①圓柱有兩個大小相同的底面，這兩個面相互平行，且底面是圓面而不是圓.②圓柱有多數(shù)條母線，且隨意一條母線都與圓柱的軸平行，所以圓柱的隨意兩條母線相互平行且相等..圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.圓錐①底面是圓面.②有多數(shù)條母線，長度相等且交于頂點.③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形.圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.圓臺①圓臺上、下底面是相互平行且不等的圓面.②有多數(shù)條母線，等長且延長線交于一點.③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形.圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.球①球心和截面圓心的連線垂直于截面.②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿意關(guān)系式：.球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.2．空間幾何體的三視圖（1）三視圖的概念①光線從幾何體的前面對后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖；②光線從幾何體的左面對右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；③光線從幾何體的上面對下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖.（2）三視圖的畫法規(guī)則①排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖：正側(cè)俯②畫法規(guī)則ⅰ)正視圖與俯視圖的長度一樣，即“長對正”；ⅱ)側(cè)視圖和正視圖的高度一樣，即“高平齊”；ⅲ)俯視圖與側(cè)視圖的寬度一樣，即“寬相等”.③線條的規(guī)則ⅰ)能望見的輪廓線用實線表示；ⅱ)不能望見的輪廓線用虛線表示.（3）常見幾何體的三視圖常見幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺等腰梯形等腰梯形兩個同心的圓球圓圓圓3．空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法及其規(guī)則對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是：①在已知圖形中取相互垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.②③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.（2）用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟①在已知圖形所在的空間中取水平平面，作相互垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面.③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關(guān)系相同.④已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?⑤畫圖完成以后，擦去作為協(xié)助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系①原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，②直觀圖面積是原圖面積的倍.二、空間幾何體的表面積與體積1．旋轉(zhuǎn)體的表面積圓柱（底面半徑為r，母線長為l）圓錐（底面半徑為r，母線長為l）圓臺（上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l）側(cè)面綻開圖底面面積側(cè)面面積表面積多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是綻開圖的面積.棱錐、棱臺、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系：2．柱體、錐體、臺體的體積公式幾何體體積柱體(S為底面面積，h為高)(r為底面半徑，h為高)錐體(S為底面面積，h為高)(r為底面半徑，h為高)臺體(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，(r′、r分別為上、下底面半徑，h為高)（1）柱體、錐體、臺體體積公式間的關(guān)系（2）一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差；（3）等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等.3．球的表面積和體積公式設球的半徑為R，它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)，其表面積公式為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為.球的切、接問題（常見結(jié)論）（1）若正方體的棱長為，則正方體的內(nèi)切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體全部棱相切的球的半徑是．（2）若長方體的長、寬、高分別為，，，則長方體的外接球半徑是．（3）若正四面體的棱長為，則正四面體的內(nèi)切球半徑是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體全部棱相切的球的半徑是．（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．（5）球與圓臺的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高．三、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1．平面的基本性質(zhì)名稱圖形文字語言符號語言公理1假如一條直線上的兩點在同一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)Al，Bl，且Aα，Bα?l?α公理2過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使Aα，Bα，Cα公理2的推論推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面若點直線a，則A和a確定一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面?有且只有一個平面，使，推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面?有且只有一個平面，使，公理3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線Pα，且Pβ?α∩β=l，Pl，且l是唯一的公理4———l1———l2———l平行于同始終線的兩條直線平行l(wèi)1∥l，l2∥l?l1∥l22．等角定理（1）自然語言：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.（2）符號語言：如圖（1）、（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，，則或.圖（1）圖（2）3．空間兩直線位置關(guān)系的分類空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類方式：（1）從有無公共點的角度分類：（2）從是否共面的角度分類：4．異面直線所成的角（1）異面直線所成角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.（2）異面直線所成角的范圍異面直線所成的角必需是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是.（3）兩條異面直線垂直的定義假如兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線相互垂直.兩條相互垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.5．直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類（1）直線和平面位置關(guān)系的分類①按公共點個數(shù)分類：②按是否平行分類：③按直線是否在平面內(nèi)分類：（2）平面和平面位置關(guān)系的分類兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個平面平行——沒有公共點；（2）兩個平面相交——有一條公共直線.（1）唯一性定理①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．②過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．③過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．④過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．（2）異面直線的判定方法經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線．四、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1．直線與平面平行的判定定理文字語言平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行?線面平行圖形語言符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α作用證明直線與平面平行2．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行?線線平行圖形語言符號語言作用①作為證明線線平行的依據(jù)．②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).3．平面與平面平行的判定定理文字語言一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡記為：線面平行?面面平行圖形語言符號語言a?β，b?β，，a∥α，b∥α?α∥β作用證明兩個平面平行4．平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.簡記為：面面平行?線線平行圖形語言符號語言作用證明線線平行1．平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．常用結(jié)論（1）假如兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個平面．（2）假如兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線．（3）夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．（4）經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．（5）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．（6）假如兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面相互平行．（7）假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．（8）假如兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行．五、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1．直線與平面垂直的定義假如直線l與平面α內(nèi)的隨意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直.記作：l⊥α.圖形表示如下：定義中的“隨意一條直線”這一詞語與“全部直線”是同義語，與“多數(shù)條直線”不是同義語．2．直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.簡記為：線線垂直?線面垂直圖形語言符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，?l⊥α作用推斷直線與平面垂直在應用該定理推斷一條直線和一個平面垂直時，肯定要留意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是隨意的兩條直線.3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.簡記為：線面垂直?線線平行圖形語言符號語言?作用①證明兩直線平行；②構(gòu)造平行線.4．平面與平面垂直的定義兩個平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面相互垂直．平面α與平面β垂直，記作.圖形表示如下：5．平面與平面垂直的判定定理文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.簡記為：線面垂直?面面垂直圖形語言符號語言l⊥α，?α⊥β作用推斷兩平面垂直6．平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.簡記為：面面垂直?線線平行圖形語言符號語言作用證明直線與平面垂直7．直線與平面所成的角（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于.因此，直線與平面所成的角α的范圍是.8．二面角（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個二面角的平面角.（3）二面角的范圍：.1．垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2．常用結(jié)論（1）若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．（2）若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)任何一條直線．（3）過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直．（4）過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直．（5）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直．（6）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．（7）假如兩個平面相互垂直，那么過第一個平面內(nèi)的一點且垂直于其次個平面的直線在第一個平面內(nèi)．1．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)隨意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【名師點睛】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出推斷．面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最簡潔犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．2．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，設的中點為，連接、、，易知即為異面直線與所成的角（或其補角）.設三棱柱的側(cè)棱與底面邊長均為1，則，，，由余弦定理，得.故應選B.【名師點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，通過平移找到所成角是解這類問題的關(guān)鍵，若平移不好作，可采納建系，利用空間向量的運算求解，屬于基礎題.解答本題時，易知即為異面直線與所成的角（或其補角），進而通過計算的各邊長，利用余弦定理求解即可.3．祖暅是我國南北朝時代的宏大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是A．158 B．162 C．182 D．324【答案】B【解析】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為.故選B.【名師點睛】本題首先依據(jù)三視圖，還原得到幾何體——棱柱，依據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積，常規(guī)題目.難度不大，留意了基礎學問、視圖用圖實力、基本計算實力的考查.易錯點有二，一是不能正確還原幾何體；二是計算體積有誤.為避開出錯，應留意多視察、細心算.4．已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．解法二：設，分別為的中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，為的中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【名師點睛】本題主要考查學生的空間想象實力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩相互垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決．5．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B．C． D．【答案】C【解析】用一個與原長方體相同的長方體拼到原長方體的前面，如圖，則，連接，易求得，，則是異面直線與所成的角，由余弦定理可得.故選C.6．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題正確的是A．若，垂直于同一平面，則與平行B．若，平行于同一平面，則與平行C．若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D．若，不平行，則與不行能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故A不正確；由B，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故B不正確；由C，若，不平行，但平面內(nèi)會存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線，故C不正確；由D，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故D項正確.所以選D.7．如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從盒外的B點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點，則螞蟻爬行的最短距離是A．13 B．1C．17 D．2＋5【答案】C【解析】∵螞蟻從盒外的B點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點，∴螞蟻爬行的最短距離是如圖BM的長度，∵無蓋的正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，∴A1B＝2＋2＝4，A1M＝1，∴BM＝42+18．如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【答案】B【解析】如圖所示，作于，連接，BD，易得直線BM，EN是三角形EBD的中線，是相交直線.過作于，連接，平面平面，平面，平面，平面，與均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知，，，故選B．【名師點睛】本題考查空間想象實力和計算實力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.解答本題時，先利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題．9．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，補成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C．【名師點睛】平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，詳細步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特殊留意異面直線之間所成角的范圍．10．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是A．B．C．D．【答案】A【解析】對于B，易知AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ；對于C，易知AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ；對于D，易知AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ．故解除B，C，D，選A．【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象實力，屬簡潔題．證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的判定定理，運用這個定理的關(guān)鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、找尋比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面．11．現(xiàn)有2個正方體，3個三棱柱，4個球和1個圓臺，從中任取一個幾何體，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為A． B．C． D．【答案】C【解析】本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)、古典概型.因為共有10個幾何體，其中旋轉(zhuǎn)體為5個，所以從中任取一個幾何體，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為.12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中面積最大的側(cè)面的面積為A． B．C． D．【答案】B【解析】本題主要考查三視圖.由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，其中底面是邊長為1的正方形，高為1，直觀圖如下圖所示，其中平面ADE⊥平面BCDE，四個側(cè)面面積分別為，最大面積是，故本題選B.13．設m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是A．若α//β,m?α,n?βB．若α//β,mC．若m⊥α,n//β,m⊥nD．若α⊥β,P∈α,P∈a,a⊥β，則a?α【答案】D【解析】A.由于α∥β，m?α，則m∥β，又n?β，可得m∥n或m，n異面，故A錯；B.由于α//β,m//α,n//β，可得m∥n或m，C.由于m⊥α,n//β,m⊥n，則α//D.由于α⊥β,P∈α,P∈a,a⊥β，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理可知a?α，故D正確．故選D．14．已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2A． B．1C． D．【答案】A【解析】因為三棱錐的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，，∴S在平面ABC上的射影為AB中點H，∴SH⊥平面ABC.∴SH上隨意一點到A、B、C的距離相等.∵SH=3，CH=1，在平面SHC內(nèi)作∵SC=2，∴SM=1，∠OSM=3015．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．【答案】假如l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）假如l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；（2）假如l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）假如l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.故答案為：假如l⊥α，m∥α，則l⊥