簡單冪函數的圖象和性質課件

北師大版（2019）必修第一冊2.4.2簡單冪函數的圖象和性質學習目標LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge題型突破Breakthroughinquestiontypes當堂檢測Classroomtest學習目錄ParentConferenceDirectory壹叁貳肆學習目標PART01學習目標01了解冪函數的概念，會求冪函數的解析式01結合冪函數的圖象，理解它們的變化規(guī)律02能利用冪函數的基本性質解決相關問題03探索新知PART02探索新知02情境導學

探索新知02情境導學

從上述三種函數出發(fā)，可以把它們統(tǒng)一寫成y＝xk的形式．那么對于xk，我們把它稱作什么？它有什么特點呢？探索新知02冪函數：一般地，形如y＝xα(α為常數)的函數，即底數是自變量、指數是常數的函數稱為冪函數.冪函數的特征：知識點1

冪函數的概念①xα的系數為1；②xα的底數是自變量；③xα的指數為常數特別提醒：判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否同時具備上述三個特征，形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα+6等的函數都不是冪函數.反過來，若一個函數為冪函數，則該函數也必同時具備這三個特征.探索新知02探究

知識點1

冪函數的概念提問2：下列函數中哪些函數是冪函數？

探索新知02知識點1

冪函數的概念

函數y＝xy＝

y＝x2y＝x3定義域

值域

單調性

奇偶性

y＝x3y＝x2y＝x

12-1-112xyO-2-2RR增[0,+∞)減(－∞,0]在R上為增函數奇函數R[0,+∞)偶函數RR奇函數在R上為增函數[0,+∞)[0,+∞)非奇非偶在[0,+∞)上為增函數奇函數(－∞,0)∪(0,+∞)(－∞,0)∪(0,+∞)減(0,+∞)，(－∞,0)探索新知02分析

觀察圖象，能夠發(fā)現什么？知識點2

一般冪函數的圖象與性質

探索新知02

第一象限單調性當α>1時，向下凸；當0<α<1，向上凸知識點2

一般冪函數的圖象與性質探索新知02當0<x<1時，α值越大，圖象越低當x>1時，α值越大，圖象越高知識點2

一般冪函數的圖象與性質探索新知02一般地，冪函數y＝xα（α為常數）的圖象有哪些特點？冪函數具有什么性質？知識點2

一般冪函數的圖象與性質⑴所有的冪函數在(0，＋∞)都有定義，并且圖象都過點(1，1)，（原因1x＝1）．⑵α＞0時，冪函數的圖象都通過原點，且在[0，＋∞）上，是增函數（從左往右看，函數圖象逐漸上升）．⑶α＜0時，冪函數的圖象在區(qū)間[0，＋∞）上是減函數．在第一象限內，當x向原點靠近時，圖象在y軸的右方無限逼近x軸正半軸，當x慢慢地變大時，圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸．探索新知02在圖中，只畫出了函數在y軸某一側的圖象，請你畫出函數在y軸另一側的圖象，并說出畫法的依據．知識點2

一般冪函數的圖象與性質前三個函數為奇函數，所以圖象關于原點中心對稱，后兩個函數為偶函數，圖象關于軸對稱.探索新知021.冪函數的圖象知識點2

一般冪函數的圖象與性質觀察五種特殊的冪函數在第一象限內的圖象，可知，冪函數y＝xα的圖象在第一象限內具有如下特征：直線y＝1，y＝x將直線x＝1的右側部分分為(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三個區(qū)域，如圖所示.①對于y＝xα，當α＜0時，其圖象在第一象限內為雙曲線形；②當0＜α＜1時，其圖象在第一象限內為拋物線形，且開口向右；③當α＞1時，其圖象在第一象限內為拋物線形，且開口向上；探索新知021.冪函數的圖象知識點2

一般冪函數的圖象與性質若α∈(1，+∞)，則y＝xα的圖象經過區(qū)域(Ⅰ)；若α∈(0，1)，則y＝xα的圖象經過區(qū)域(Ⅱ)若α∈(－∞，0)，則y＝xα的圖象經過區(qū)域(Ⅲ)在直線x＝1的右側，從x軸起，冪函數y＝xα的指數α由小到大遞增，即“指大圖高”“指小圖低”探索新知021.冪函數的圖象知識點2

一般冪函數的圖象與性質作冪函數圖象的步驟先利用上述特征，由給定的冪指數，作出冪指數在第一象限的圖象；再研究其定義域，看當x≤0時函數是否有意義；若在(－∞，0)上有意義，再研究函數的奇偶性，利用奇函數(或偶函數)圖象的對稱性，便可作出函數在y軸左邊的圖象，從而得到冪函數的圖象，進而利用圖象可得到函數的有關性質.探索新知022.冪函數的圖象和性質知識點2

一般冪函數的圖象與性質解析式圖象圖象特征定義域定點單調性奇偶性y＝xα(α∈R)α＞0在第一象限內，當0＜α＜1時，圖象上凸；當α＞1時，圖象下凸在(0，＋∞)上都有定義，定義域與α的取值有關圖象過點(0，0)和點(1，1)在(0，＋∞)上單調遞增α為奇數，冪函數為奇函數；α為偶數，冪函數為偶函數α＜0在第一象限內，圖象都下凸圖象過點(1，1)在(0，＋∞)上單調遞減探索新知02例

如圖所示，曲線是冪函數y＝xa在第一象限內的圖象，已知α分別?。?，1，

，2四個值，則相應圖象依次為

．

xyOC1C2C3C4C4，C2，C3，C1當α＞0時，冪函數y＝xα在（0，＋∞）上遞增，且隨α增大，圖象在x=1右側從上到下依次降低；當α＜0時，冪函數y＝xα在（0，＋∞）上遞減；故圖象依次為C4，C2，C3，C1．探索新知02

B．?1D．?2或1A．2或?1C．2

故選：B．B探索新知02

B．b＜a＜cD．b＜c＜aA．a＜b＜cC．c＜a＜b

∵b6－a6＝9－8＝1＞0，∴a＞c，∴b6＞a6，∴b＞a，∵a10－c10＝32－25＞0，a10＞c10，綜上可得：b＞a＞c．故選：C．C題型突破PART03題型突破03題型1冪函數的圖象及應用C題型突破03解題通法

題型1冪函數的圖象及應用題型突破03

【方法指導】將數化成同指數的，然后利用冪函數的性質比較.

題型2比較冪的大小B題型突破03題型2比較冪的大小

題型突破03解題通法三種方法比較冪值的大小直接法：當冪指數相同時，直接利用冪函數的單調性來比較大小轉化法：當冪函數不同時，可以先轉化為相同冪指數，再運用冪函數的單調性比較大小中間值法：當底數不同且冪指數也不同而不能運用單調性直接比較大小時，可選取適當的中間值與兩數分別比較，從而達到比較大小的目的，這里的中間值常選擇0或1題型2比較冪的大小題型突破03題型3解不等式

題型突破03題型3解不等式

題型突破03解題通法利用冪函數解不等式的步驟利用冪函數解不等式，實質是已知兩個函數值的大小，判斷自變量或冪指數的大小，常與冪函數的單調性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下：(1)確定可以利用的冪函數；(2)借助相應冪函數的單調性，將不等式的大小關系轉化為自變量或冪指數的大小關系；(3)解不等式(組)求參數范圍，注意冪函數的定義域及分類討論思想的應用題型3解不等式題型突破03題型4冪函數的奇偶性題型突破03解題通法冪函數y＝xα(α∈R)奇偶性的判斷方法題型4冪函數的奇偶性