第1講圖形的變化（一）（平移與軸對稱）（題型精講）

第1講第1講圖形的變化（一）（平移與軸對稱）（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：生活中的平移現(xiàn)象題型二：圖形的平移題型三：利用平移的性質求解題型四：利用平移解決實際問題題型五：利用平移作圖題型六：坐標平移角度1：點沿軸，軸平移角度2：由平移方式確定點的坐標角度3：由點平移前后的坐標，確定平移的方式角度4：已知圖形的平移，求點的坐標角度5：已知平移后的坐標，求原坐標題型七：平移綜合題型八：軸對稱圖形的識別題型九：軸對稱的性質角度1：成軸對稱的兩個圖形的識別與判斷角度2：根據(jù)成軸對稱圖形的特征求解角度3：軸對稱中光線反射問題角度4：折疊問題題型十：對稱軸角度1：畫對稱軸角度2：求對稱軸的條數(shù)題型十一：鏡面對稱題型十二：畫（設計）軸對稱圖形題型十三：坐標系中的對稱問題題型十四：軸對稱綜合問題角度1：線段問題角度2：面積問題角度3：角度問題第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準記憶知識點一：圖形的平移1、平移的定義：在平面內，將一個圖形沿某一直線方向移動一定的距離，這種圖形變換叫做平移變換。2、平移的要素：①平移的方向；②平移的距離；3、平移的性質：①平移前后的兩個圖形形狀和大小完全相同，對應角相等，對應邊相等，平移前后兩個圖形的周長和面積相等。②對應線段（或對應邊）平行(或在同一直線上)且相等。③任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等。知識點二：軸對稱1、定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.2、說明：①軸對稱是指兩個圖形的位置關系；②軸對稱涉及兩個圖形3、圖示：4、性質：①對應點的連線被對稱軸垂直平分，如圖中對稱軸②成軸對稱的兩個圖形全等；③只有一條對稱軸，如圖中直線知識點三：軸對稱圖形1、定義：如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.2、說明：①軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；②軸對稱圖形是對一個圖形來說的3、圖示：4特征：①有對稱軸；②將圖形沿對稱軸（圖中）折疊后對稱軸兩旁的部分完全重合.第二部分：課前自我評估測試1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）2022北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進行設計創(chuàng)作．如圖，通過平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的圖形是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：選項A是可以通過平移得到．故選：A．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）下列四個選項中的哪個圖案平移得到如圖的圖案（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)平移可得B是平移可得到圖形中的圖案，故選：B．3．（2023秋·湖北武漢·八年級?？计谀┫铝袔缀螆D形不一定是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，則此項符合題意；B、是軸對稱圖形，則此項不符合題意；C、是軸對稱圖形，則此項不符合題意；D、是軸對稱圖形，則此項不符合題意；故選：A．4．（2023秋·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學?？计谀┫铝袌D標中是軸對稱圖形的是（）A． B． C．D．【答案】D【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．是軸對稱圖形，符合題意．故選：D．5．（2023秋·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）點關于軸對稱點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】關于軸對稱點的坐標是故選：B6．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，將向右平移2cm得到，則_____cm．【答案】2【詳解】解：根據(jù)平移的性質可知，．故答案為：2．第三部分：典型例題剖析題型一：生活中的平移現(xiàn)象典型例題例題1．（2023春·七年級單元測試）今年4月，被稱為“豬兒蟲”的璧山云巴正式運行．云巴在軌道上運行可以看作是（

）A．對稱 B．旋轉 C．平移 D．跳躍【答案】C【詳解】解：云巴在軌道上運行可以看作是數(shù)學上的平移．故選：C．例題2．（2022春·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（

）①方向盤的轉動；②打氣筒打氣時，活塞的運動；③鐘擺的擺動；④汽車雨刷的運動A．①② B．②③ C．①②④ D．②【答案】D【詳解】解：①方向盤的轉動是旋轉，故不符合題意；②打氣筒打氣時，活塞的運動是平移，故符合題意；③鐘擺的擺動是旋轉，故不符合題意；④汽車雨刷的運動是旋轉，故不符合題意；綜上分析可知，屬于平移的是②，故D正確．故選：D．例題3．（2022·全國·七年級專題練習）如圖所示第1個圖案是由黑白兩種顏色的正六邊形地面磚組成，第2個，第3個圖案可以看作是第1個圖案經過平移而得，那么第4個圖案中有白色六邊形地面磚________塊，第個圖案中有白色地面磚________塊，則下列選項中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由圖可知，每一個圖案比前一個圖案多4個白色的六邊形，∴第n個圖案白色六邊形的個數(shù)為：，∴第4個圖案白色六邊形的個數(shù)為：，故選C．同類題型歸類練1．（2023春·七年級單元測試）如圖所示的圖案，可以看作由“基本圖案”經過平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、不是由“基本圖案”經過平移得到，故此選項不符合題意；B、是由“基本圖案”經過平移得到，故此選項符合題意；C、不是由“基本圖案”經過平移得到，故此選項不符合題意；D、不是由“基本圖案”經過平移得到，故此選項不符合題意；故選B．2．（2023春·七年級單元測試）下列現(xiàn)象是平移的是（）A．電梯從底樓升到頂樓 B．衛(wèi)星繞地球運動C．紙張沿著它的中線對折 D．樹葉從樹上落下【答案】A【詳解】解：A、電梯從底樓升到頂樓為平移現(xiàn)象，故該選項符合題意；B、衛(wèi)星繞地球運動為旋轉現(xiàn)象，故該選項不符合題意；C、紙張沿著它的中線對折是軸對稱現(xiàn)象，故該選項不符合題意；D、樹葉從樹上落下既不是旋轉也不是平移，故該選項不符合題意．故選：A．3．（2022春·江西贛州·七年級?？计谥校┤鐖D，一塊邊長為8米的正方形土地，在上面修了三條道路，寬都是1米，空白的部分種上各種花草．（1）求種花草的面積；（2）若空白的部分種植花草共花費了4620元，則每平方米種植花草的費用是多少元？【答案】（1）種花草的面積為42平方米；（2）每平方米種植花草的費用是110元【詳解】解：（1）（平方米）答：種花草的面積為42平方米；（2）（元）答：每平方米種植花草的費用是110元．題型二：圖形的平移典型例題例題1．（2023春·八年級單元測試）如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點到的方向平移到的位置，，，平移距離為6，則陰影部分面積為（

）A．42 B．48 C．84 D．96【答案】B【詳解】解：∵平移距離為6，∴BE=6，∵平移，∴AB=DE，陰影部分的面積等于直角梯形OEBA的面積∵AB＝10，DO＝4，∴OE=104=6，∴直角梯形OEBA的面積為：（6+10）×6÷2=48．故選B．例題2．（2022春·安徽蚌埠·七年級統(tǒng)考期末）用四根火柴棒可擺成如圖所示的象形字“口”，平移此象形字火柴棒后，變成的象形字是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：原圖形平移后，水平的火柴頭應在左邊，豎直的火柴頭應是一上一下．只有C符合．故選：C．例題3．（2023春·七年級單元測試）如圖，將長為5cm，寬為3cm的長方形先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到長方形，則陰影部分的周長為______cm．【答案】32【詳解】∵長方形的長為5cm，寬為3cm，∴長方形的周長為：5+3+3+5=16（cm），根據(jù)圖形可知：陰影部分的周長為：，即：陰影部分的周長剛好是長方形周長的兩倍，即陰影部分的周長為：16×2=32（cm），故答案為：32．同類題型歸類練1．（2023春·八年級單元測試）如圖所示，共有3個方格塊，現(xiàn)在要把上面的方格塊與下面的兩個方格塊合成一個長方形的整體，則應將上面的方格塊()A．向右平移1格，向下3格 B．向右平移1格，向下4格C．向右平移2格，向下4格 D．向右平移2格，向下3格【答案】C解答：解：上面的圖案的最右邊需向右平移2格才能與下面圖案的最右邊在一條直線上，最下邊需向下平移4格才能與下面圖案的最下面重合，故選C．2．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，經過平移得到，連接，若cm，則點A與點A'之間的距離為________cm．【答案】【詳解】解：∵經過平移得到，cm,∴cm,故答案為：．3．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，線段CD可以看成由線段AB先向下平移______個單位，再向右平移______個單位得到．【答案】

2

2【詳解】解：由由題意得線段AB先向下平移2個單位，再向右平移2個單位得到線段CD，故答案為：2，2．題型三：利用平移的性質求解典型例題例題1．（2023春·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形的長為8，寬為6，將這個長方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形，則陰影部分的面積為（

）A．30 B．32 C．36 D．40【答案】A【詳解】解：如圖，∵將這個長方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，∴∵長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，∴,，∴長方形，∴陰影部分的面積為，故選：A．例題2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，將直角沿邊的方向平移到的位置，連接，若，，則的長為（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【詳解】解：由平移的性質可知，，，則，即，∴，∴，故選：A．例題3．（2023春·七年級單元測試）如圖，將周長為厘米的沿射線方向平移厘米得到，那么四邊形的周長為___________厘米．【答案】【詳解】解：沿射線方向平移厘米得到，，，cm．即四邊形的周長為．故答案為．同類題型歸類練1．（2023秋·山東泰安·八年級校考期末）如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿方向平移到的位置，，平移距離為4，則陰影部分面積為______．【答案】18【詳解】解:由平移的性質知，，，∴，根據(jù)題意得：，∴，∴．故答案為：18．2．（2023秋·上海浦東新·七年級?？计谀┮阎谥苯侨切沃校瑢⒋酥苯侨切窝厣渚€方向平移，到達直角三角形的位置（如圖所示），其中點落在邊的中點處，此時邊與邊相交于點D，如果，，那么四邊形的面積=______cm2．【答案】【詳解】解：由平移的性質可知，，∵點是的中點，∴，∵，∴，，∵，∴，∴四邊形的面積＝，故答案為：3．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，中，，，將平移至的位置，若四邊形的面積為20，且，則__．【答案】4【詳解】解：連接，如圖所示：由平移至得，，，，，，，四邊形的面積為20，，設，則，即，解得，，故答案為：4．題型四：利用平移解決實際問題典型例題例題1．（2023春·七年級單元測試）如圖，在寬為20m，長為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算耕地的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圖可以看出兩條路的寬度為：1m，長度分別為：20m，30m，所以，可以得出路的總面積為：20×1+30×11×1=49m2，又知該矩形的面積為：20×30=600m2，所以，耕地的面積為：60049=551m2．故選B.例題2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，計劃在一塊長為5m，寬為3m的長方形草坪上．修建寬為1m的縱橫相交的兩條人行道，則剩余草坪的面積為_____．【答案】8【詳解】解：剩余草坪的面積為4×2＝8m2，即剩余草坪的面積為8m2．故答案為：8．例題3．（2022秋·八年級單元測試）為迎接即將到來的國慶節(jié)，市區(qū)廣場上設置了一個呈軸對稱圖形的平面造型（如圖所示），其正中間為一個半徑為的半圓，擺放花草，其余部分為展板區(qū)．已知米．米．則展板的面積為_____，擺放花草造價為450元/平方米，展板造價為80元/平方米，那么制作整個造型的造價是（取3）_____元．【答案】

12平方米

3660【詳解】解：由題意：展板的面積＝（平方米），當米，米時，展板的面積＝12（平方米）．制作整個造型的造價＝（元）．故答案為：12平方米；3660．同類題型歸類練1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，某住宅小區(qū)內有一長方形地塊，想在長方形地塊內修筑同樣寬的兩條小路（圖中陰影部分），余下部分綠化，若小路的寬為2m，則綠化面積為___________？【答案】560【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：560．2．（2023春·八年級單元測試）如圖是一塊長方形的場地，長米，寬米，從、兩處入口的小路寬都為1米，兩小路匯合處的路寬是2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為________．【答案】【詳解】解：可以將草坪拼成一塊完整的長方形，這個長方形的長是：米，寬是：米，∴草坪的面積是：（平方米）．故答案是：．3．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？奸_學考試）如圖，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則內部五個小直角三角形的周長為_____．【答案】12【詳解】分析：由圖形可知，內部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內部五個小直角三角形的周長為大直角三角形的周長．詳解：由圖形可以看出：內部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內部五個小直角三角形的周長為AC+BC+AB=12．故答案為12．題型五：利用平移作圖典型例題例題1．（2023秋·吉林松原·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點為坐標原點．(1)將向上平移3個單位長度，再向左平移1個單位長度，得到；作關于軸對稱的；在圖中畫出和，并寫出、、的坐標．(2)在軸上存在一點，使得的周長最小，請在圖中畫出點的位置．【答案】(1)圖見解析，，，(2)見解析【詳解】（1）解：如圖所示：和即為所求；，，；（2）如圖所示：點M即為所求．例題2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，，．(1)將向下平移5個單位得到1，請畫出；(2)將向左平移4個單位得到2，請畫出．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．例題3．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，每個小方格的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫格點，的三個頂點都在格點上．將方格中的先向右平移8格，再向上平移6格，得到．(1)畫出平移后的圖形，并標出對應點；(2)直接寫出△DEF的面積為平方單位．【答案】(1)見解析(2)6【詳解】（1）解：先作出點A、B、C平移后的對應點D、E、F，然后順次連接，則即為所求作的三角形，如圖所示：（2）解：（平方單位）．故答案為：6．同類題型歸類練1．（2023春·八年級單元測試）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點稱為格點，陰影部分圖形的頂點在格點上．(1)網格中陰影部分圖形的面積是；(2)將陰影部分圖形向右平移2個單位，再向下平移3個單位，畫出平移后的圖形．【答案】(1)；(2)見解析【詳解】（1）陰影部分圖形的面積是，故答案為：；（2）平移后的圖形如圖所示：2．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖在平面直角坐標系中，已知點，．(1)畫出向上平移個單位，向左平移個單位后所得的圖形；(2)求平移、、后的對應點的坐標；(3)求平移過程中掃過的面積．【答案】(1)畫圖見解析(2)、、(3)22【詳解】（1）解：如圖所示∶（2）由（1）可得：、、；（3）向上平移個單位掃過的面積為，接著向左平移個單位掃過的面積為，所以平移過程中掃過的面積一共為．3．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在方格紙內將△ABC水平向右平移4個單位得到△．(1)畫出△；(2)利用網格點和直尺畫圖：畫出AB邊上的中線CD，請在圖中標出點D；(3)圖中△ABC的面積是_________．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)8【詳解】（1）如圖，△即為所求；（2）如圖，中線CD即為所求；（3）△ABC的面積=；故答案為：8；題型六：坐標平移角度1：點沿軸，軸平移典型例題例題1．（2023春·全國·七年級專題練習）將點沿軸方向向左平移3個單位，再沿軸方向向上平移2個單位（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：將點P（2，1）沿x軸方向向左平移3個單位，再沿y軸方向向上平移2個單位，則橫坐標減3，縱坐標加2，∴所得的點的坐標是．故選：B．例題2．（2023春·八年級單元測試）在平面直角坐標系中，將點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到點．若點位于第四象限，則、的取值范圍分別是（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】解：由題意，點的坐標為（，），即：（，），∵點位于第四象限，∴，∴，故選：D．例題3．（2023秋·河南開封·八年級開封市第十三中學?？计谀┤鐖D所示，在平面直角坐標系中，已知，，．(1)在平面直角坐標系中畫出，并求出的面積；(2)在（1）的條件下，把先關于軸對稱得到，再向下平移3個單位得到，直接寫出的坐標；(3)已知為軸上一點，若的面積為4，求點的坐標．【答案】(1)圖見詳解；4(2)；；(3)或【詳解】（1）解：如圖，；（2）∵，，，∴A、B、C三點關于y軸對稱的點為，，，，∴、、三點向下平移3個單位的點為，，，，故的頂點坐標為：，，；（3）解：∵，∴，∵點B、P都在x軸上，軸，∴，∴，∴當P在B的右側時，橫坐標為：，當P在B的左側時，橫坐標為，故P點坐標為：或．例題4．（2023秋·河北張家口·八年級張家口市第一中學?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，點的坐標為．(1)將點向右平移5個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點，則點的坐標是______；點與點關于原點成中心對稱，則點的坐標是______；(2)一次函數(shù)的圖像經過，兩點，求直線的函數(shù)表達式；(3)設直線與軸交于點，點在軸上，且滿足的面積為6，求點的坐標．【答案】(1)(4,4)；（1,2）(2)y=2x4(3)P(5,0)或(1,0)【詳解】（1）解：∵點A(1,2)向右平移5個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點，∴由平移可得點B橫坐標為：1+5=4，縱坐標為：2+2=4，∴點B坐標是(4,4)，∵點與點A(1,2)關于原點成中心對稱，∴點的坐標是（1,2）,故答案為：(4,4)，（1,2）；（2）解：設直線BC解析式為y=kx+b，把B(4,4)，C(1,2)分別代入，得，解得：，∴直線BC解析式為y=2x4；（3）解：對于y=2x4，當y=0時，x=2，∴D（2，0）,設P(m，0),∵B(4,4)∴S△BPD=解得：m=5或m=1，∴P(5,0)或(1,0)；角度2：由平移方式確定點的坐標典型例題例題1．（2023春·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為，，將線段平移至，那么的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意：A、B兩點的坐標分別為A（2，0），B（0，1），A′（3，b），B′（a，2），即線段AB向上平移1個單位，向右平移1個單位得到線段A′B′；則：a=0+1=1，b=0+1=1，∴a+b=2．故選A．例題2．（2023秋·北京海淀·七年級人大附中?？计谀┮阎€段是由線段平移得到的，點的對應點為，則點的對應點的坐標為（

）A．（1，2） B．（2，9） C．（5，3） D．（–9，–4）【答案】A【詳解】解：∵線段CD是由線段AB平移得到的，而點A(?1，4)的對應點為C(4，7)，∴由A平移到C點的橫坐標增加5，縱坐標增加3，則點B(?4，?1)的對應點D的坐標為(1，2).故選：A例題3．（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）將點向上平移個單位到點，且點?在軸上，那么點坐標為________．【答案】【詳解】解：?將點?向上平移?個單位長度得到點?，?，即?，?點?在?軸上，?，解得：?，?點?的坐標為?．故答案為：?．例題4．（2023·安徽合肥·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知點、和，，，將平移可得到，點、、的對應點分別為點、、．(1)求點的坐標；(2)求直線與軸的交點坐標．【答案】(1)點C的坐標為(2)直線與y軸的交點坐標為【詳解】（1）解：如圖，過點B作軸于點M，過點C作軸于點N，則，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵、，∵，，，∴，，∴點C的坐標為；（2）解：∵在平移過程中，點對應點，點對應點F，∴，設直線的函數(shù)表達式為，則，解得，∴直線的函數(shù)表達式為，在中，當時，，∴直線與y軸的交點坐標為．角度3：由點平移前后的坐標，確定平移的方式典型例題例題1．（2023春·全國·七年級專題練習）在平面直角坐標系中，將三角形頂點的橫坐標都減去6，縱坐標不變，所得圖形與原圖形相比（

）A．向左平移了6個單位 B．向下平移了6個單位C．向上平移了6個單位 D．向右平移了6個單位【答案】A【詳解】將三角形各頂點的橫坐標都減去6，縱坐標不變，所得圖形的位置與原圖形相比向左平移6個單位；故選：A．例題2．（2023春·全國·七年級專題練習）如果將三角形的三個頂點的橫坐標都加上，縱坐標都減去后，得到新的三角形，那么三角形在三角形的基礎上（

）A．先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度B．先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度C．先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度D．先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度【答案】D【詳解】解：的三個頂點的橫坐標都加上，縱坐標都減去后，得到新的三角形A'B'C'，A'B'C'是由向右平移個單位，再向下平移個單位得到的，故選：D．例題3．（2023春·全國·七年級專題練習）將點通過以下哪種方式的平移得到點（

）A．沿軸向右平移3個單位長度，再沿軸向下平移4個單位長度B．沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向下平移4個單位長度C．沿軸向左平移4個單位長度，再沿軸向上平移3個單位長度D．沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移4個單位長度【答案】D【詳解】解：∵23=5，3+4=7，∴點沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移4個單位長度得到點，故選：D．例題4．（2022秋·浙江·八年級專題練習）（1）將，，三點的橫坐標增加2，縱坐標減小3，寫出對應的點，，，的坐標，并說出是如何平移的；（2）畫出，并求出的面積．【答案】（1），，，先向右平移兩個單位，再向下平移三個單位；【詳解】（1）由圖知，，，將它們的橫坐標增加2，縱坐標減小3，得：，，，根據(jù)平面直角坐標系中點平移的特點求得圖象先向右平移兩個單位，再向下平移三個單位；（2）△A1B1C1如圖所示：△A1B1C1的面積為：．角度4：已知圖形的平移，求點的坐標典型例題例題1．（2023春·全國·七年級專題練習）在直角坐標系中，點，的坐標分別是、，將線段平移，平移后點的對應點的坐標是，那么點的對應點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，觀察圖像可知，，故選：A．例題2．（2023秋·山東泰安·八年級校考期末）如圖，將線段平移到線段的位置，則的值為（

）A．4 B．0 C．3 D．﹣5【答案】A【詳解】解：由題意，線段AB向左平移3個單位，再向上平移4個單位得到線段CD，∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2，∴a+b＝4，故選：A．例題3．（2023春·七年級單元測試）如圖，直角坐標系中的頂點都在網格點上．(1)將先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，得到，則的三個頂點坐標分別是，、，、，；(2)請在圖中畫出；(3)的面積為平方單位．【答案】(1)，1；，；0，(2)見解析(3)【詳解】（1）解：如圖所示：、、；故答案為：，；，；0，；（2）如圖所示：，即為所求；（3）的面積為：．故答案為：．例題4．（2023春·八年級單元測試）在平面直角坐標系中，三角形三個頂點的位置如圖，現(xiàn)將三角形沿的方向平移，使得點移至圖中點的位置．(1)在坐標系中，直接寫出點、兩點的坐標；(2)畫出平移后的三角形，并寫出、的坐標．【答案】(1)見解析(2)圖見解析(5，3)，(8，4)【詳解】（1）根據(jù)圖形可得B為(1，1)，C為(4，2)，如下圖；（2）根據(jù)題意可畫出如下圖，則為(5，3)，為(8，4)角度5：已知平移后的坐標，求原坐標典型例題例題1．（2023春·全國·七年級專題練習）已知內任意一點經過平移后對應點，如果點在經過此次平移后對應點，則點坐標為（

）A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3）【答案】D【詳解】解：由題意，點A向右平移2個單位，向下平移6個單位得到A1（4，3），∴點A坐標（4?2，?3＋6），即（2，3），故選：D．例題2．（2023春·全國·七年級專題練習）將點先向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得，則點坐標為（

）A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）【答案】D【詳解】解：∵將點A先向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（﹣1，5），∴點A的橫坐標為﹣1﹣2＝﹣3，縱坐標為5+3＝8，∴A點坐標為（﹣3，8）．故選D．例題3．（2023春·全國·七年級專題練習）在平面直角坐標系中，線段是由線段經過平移得到的，已知點的對應點為，點的對應點為，則點的坐標為()A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(?1，2)【答案】D【詳解】橫坐標從2到3，說明是向右移動了3（2）=5，縱坐標從1到1，說明是向下移動了1（1）=2，求原來點的坐標，則為讓新坐標的橫坐標都減5，縱坐標都加2．則點B的坐標為（1，2）．故答案為：D．例題4．（2023春·全國·七年級專題練習）若將點先向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到的，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設A（x，y），將點A先向左平移1個單位，再向上平移4個單位可得（x1，y+4），∵得到的B（3，2），∴x1=3，y+4=2，解得：x=2，y=2，∴A（2，2），故選D．題型六同類題型歸類練1．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，將線段先繞原點O按逆時針方向旋轉，再向下平移4個單位長度，得到線段，則點A的對應點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A點繞O點逆時針旋轉，得到點，向下平移4個單位，得到，故選：D．2．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點的坐標為，點的坐標為的坐標為，將沿軸向下平移，使點平移至坐標原點，再將繞點逆時針旋轉，此時的對應點為，點的對應點為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)點的坐標為，平移后點平移至坐標原點，所以平移變換是向下平移3個單位，所以，因為將繞點逆時針旋轉，所以點的坐標為，所以選C．3．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習）如圖，的頂點A在y軸上，B，C兩點都在x軸上，將邊向右平移，平移后點A的對應點為D，點B的對應點為O，線段交AC于點，若，則點D的坐標為（

）A．（3，3） B．（4，4） C． D．（3，4）【答案】D【詳解】解：如圖，分別作，垂足為F，，垂足為G，，，，和有公共角，，，根據(jù)平移的性質可知，設，則x，在中：，即，或（舍去），，．故D點的坐標為（3，4）．故選：D．4．（2022春·重慶大足·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，設一質點自處向上運動1個單位至，然后向左運動2個單位至處，再向下運動3個單位至處，再向右運動4個單位至處，再向上運動5個單位至處，…，如此繼續(xù)運動下去，則的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5），…，P21（11，11），P20的縱坐標與P21的橫坐標相同，∴P20（11，﹣10），故答案為：D．5．（2022秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，先將點向左平移4個單位長度得到點，再作點關于原點的對稱點，則此時點的坐標為______．【答案】【詳解】解：將點向左平移4個單位長度得到點，則，作點關于原點的對稱點，則．故答案為：．6．（2022秋·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，規(guī)定把一個三角形先沿著x軸翻折、再向右平移2個單位長度，這個過程稱為1次變換．如圖，已知等邊三角形的頂點A的坐標是，將經過第1次變換得到，再連續(xù)進行99次這樣的變換，則點A的對應點的坐標是_____，的坐標是_____．【答案】

【詳解】由題意得，點A經過99次變換后，位于x軸上方，故縱坐標為，經過99次變換后，點A向右平移了198個單位，故橫坐標為196，故點的坐標為．點A經過100次變換后，位于x軸下方，故縱坐標為，點A向右平移了200個單位，故橫坐標為198，的坐標是，故答案為：．7．（2022秋·山西朔州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長都為1．(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，若點，則點的坐標______；(2)將向左平移5個單位，向上平移2個單位，則點的坐標變?yōu)開_____；（無需畫圖）(3)圖中格點的面積是______；(4)在軸上找一點，使得最小，請畫出點的位置．【答案】(1)(2)(3)5(4)見解析【詳解】（1）解：如圖，點的坐標；（2）解：將向左平移5個單位，向上平移2個單位，則點的坐標變?yōu)椋唬?）解：圖中格點的面積；（4）解：如圖，點為所作．8．（2022秋·河北保定·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為，，．(1)畫出關于y軸對稱的，其中點A、B、C的對應點分別為，，；(2)將向下平移5個單位長度得到，請直接寫出點，，的坐標；（______，______），（______，______），（______，______）(3)連接線段，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)，，(3)7【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：由（1）得，，，∵將向下平移5個單位長度得到，∴，，；（3）解：．題型七：平移綜合典型例題例題1．（2023春·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，平移線段至線段，點在四邊形內，滿足，，則點的坐標為（）A．（2，1） B．（2，4） C．（3，2） D．（4，2）【答案】D【詳解】解：如圖，過P作PM⊥OB于M，交CD于N，∵CD∥OB，∴PN⊥CD，設P（x，y），∵S△POB：S△POC＝5：6，∴5××3x＝6××5y，∴x＝2y，①∵S△PCD＝S△PBD，∴×7?（3﹣y）＝18﹣×7（3﹣y）﹣×3x﹣×5y，②由①、②解得x＝4，y＝2，∴P（4，2），故選：D．例題2．（2022春·河北衡水·七年級校考期末）如圖，三角形沿著所在直線向右平移個單位長度得到三角形（點在點的左側）．下列判斷正確的是（

）結論Ⅰ：若，，則的值為2；結論Ⅱ：連接，若三角形的周長為18，四邊形的周長為22，則的值為4．A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ對 D．Ⅰ對Ⅱ不對【答案】D【詳解】解：∵三角形ABC沿著BC所在直線向右平移a個單位長度得到三角形DEF，∴BE＝CF＝a，∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4，∴8＝a+4+a，∴a＝2，故結論Ⅰ正確；∵三角形ABC沿著BC所在直線向右平移a個單位長度得到三角形DEF，∴AC＝DF，∵四邊形ABFD的周長為22，∴AB+BC+CF+DF+AD＝22，∴AB+BC+CF+AC+AD＝22，∵三角形ABC的周長為18，∴AB+BC+AC＝18，∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22，∴a＝2，故結論（Ⅱ）不正確，∴Ⅰ對Ⅱ不對，故選：D．例題3．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網格中有一個，按要求進行下列作圖（只能借助于網格）．(1)畫出中邊上的高（要求用鉛筆作圖，加黑加粗，并標出點的位置）；(2)畫出向右平移4格、向上平移2格后的（、、的對應點依次為、、）；(3)連接、，那么與的關系是________；(4)若點是正方形網格內異于點的格點，則滿足和的面積相等的點有____個．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)平行且相等(4)4（1）如圖，線段CH即為所求（2）如圖，△DEF即為所求（3），，故答案為：，（4）如圖，滿足條件的點P有4個，故答案為：4．例題4．（2023秋·遼寧大連·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，矩形頂點的坐標為(8，3)，定點的坐標為(12，0)，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿軸的正方向勻速運動，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿軸的負方向勻速運動，、兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，設運動時間為秒，和矩形重疊部分的面積為．(1)當=___________時，的邊經過點(2)求關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍．【答案】(1)1(2)（1）解：為等腰直角三角形∴∵四邊形為矩形∴當經過點B時，為等腰直角三角形∵點B的坐標為(8，3)，點D的坐標為(12，0)∴，此時，運動時間（2）解：①當時，如圖，設交于點G，過點P作于點H則，∴②當時，如圖，設交于點G，交于點S、T，則

，∴．③當時，如圖，設與交于點T，則，．∴綜上所述，S關于t的函數(shù)關系式為：同類題型歸類練1．（2023春·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點的坐標分別為，，．(1)若經過平移后得到，已知點的坐標為，畫出平移后的圖形．(2)求的面積．(3)若點是軸上的一個動點，則的最小值為，此時點的坐標為．【答案】(1)見解析(2)3(3)；【詳解】（1）解：平移后，，；如圖：（2）面積；（3）作點關于軸的對稱點為，連接交軸于點，如圖，根據(jù)最短路徑可知，設直線的解析式為，把，代入得，，解得，，所以直線的解析式為，當時，，解得，此時點坐標為，故答案為：；．2．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知A（﹣4,﹣1），B（﹣5,﹣4），C（﹣1,﹣3），△ABC經過平移得到的，△ABC中任意一點平移后的對應點為．(1)畫出平移后的；(2)寫出點的坐標；(3)求△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)5.5【詳解】（1）解：由點平移后的對應點為知：點的橫坐標右移6個單位，縱坐標上移4個單位平移后的圖形如下所示：圖中即為所求（2）解：由（1）的圖形直接得：（3）解：3．（2023春·全國·七年級專題練習）△ABC與在平面直角坐標系中的位置如圖．(1)分別寫出下列各點的坐標：；；；(2)說明由△ABC經過怎樣的平移得到？(3)求△ABC的面積．【答案】(1)（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）(2)先向左平移4個單位，再向下平移2個單位(3)2【詳解】（1）根據(jù)圖示，得A′（﹣3，1），B′（﹣2，﹣2），C′（﹣1，﹣1）；故答案為：（﹣3，1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）．（2）△ABC先向左平移4個單位，再向下平移2個單位；（或先向下平移2個單位，再向左平移4個單位）得到△A′B′C′；（3）如圖，=×(1+3)×2﹣×1×3﹣×1×1＝2．4．（2022春·江蘇徐州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，的頂點都在方格紙格點上．(1)將經過平移后得到，圖中標出了點B的對應點，請補全；(2)連接，則這兩條線段之間的關系是__________；(3)畫出的中線AE．【答案】(1)見解析；(2)平行且相等；(3)見解析．（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求．（2）根據(jù)平移變換的性質知，這兩條線段之間的關系是平行且相等，故答案為：平行且相等；（3）如圖所示，BE即為所求；題型八：軸對稱圖形的識別典型例題例題1．（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A錯誤；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B錯誤；C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C正確；D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D錯誤．故選：C．例題2．（2023秋·天津河西·九年級?？计谀┫铝袌D形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；D．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意．故選：D．例題3．（2023秋·山西大同·八年級大同市第六中學校?？计谀┯捎谑苄鹿谝咔榈挠绊?，第32屆東京奧運會暫定于2021年7月23日正式開幕，于同年8月8日閉幕．在會徽的圖案設計中，設計者常常利用對稱性進行設計，下列四個圖案是歷屆會徽圖案上的一部分圖形。其中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故不符合題意；D、是軸對稱圖形，故符合題意．故選D．同類題型歸類練1．（2023秋·廣東珠?！ぞ拍昙壭？计谥校┫铝袌D形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：B．2．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）下列四個圖形中，是軸對稱圖形的為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故正確；B、不是軸對稱圖形，故錯誤；C、不是軸對稱圖形，故錯誤；D、不是軸對稱圖形，故錯誤．故選：A．3．（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）“瓦當”是中國古建筑中覆蓋檐頭筒瓦前端的遮擋，主要有防水、排水、保護木制飛檐和美化屋面輪廓的作用．瓦當上的圖案設計優(yōu)美，字體行云流水，極富變化，是中國特有的文化藝術遺產．下面“瓦當”圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，選項錯誤；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項正確；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，選項錯誤．故選B．題型九：軸對稱的性質角度1：成軸對稱的兩個圖形的識別與判斷典型例題例題1．（2022秋·廣東廣州·八年級校考期末）下列各組圖形中，成軸對稱的兩個圖形是（）A． B． C．D．【答案】D【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故錯誤；B、不是軸對稱圖形，故錯誤；C、不是軸對稱圖形，故錯誤；D、是軸對稱圖形，故正確．故選：D．例題2．（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，與關于直線對稱，下列說法錯誤的是（

） B． C．點和點到直線的距離相等 D．【答案】D【詳解】解∶∵△ABC與△DEF關于直線l對稱，∴△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AB=DE，直線l垂直平分線段BE，∴點B和點E到直線l的距離相等，由已知條件無法判斷ACDE，故選項A，B，C正確，D錯誤，故選∶D．例題3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點分別在格點上．(1)作出與關于對稱的圖形；(2)______，______；(3)在直線上找一個格點，使得為軸對稱圖形．【答案】(1)見解析(2)5，7(3)見解析【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，，；（3）如圖，符合要求的點P共有2個．例題4．（2022秋·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）作圖題：(1)四邊形與四邊形關于直線對稱．連接、．設它們相交于點．怎樣找出點關于的對稱點？(2)已知五邊形和成軸對稱，你能用無刻度的直尺畫出對稱軸嗎？請畫出來．【答案】(1)見解析(2)能，見解析（1）如圖，連接交于點，則即為所求，∵四邊形ABCD與四邊形EFGH關于直線l對稱，則點與點關于關于直線l對稱，（2）如圖，連接交于點，連接交于點，過作直線，則為對稱軸．理由如下，連接，∵五邊形ABCDE和成軸對稱，∴，∴，∴在的垂直平分線上，同理可得在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，根據(jù)如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線；∴即為所求對稱軸角度2：根據(jù)成軸對稱圖形的特征求解典型例題例題1．（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，對角線所在的直線是其對稱軸，點是直線上的點，下列判斷錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵在四邊形中，對角線所在的直線是其對稱軸，點P是直線上的點，∴，，∴，，故A，B，D選項正確，無法判斷，故C選項不正確，故選C例題2．（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，是內的一點，分別是點關于的對稱點，交于點于點，交于點，若，則的周長是_________．【答案】5【詳解】解：∵分別是點P關于的對稱點，∴，∴，∴的周長為5cm.故答案為：5．例題3．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級新疆生產建設兵團第一中學?？计谀┤鐖D所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，，的頂點都在網格線的交點上，在圖中建立平面直角坐標系，使與關于軸對稱，點的坐標為．(1)在圖中畫出平面直角坐標系；(2)①寫出點關于軸的對稱點的坐標；②畫出關于軸對稱的圖形，其中點的對稱點是，點的對稱點是．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【詳解】（1）解：平面直角坐標系如下圖所示；（2）解：①由（1）中建的平面直角坐標系可知點B的坐標為，因此點B關于x軸的對稱點的坐標為；②如圖所示．例題4．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）已知圖①、圖②都是軸對稱圖形．僅用無刻度直尺，按要求完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：(1)在圖①中，作出該圖形的對稱軸；(2)在圖②中，作出點的對稱點．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖所示，連接AC、BD交于點F，連接FE，F(xiàn)E即為所求對稱軸l，（2）如圖所示，延長AD、BC交于點E，令AC、BD的交點為F，連接EF并延長交AB于點H，EH所在直線為該圖形的對稱軸，連接BP，交EH于點G，連接AG并延長，交BC于點，點即為所求，角度3：軸對稱中光線反射問題典型例題例題1．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，在水平地面上放一個平面鏡，一束垂直于地面的光線經平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡與地面所成的銳角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：入射光線垂直于水平光線，它們的夾角為90°，虛線為法線，為入射角，兩水平線平行故選：B．例題2．（2022秋·全國·七年級專題練習）如圖，一束光沿方向，先后經過平面鏡、反射后，沿方向射出，已知，，則_________．【答案】40°##40度【詳解】解：依題意，，∵，，，∴，．故答案為：40°．例題3．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，物理課上，老師和同學們做了如下實驗：平面鏡與之間夾角為120°，光線經平面鏡反射到平面鏡上，再反射出去，若∠1＝∠2，則∠1的度數(shù)為_____【答案】30°【詳解】如圖，由鏡面反射的特點得又，解得則故答案為：．例題4．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）根據(jù)光學中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線通過鏡面反射后的光線為，再通過鏡面反射后的光線為．光線與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線與光線的夾角的度數(shù)為．則與之間的數(shù)量關系是______．【答案】【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)為，∵是兩面互相平行的平面鏡，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)也為，又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線k與鏡面的夾角度數(shù)也為，，．故答案為：．角度4：折疊問題典型例題例題1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在中，，將沿著直線折疊，點落在點的位置，則的度數(shù)是（

）A．?36° B．54° C．72° D．90°【答案】C【詳解】解：如圖，∵沿著直線l折疊得到，∴．∵，，∴．∴．故選：C．例題2．（2023秋·廣東廣州·七年級?？计谀┤鐖D所示，將一張長方形紙片斜折過去，使頂點落在處，為折痕，然后再把折過去，使之與重合，折痕為，若，則求的度數(shù)（

）A．29° B．32° C．34° D．56°【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∵，∴．故選：C例題3．（2023秋·廣東廣州·七年級校考期末）長方形紙片，點、分別在邊、上，連接，將沿翻折，得到，連接，將翻折，得到，點恰好落在線段上，則______°．【答案】90【詳解】解：根據(jù)翻折可得，，，∴故答案為：90．例題4．（2023秋·河北保定·九年級保定十三中?？计谀┤鐖D，沿直線折疊等邊三角形紙片，使點落在邊上任意一點處（不與、重合）．已知邊長為9，D為上一點，，，則______．【答案】【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，由折疊的性質可知，∴，∴，∴，∴∵等邊三角形邊長為9，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．例題5．（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將長方形沿折疊，使落在的位置，且與相交于點．(1)求證：；(2)若，，求折疊后的重疊部分陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，長方形沿對角線對折，使落在的位置，，，又四邊形為矩形，，，而，在與中：；（2）四邊形為長方形，，，，，設，則，，在中，，即，解得．折疊后的重疊部分的面積．題型九同類題型歸類練1．（2023秋·山西·八年級校聯(lián)考期末）如圖，，，分別為射線，上的動點，為內一點，連接，，．若，則周長的最小值為_______．【答案】5【詳解】解：如圖所示：分別作點P關于，的對稱點C、D，連接，分別交，于點M、N，連接、、，，∵點P關于的對稱點為點C，，，；∵點P關于的對稱點為點D，，，，，，是等邊三角形，，的周長為：，周長的最小值為5，故答案為：5．2．（2023秋·山西大同·九年級大同一中校考期末）如圖，在邊長為4的正方形中，為邊的中點，是邊上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則當取得最小值時，的值為_____________．【答案】【詳解】解：∵正方形邊長為4，為邊的中點，∴如圖，以為直徑作圓，則該圓是以點E為圓心，2為半徑的圓，連接，與圓交于點M，則當位于點M處時，取最小值，記當位于點M處時的折痕為，連接，設，∴，∴，∵中，，∴，由折疊知，，∴，∴中，∴，∴，∴，故答案為：．3．（2023秋·河南開封·七年級開封市第十三中學?？计谀┤鐖D，把一個長方形紙片沿折疊后，，兩點分別落在，兩點處，若：：，則_________________度．【答案】54【詳解】解：由折疊可得，：：，'，由折疊可得，，，，，故答案為：．4．（2023秋·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學?？计谀┤鐖D，在銳角△ABC中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直線BD交邊AC于點D，點P、Q分別在線段BD、BC上運動，則PQ+PC的最小值是__________．【答案】【詳解】解：∵∠ABC=30°，∠ABD=15°，∴BD是∠ABC的平分線，作點關于BD的對稱點M，連接PM、CM，由對稱的性質可知，,∴，∵,∴,∵,∴M在AB上,由垂線段最短可知：當時．取得最小值，∴此時PQ+PC也取得最小值．∵，∴，∵,∴,∴PQ+PC的最小值為：．故答案為：．5．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級?？计谀┤鐖D，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么位置可使所用的輸氣管線最短？【答案】見解析【詳解】如圖，作點A關于直線l的對稱點，連接交直線l于點P，此時的值最小，因此泵站修在P點可使所用的輸氣管線最短.6．（2023秋·江蘇南京·八年級南京市金陵匯文學校?？茧A段練習）如圖，網格中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C在小正方形的頂點上．(1)△ABC的面積是______；(2)在網格紙中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的；(3)再找一個格點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是軸對稱圖形，并畫出對稱軸．【答案】(1)4.5(2)見解析(3)見解析（1）解：△ABC的面積為故答案為：．（2）解：如圖所示；（3）解：如圖，找出D

畫出對稱軸（過格點）題型十：對稱軸角度1：畫對稱軸典型例題例題1．（2022·遼寧葫蘆島·八年級校考期中）如圖，網格中的與為軸對稱圖形．(1)利用網格線作出與的對稱軸；(2)如果每一個小正方形的邊長為1，請直接寫出的面積為______．(3)頂點在格點，找出為一邊且與全等（不與重合）的三角形，這樣的三角形在網格內共能畫出______個．(4)在對稱軸上找到一點，使最短．【答案】(1)見解析(2)3(3)1(4)見解析【詳解】（1）解：如圖，直線l為所作；；（2）解：的面積；故答案為：3；（3）解：如圖，以為一邊且與全等（不與重合）的三角形，這樣的三角形在網格內能畫1個．故答案為：1．（4）解：如圖所示，點P即為所求．例題2．（2022秋·山東濰坊·八年級?？茧A段練習）按要求作圖．(1)如圖，線段關于某直線作軸對稱變換，得到線段，其中點的對稱點是點．請確定直線的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)如圖在小正方形構成的網格圖中，各頂點都在格點上，直線經過格點．在網格圖中畫出關于直線對稱的，點、點、點的對稱點分別為點、點、點．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖，直線為所作；（2）如圖，為所作．例題3．（2022秋·上海奉賢·七年級校聯(lián)考期末）已知四邊形，如果點、關于直線對稱，(1)畫出直線；(2)畫出四邊形關于直線的對稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖，直線即為所求；（2）如圖，四邊形即為四邊形關于直線的對稱圖形．例題4．（2022秋·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）如圖，請儀用無刻度的直尺按下列要求畫圖：(1)如圖，在中，，、分別是邊上的兩點，且，請畫出的對稱軸；(2)如圖，在等腰梯形中，，請畫出等腰梯形的對稱軸．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，即為的對稱軸．作法：連接，，和交于點O，連接．證明：，，在和中，，，，，點O在線段的垂直平分線上，又，點A也在線段的垂直平分線上，為的對稱軸．（2）解：如圖，為等腰梯形ABCD的對稱軸．作法：連接，，和交于點F，作，的延長線交于點E，作直線．證明：在等腰梯形中，，，在和中，，，，，點F在線段的垂直平分線上，，，點E在線段的垂直平分線上，為等腰梯形的對稱軸．角度2：求對稱軸的條數(shù)典型例題例題1．（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第二十三中學?？计谀┰跀?shù)學活動課中，同學們利用幾何畫板繪制出了下列曲線，其中是軸對稱圖形并且對稱軸條數(shù)最多的是（

）A． B． C．D．【答案】C【詳解】A選項找不到一條對稱軸，不是軸對稱圖形；B選項是軸對稱圖形，有1條對稱軸；C選項是軸對稱圖形，有4條對稱軸；D選項是軸對稱圖形，有1條對稱軸；因此是軸對稱圖形并且對稱軸條數(shù)最多的是C.故選：C例題2．（2022秋·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸條數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】C【詳解】解：由題意可知該圖的對稱軸如圖所示：由圖可知該圖形的對稱軸有5條．故選：C例題3．（2022秋·北京海淀·七年級101中學?？计谀┤鐖D所示的軸對稱圖形中，對稱軸最多的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：選項A的圖形有四條對稱軸，選項B的圖形有六條對稱軸，選項C的圖形有三條對稱軸，選項D的圖形有兩條對稱軸，所以對稱軸最多的是B．故選：B．例題4．（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）由正方形和圓組成的軸對稱圖形如圖所示，該圖形的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】D【詳解】解：該圖形沿直線l4折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，故該圖形的對稱軸是l4，故選：D．例題5．（2022春·湖北黃岡·九年級專題練習）下面的圖形中對稱軸最多的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A選項圖形有2條對稱軸；B選項圖形有2條對稱軸；C選項圖形有3條對稱軸；D選項圖形有1條對稱軸；所以，C選項圖形的對稱軸最多．故選C．題型十同類題型歸類練1．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）下列四個圖都是由16個相同的小正方形拼成的正方形網格，其中的兩個小正方形被涂黑．請你在各圖中再將兩個空白的小正方形涂黑．使各圖中涂黑部分組成的圖形成為軸對稱圖形（另兩個被涂黑的小正方形的位置必須全不相同），并畫出其對稱軸．其對稱軸分別是：___________，___________，___________，___________．【答案】見解析，【詳解】解：對稱軸分別是：．2．（2022秋·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，四邊形與四邊形關于直線l對稱．連接、．設它們相交于點P．請作出點P關于直線l對稱的對稱點Q．（2）如圖2，已知五邊形和關于直線m對稱，請用無刻度的直尺畫出直線m．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【詳解】解：（1）如圖1所示，點Q即為所求；（2）如圖2所示，直線m即為所求．3．（2022秋·吉林四平·八年級統(tǒng)考期中）找出下列圖形的所有的對稱軸，并一一畫出來．【答案】見解析【詳解】解：所畫對稱軸如下所示：4．（2022秋·江西·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，，請僅用無刻度的直尺按要求畫出圖中拋物線的對稱軸：(1)如圖1，點，在拋物線上；(2)如圖2，四邊形為矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析（1）解；如圖1，直線為所作；（2）解：如圖2，直線為所作．5．（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）三個面積都為1的等邊三角形共一個頂點，均勻分布組成的平面圖形如下，請僅用無刻度的直尺作圖．(1)在圖1中，作出圖形的一條對稱軸；(2)在圖2中，作一個面積為4的菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析（1）解：如圖，直線l即為所求（答案不唯一）．（2）解：如圖，菱形ABCD即為所求（答案不唯一）．題型十一：鏡面對稱典型例題例題1．（2022秋·福建龍巖·八年級?？计谥校┬∶髟阽R中看到身后墻上的時鐘，實際時間最接近8時的是下圖中的（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：8點的時鐘，在鏡子里看起來應該是4點，所以最接近8點的時間在鏡子里看起來就更接近4點，所以應該是圖C所示，最接近8點時間．故選C．例題2．（2022秋·七年級單元測試）小明從鏡子中看到電子鐘顯示的時間是20：51，那么實際時間為________.【答案】12：05．【詳解】根據(jù)鏡面對稱的性質，題中所顯示的時刻與21：05成軸對稱，所以此時實際時刻為12：05．故答案為12：05．例題3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）在地面上的一個小水洼中觀察到一輛小汽車車牌號的像為，則該小汽車的車牌號是_______________．【答案】FT2567【詳解】由題意可得，∴實際車牌號是：FT2567．故答案為FT2567．同類題型歸類練1．（2022秋·八年級單元測試）如圖下面鏡子里哪個是他的像？（

）A．A B．B C．C D．D【答案】B【詳解】解：由鏡面對稱的性質，連接對應點的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即可得出只有與原圖形成鏡面對稱．故選：．2．（2023秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）小強站在鏡前,從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表,其讀數(shù)如圖所示,則電子表的實際時刻是______.【答案】10:21【詳解】根據(jù)鏡面對稱原理可知15:01對稱后為10:21故答案為10:213．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）黑板上寫著18502，在正對著黑板的鏡子里看到的數(shù)字是__．【答案】50281【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質，因此18502的真實圖象應該是50281．故答案為：50281．題型十二：畫（設計）軸對稱圖形典型例題例題1．（2023秋·天津和平·八年級天津市匯文中學校考期末）在下列方格中有五個同樣大小的正方形如圖擺放，請你添加一個正方形到空白方格中，使它與其余五個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的添法共有（

）A．3種 B．5種 C．4種 D．6種【答案】C【詳解】解：如圖，共有4種添法，故選C例題2．（2023秋·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）如圖，在網格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影涂在圖中標有數(shù)字________的格子內．【答案】2【詳解】解：根據(jù)軸對稱的定義，沿著虛線進行翻折后能夠重合，根據(jù)題意，陰影應該涂在標有數(shù)字2的格子內；故答案為2．例題3．（2023秋·河北保定·八年級?？计谀┰谶呴L為1個單位長度的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，的頂點都在格點上（小正方形的頂點稱為格點），請解答下列問題：(1)畫出關于軸對稱的，并寫出點為（______，______）(2)求出的面積為______.(3)在軸上存在一點使得最小，在圖中畫出點的位置，則點的坐標為（______，______），的最小值為______.【答案】(1)，(2)(3)，；【詳解】（1）解：如圖所示：，故答案為：，；（2）的面積為；（3）如圖所示，連接交軸于點，此時的值最小，設的解析式為，將點代入得：解得：，∴的解析式為，當時，，∴，∵，∴，的最小值為：，故答案為：，；；同類題型歸類練1．（2023·河北·九年級專題練習）如圖，在小正三角形組成的網格中，已有個小正三角形涂黑，還需涂黑個小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，n的最小值為3．故選C．2．（2023秋·湖南常德·八年級校聯(lián)考期末）完成下列各題．(1)畫出關于軸對稱的圖形．(2)在軸上找出點，使得點到點、點的距離之和最短（保留作圖痕跡）．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【詳解】（1）解：由原圖可知，，∵與關于軸對稱∴，，∴可得圖形：（2）解：∵關于軸對稱點∴連接與軸的交點∴連接，點即為所求3．（2023秋·湖北孝感·八年級?？计谀┤鐖D，平面直角坐標系中，，，，過點作x軸的垂線l．(1)畫出關于直線l的軸對稱圖形，并寫出點，，的坐標．(2)直線l上找一點Q，使得的周長最短，在圖中標記出點Q的位置．(3)在內有一點，則點P關于直線l的對稱點的坐標為（______，______）（結果用含m，n的式子表示）．【答案】(1)見解析，(2)見解析(3)【詳解】（1）解：如圖，為所作；由圖可知：．（2）解：如圖，點Q為所作的；（3）解：點P關于直線l的對稱點的坐標為．故答案為：．題型十三：坐標系中的對稱問題典型例題例題1．（2023秋·河北保定·八年級?？计谀┌迅黜旤c的橫坐標都乘以，縱坐標都不變，所得圖形是下列答案中的（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵把各頂點的橫坐標都乘以，縱坐標都不變，∴則兩個三角形關于軸對稱，故選：B．例題2．（2023春·八年級單元測試）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1各單位，格點三角形（頂點是網格線的交點的三角形）的頂點，的坐標分別為（1，4），（﹣3，1）．（1）請在網格所在的平面內作出符合上述表述的平面直角坐標系；（2）請你將、、的橫坐標不變，縱坐標乘以﹣1所得到的點、、描在坐標系中，并畫出，其中點的坐標為．（3）的面積是．【答案】(1)詳見解析;(2)（5，2）；(3)18．【詳解】解:（1）平面直角坐標系如圖所示；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求，其中點C1的坐標為（5，2）；故答案為（5，2）；（3）△ABC的面積是×6×（3+3）=18．故答案為18．例題3．（2023秋·廣東廣州·八年級校考期末）如圖，邊長為1的正方形網格中，四邊形的四個頂點，，，都在格點上．(1)畫出四邊形關于軸的對稱圖形四邊形，則點坐標為___________；(2)在軸上找一點，使得最短，請畫出點所在的位置，并寫出點的坐標．【答案】(1)畫圖見解析，(2)【詳解】（1）解：如圖，四邊形為所作，點坐標為；故答案為；（2）如圖，點為所作，點坐標為．同類題型歸類練1．（2023秋·山西·八年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為_______．【答案】【詳解】∵點關于軸對稱的點的坐標是，故答案為：2．（2023秋·山西·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點都在正方形網格的格點上，每個小正方形的邊長都為1．(1)分別畫出關于軸、軸對稱的和；(2)分別寫出和各頂點的坐標．【答案】(1)見解析；(2)各頂點的坐標為，，；各頂點的坐標為，，．【詳解】（1）如解圖，；（2）各頂點的坐標為，，；各頂點的坐標為，，．3．（2023秋·廣西欽州·八年級統(tǒng)考期末）如圖在平面直角坐標系中，各頂點的坐標分別為：(1)在圖中作，使和關于軸對稱；(2)寫出點的坐標．【答案】(1)見解析(2)點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）根據(jù)圖形得，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為．題型十四：軸對稱綜合問題角度1：線段問題典型例題例題1．（2023秋·湖北孝感·八年級?？计谀┤鐖D，在銳角中，，，的平分線交于，、分別是和上的動點，則的最小值是________．【答案】【詳解】解：如圖，作，垂足為，交于點，過點作，垂足為，則為所求的最小值．是的平分線，，是點到直線的最短距離垂線段最短，，．的最小值是，故答案為：．例題2．（2023秋·河北張家口·八年級張家口市第一中學?？计谀┤鐖D1，對于平面內的點、，如果將線段繞點逆時針旋轉得到線段，就稱點是點關于點的“放垂點”．如圖2，已知點，點是軸上一點，點是點關于點的“放垂點”，連接、，則的最小值是_________．【答案】【詳解】解：如圖，設，過點作軸，，，，，，，，，，，點在上，如圖，作關于的對稱點，連接交軸于點，則，令，得，則，的最小值．故答案為：例題3．（2023秋·湖北襄陽·八年級期末）如圖，兩直線與相交于點，它們相交所成的銳角等于15°，若點是直線上一定點滿足，點、分別是直線、上的動點，則的最小值＝_________.【答案】9【詳解】解：如圖，作B點關于直線m的對稱點E，作直線，∴，，過點E作，垂足為點F，交直線m于點H，則當C點位于點F，D點位于點H時，的值最小，等于，∵，故答案為：9．例題4．（2023秋·山西大同·八年級大同市第六中學校?？计谀┤鐖D，已知的三個頂點的坐標分別為，，．(1)作關于y軸的軸對稱圖形得，畫出圖形，并直接寫出點的坐標______；(2)已知點是軸上一點，則當?shù)淖钚≈禃r，點的坐標是______．【答案】(1)繪圖見解析，(2)【詳解】（1）解：如圖為所求作的圖形，點的坐標為（2）解：作關于軸的對稱點，得，連接當剛好為與軸交點時的值最小，設解析式為將，代入解析式得：得解析式為當時點坐標為角度2：面積問題典型例題例題1．（2022秋·重慶江北·八年級?？计谥校┤鐖D，有一張圖紙被破壞，上面兩個標志點、清晰，而主要建筑標志點被破損．(1)請在圖中標出點的位置；(2)連接、、，作關于軸對稱的圖形；(3)求的面積．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)5【詳解】（1）如圖，C點即為所求（2）如圖，即為所求.（3）.例題2．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．(1)在圖中作出關于軸的對稱圖形；(2)請直接寫出點關于軸的對稱點的坐標______；(3)的面積______；(4)在軸上找一點，使得周長最小，并求出周長的最小值．【答案】(1)見解析(2)(3)4(4)【詳解】（1）解：如圖，為所求；（2）解：點關于軸的對稱點的坐標為；故答案為：；（3）解：的面積；（4）解：如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，即為所求