2024-2025學年新教材高中數(shù)學模塊素養(yǎng)評價一含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE模塊素養(yǎng)評價(一)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.若數(shù)列-1,2,5,8,11,x,…中的項按肯定規(guī)律改變,則實數(shù)x最有可能的值是 ()A.12 B.13 C.14 D.15【解析】選C.依據(jù)題意,數(shù)列-1,2,5,8,11,x,…分析可知,從其次項起,每一項與前一項的差等于3,所以x=11+3=14.2.(2024·梅州高二檢測)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4=4,S9=45,a10= ()A.20 B.10 C.44 D.55【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a4=4,S9=45,所以QUOTE解得a1=1,d=1,所以a10=1+9=10.3.(2024·唐山高二檢測)已知{an}為等差數(shù)列,若QUOTE<-1,且數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值,則Sn的最小正值為 ()A.S1 B.S19 C.S20 D.S37【解析】選D.因為QUOTE<-1,且數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值,故a19>0,a20<0,a19+a20<0,所以S37=QUOTE=37a19>0,S38=QUOTE=19(a19+a20)<0,即滿意條件的Sn的最小正值為S37.4.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),則 ()A.f(k+1)-f(k)=2k+2 B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2 D.f(k+1)-f(k)=4k+3【解析】選B.f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),則f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3k+3.5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為QUOTE,且8a5=a1-2a3,則a3= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為前4項和為QUOTE,且8a5=a1-2a3,所以q≠1,QUOTE=QUOTE,8a1q4=a1-2a1q2,解得a1=1,q=QUOTE.則a3=QUOTE.6.過曲線y=ex-x外一點(e,-e)作該曲線的切線l,則l在y軸上的截距為 ()A.-ee B.-ee+2C.-ee+1 D.ee+2【解析】選B.設(shè)切線l在曲線y=ex-x上的切點為(x0,y0),則y0=QUOTE-x0①,由y=ex-x,得y′=ex-1,則切線l的斜率k=y′QUOTE=QUOTE-1,所以切線l的方程為y-y0=(QUOTE-1)(x-x0),因為l過曲線y=ex-x外一點(e,-e),所以-e-y0=(QUOTE-1)(e-x0)②,所以由①②,得x0=e+1,y0=ee+1-(e+1),所以l在y軸上的截距y0+(QUOTE-1)(-x0)=-ee+2.7.已知關(guān)于x的不等式1+2xlnx≤mx2在[1,+∞)上恒成立,則m的最小值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.依題意,1+2xlnx≤mx2?m≥QUOTE+QUOTE,令g(x)=QUOTE+QUOTE,故g′(x)=QUOTE,令h(x)=x-xlnx-1,則h′(x)=-lnx,故當x∈[1,+∞)時,h′(x)=-lnx≤0,h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)≤h(1)=0,所以g′(x)≤0,故g(x)=QUOTE+QUOTE在[1,+∞)上單調(diào)遞減,故m≥[g(x)]max=g(1)=1,故m的最小值為1.8.(2024·玉林高二檢測)已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),當x>0時,xf′(x)>f(x).若a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a<b<c B.c<a<bC.c<b<a D.b<c<a【解析】選C.令g(x)=QUOTE(x≠0),由于f(x)為R上的奇函數(shù),所以g(x)=QUOTE(x≠0)為定義域上的偶函數(shù),又當x>0時,xf′(x)>f(x),所以,當x>0時,g′(x)=QUOTE>0,所以,偶函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;又0<sinQUOTE<1<log46<log49=log23,所以gQUOTE<g(log46)<g(log49)=g(log23)=g(-log23),即c<b<a.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.下列選項中能滿意數(shù)列1,0,1,0,1,0,…的通項公式的有 ()A.an=QUOTEB.an=sin2QUOTEC.an=cos2QUOTED.an=QUOTE【解析】選ABCD.可以驗證,當n為奇數(shù)時,ABCD對應(yīng)的項均為1,當n為偶數(shù)時,ABCD對應(yīng)的項均為0.10.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1+3a5=S7,則以下結(jié)論肯定正確的是 ()A.a4=0 B.Sn的最大值為S3C.S1=S6 D.|a3|<|a5|【解析】選AC.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+3(a1+4d)=7a1+21d,解得a1=-3d,所以an=a1+(n-1)d=(n-4)d,所以a4=0,故A正確;因為S6-S1=5a4=0,所以S1=S6,故C正確;由于d的正負不清晰,故S3可能為最大值或最小值,故B不正確;因為a3+a5=2a4=0,所以a3=-a5,即|a3|=|a5|,故D錯誤.11.(2024·南京高二檢測)若函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個不同的點A,B,使得曲線y=f(x)在這兩點處的切線重合,稱函數(shù)f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的有 ()A.y=ex-x B.y=x4-x2C.y=x3 D.y=x+sinx【解析】選BD.由題意可得,性質(zhì)T指函數(shù)f(x)圖象上有兩個不同點的切線是重合的,即兩個不同點所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等,且兩點處函數(shù)的切線方程也相同.對于A選項,y=ex-x,則y′=ex-1,導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù),不存在不同的兩個x使得導(dǎo)數(shù)值相等,故A不符合;對于B選項,y′=4x3-2x,設(shè)兩切點分別為(x1,QUOTE-QUOTE),(x2,QUOTE-QUOTE)且4QUOTE-2x1=4QUOTE-2x2,取x1=-QUOTE,x2=QUOTE,則y1=-QUOTE=y2,兩切點處的導(dǎo)數(shù)值為y′=0,兩切點連線的直線斜率為k=QUOTE=0,所以兩切點處的導(dǎo)數(shù)值等于兩切點連線的斜率,符合性質(zhì)T,所以B選項符合;對于C選項,設(shè)兩切點分別為(x1,QUOTE)和(x2,QUOTE),則兩切點處的導(dǎo)數(shù)值相等有:3QUOTE=3QUOTE,解得:x1=-x2,令x1=a,則x2=-a,兩切點處的導(dǎo)數(shù)y′=3a2,兩切點連線的斜率為k=QUOTE=a2,則3a2=a2,得a=0,兩切點重合,不符合題意,所以C選項不符合;對于D選項,y′=1+cosx,設(shè)兩切點的橫坐標分別為x1和x2,則1+cosx1=1+cosx2,所以cosx1=cosx2,取x1=QUOTE,x2=QUOTE,則y1=QUOTE+1,y2=QUOTE+1,兩切點處的導(dǎo)數(shù)值為y′=1,兩切點連線的直線斜率為k=QUOTE=1,所以兩切點處的導(dǎo)數(shù)值等于兩切點連線的斜率,符合性質(zhì)T,所以D選項符合.12.已知函數(shù)fQUOTE=QUOTE,則下列結(jié)論正確的是 ()A.函數(shù)fQUOTE存在兩個不同的零點B.函數(shù)fQUOTE既存在極大值又存在微小值C.當-e<k<0時,方程fQUOTE=k有且只有兩個實根D.若x∈QUOTE時,fQUOTE=QUOTE,則t的最小值為2【解析】選ABC.對于A.fQUOTE=0?x2+x-1=0,解得x=QUOTE,所以A正確;對于B.f′QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,當f′QUOTE>0時,-1<x<2,當f′QUOTE<0時,x<-1或x>2,故QUOTE,QUOTE是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,QUOTE是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,所以fQUOTE是函數(shù)的微小值,fQUOTE是函數(shù)的極大值,所以B正確.對于C.當x→+∞時,y→0,依據(jù)B可知,函數(shù)的最小值是fQUOTE=-e,再依據(jù)單調(diào)性可知,當-e<k<0時,方程fQUOTE=k有且只有兩個實根,所以C正確;對于D.由圖象可知,t的最大值是2,所以不正確.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.(2024·湘潭高二檢測)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a2=1,S5+S7>31,則S10的取值范圍是________.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a2=1,S5+S7>31,所以S5+S7=5a3+7a4=5(1+d)+7(1+2d)>31,所以d>1,所以S10=10a1+45d=10(1-d)+45d=10+35d>45.答案:(45,+∞)14.用數(shù)學歸納法證明不等式“QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>QUOTE(n>1且n∈N+)”的過程中,第一步:當n=2時,不等式左邊應(yīng)等于________.

【解析】依據(jù)數(shù)學歸納法的步驟,首先要驗證當n取第一個值時命題成立;結(jié)合本題,要驗證n=2時,不等式左邊為QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE15.已知正項等比數(shù)列{an}滿意a2020=2a2018+a2019,若存在兩項am,an使得QUOTE=4a1,則QUOTE的最小值是________,此時m2+n2=________.

【解析】依據(jù)題意,設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q,若{an}滿意a2020=2a2018+a2019,則有q2=2+q,解得q=2或q=-1(舍去),若存在兩項am,an使得QUOTE=4a1,即am·an=16QUOTE,變形可得2m+n-2=16=24,則有m+n=6,則QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE(m+n)QUOTE=QUOTE,又由QUOTE+QUOTE≥2×QUOTE=4,當且僅當n=2m即n=2m=4時,等號成立,則QUOTE=QUOTE(5+4)=QUOTE,此時m2+n2=20.答案:QUOTE2016.(2024·常德高二檢測)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),當x>0時,f(x)=lnx+ex-1,則曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為______________.

【解析】因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),當x>0時,f(x)=lnx+ex-1,所以當x<0時,-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)+e-x-1,所以f(-1)=1,又當x<0時,f′(x)=QUOTE-QUOTE,所以f′(-1)=-2,所以曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為2x+y+1=0.答案:2x+y+1=0四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S2=8,S3=9.(1)求{an}的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最大值.【解析】(1)由題意,可知:S3=a1+a2+a3=3a2=9,故a2=3.又因為S2=8,即a1+a2=8,所以a1=5.所以公差d=a2-a1=-2.所以an=5-2(n-1)=7-2n,n∈N+.(2)由(1)可知a1=5,an=7-2n,所以Sn=QUOTE=QUOTE=n(6-n)=6n-n2=-(n-3)2+9.所以依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可知當n=3時,Sn取得最大值9.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2,曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為3x+y+m=0.(1)求實數(shù)a,m的值;(2)求f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.【解析】(1)f′(x)=3x2-3a,因為曲線f(x)=x3-3ax+2在x=1處的切線方程為3x+y+m=0,所以QUOTE解得a=2,m=0.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x+2,則f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,解得x=±QUOTE,所以f(x)在[1,QUOTE)上單調(diào)遞減,在(QUOTE,2]上單調(diào)遞增,又f(1)=1-6+2=-3,f(2)=23-6×2+2=-2,fQUOTE=QUOTE-6×QUOTE+2=2-4QUOTE,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為-2,最小值為2-4QUOTE.19.(12分)(2024·延慶高二檢測)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,a10=16,________.

(1)推斷2024是否是數(shù)列{an}中的項,并說明理由;(2)求Sn的最值.從①a8=10,②a8=8,③a8=20中任選一個,補充在上面的問題中并作答.【解析】答案不唯一.方案一:選擇①a8=10.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a10=16,所以d=QUOTE=3.所以a1+7×3=10,解得a1=-11.所以an=-11+3(n-1)=3n-14,令2024=3n-14,解得n=679QUOTE,不是整數(shù),所以2024不是數(shù)列{an}中的項.(2)由3n-14≤0,可得n≤4QUOTE.所以Sn有最小值.為S4=QUOTE=-26,Sn無最大值.方案二:選②a8=8.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則QUOTE所以QUOTE,所以an=a1+(n-1)d=4n-24,令4n-24=2024,所以n=512,所以2024是{an}中的第512項.(2)由(1)知an=4n-24,令an>0得n>6.所以n≥7時an>0,a6=0,1≤n≤5時,an<0,所以當n=5或n=6時,Sn的最小值為S5=S6=-20×5+QUOTE×4=-60,Sn無最大值.方案三:選③a8=20.(1)解法同方案二,可得QUOTE所以an=-2n+36,令-2n+36=2024,n=-994不合題意.所以2024不是數(shù)列{an}中的項.(2)令an>0得n<18,所以1≤n≤17時,an>0,a18=0,n≥19時,an<0,所以n=17或18時,Sn的最大值為S17=S18=34×18+QUOTE×(-2)=306,Sn無最小值.20.(12分)已知函數(shù)fQUOTE=QUOTEex.(1)求曲線y=fQUOTE在原點處的切線方程.(2)當x≤2時,求函數(shù)y=fQUOTE的零點個數(shù).【解析】(1)由題意,函數(shù)fQUOTE=QUOTEex,則f′QUOTE=QUOTEex,則f′QUOTE=-2,從而曲線y=fQUOTE在原點處的切線方程為y=-2x.(2)由(1)知f′QUOTE=QUOTEex,令f′QUOTE=0得x=QUOTE或x=-QUOTE,從而函數(shù)y=fQUOTE的單調(diào)增區(qū)間為QUOTE,QUOTE,單調(diào)減區(qū)間為QUOTE,當x<-QUOTE時,fQUOTE=QUOTEex>0恒成立,所以在QUOTE上沒有零點;當-QUOTE<x<QUOTE時,函數(shù)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減,且fQUOTE=0,存在唯一零點;當x>QUOTE時,函數(shù)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,且fQUOTE=0,存在唯一零點.綜上,當x≤2時,函數(shù)y=fQUOTE的零點個數(shù)為2.21.(12分)用數(shù)學歸納法證明:n+(n+1)+(n+2)+