4.5利用三角形全等測距離（分層練習）

第四章三角形4.5利用三角形全等測距離精選練習基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，紅紅書上的三角形被墨跡污染了一部分，她根據(jù)所學的知識很快就畫了一個與書上完全一樣的三角形，那么紅紅畫圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】C【分析】由題意可知：被墨跡污染了的三角形保留了完整的兩角及其夾邊，于是可根據(jù)ASA進行判斷.【詳解】解：由題意可知：被墨跡污染了的三角形保留了完整的兩角及其夾邊，可根據(jù)ASA畫出一個與書上完全一樣的三角形；故選：C.【點睛】本題考查了全等三角形的判定，正確理解題意、熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.2．（2023春·全國·七年級專題練習）慶陽湖國家水利風景區(qū)位于甘肅省慶陽市西峰區(qū)，依托慶陽市城市雨洪集蓄工程而建，景區(qū)規(guī)劃面積，其中水域面積，屬于城市河湖型水利風景區(qū)，億萬年前，這里是一個巨大的史前湖泊，范圍之大，難以想象．如圖，小明利用全等三角形的知識測量慶陽湖兩端M、N的距離，若，則只需測出其長度的線段是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴要測量出M、N的距離，只需要測出線段的長度即可，故選B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣西南寧·八年級南寧三中?？计谥校┤鐖D，要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點A、C、E在同一條直線上（如圖），可以說明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此測得DE的長就是AB的長，判定△ABC≌△EDC，最恰當?shù)睦碛墒牵ǎ〢．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【詳解】解：因為證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應(yīng)相等即ASA這一方法．故選：D．【點睛】此題考查了全等三角形的應(yīng)用，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時注意選擇．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．4．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，為了測量池塘兩岸相對的A，B兩點之間的距離，小明同學在池塘外取AB的垂線BF上兩點C，D，BC=CD，再畫出BF的垂線DE，使點E與A，C在同一條直線上，可得△ABC≌△EDC，從而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依據(jù)是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【詳解】解：在△ABC和△EDC中：，∴△ABC≌△EDC（ASA）．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，將兩根鋼條，的中點O連在一起，使，可繞點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則的長等于內(nèi)槽寬，那么判定的理由是（

）A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．角角邊【答案】A【分析】由已知有，且對頂角相等，則由SAS可判斷，從而問題解決．【詳解】由已知∵∴(SAS)故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，掌握全等三角形的幾個判定方法是關(guān)鍵．6．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，則兩個木樁離旗桿底部的距離與的距離間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)“兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上”可以判斷，又，，所以，所以．【詳解】解：，，由，，，．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用；充分運用題目條件，圖形條件，尋找三角形全等的條件．本題關(guān)鍵是證明．二、填空題7．（2022秋·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）如圖，小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學知識畫出了完全一樣的一個三角形，他的依據(jù)是__．【答案】【分析】根據(jù)圖形，未污染的部分兩角與這兩角的夾邊可以測量，然后根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【詳解】解：小明書上的三角形被墨水污染了，他根據(jù)所學知識畫出了完全一樣的一個三角形，他根據(jù)的定理是：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）．故答案為：ASA．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．8．（2022秋·廣東河源·八年級?？计谀┤鐖D，要測量水池寬，可從點出發(fā)在地面上畫一條線段，使，再從點觀測，在的延長線上測得一點，使，這時量得，則水池寬的長度是__m．【答案】120【分析】利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】，，，，，，故答案為120．【點睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．9．（2020秋·北京·八年級?？计谥校┬∶鞑簧鲗⒁粔K三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊）你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形?應(yīng)該帶______．依據(jù)__________________．【答案】

2

角邊角【分析】應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進行一一驗證．【詳解】解：（1）1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，故應(yīng)帶第2塊；（2）第2塊具備三角形全等的要素兩角及夾邊，所緊依據(jù)是角邊角；故答案為：2；角邊角．【點睛】此題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．10．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊分別在坐標軸上，，．點是線段上的動點，從點出發(fā)，以的速度向點作勻速運動；點在線段上，從點出發(fā)向點作勻速運動且速度是點運動速度的倍，若用來表示運動秒時與全等，寫出滿足與全等時的所有情況_____________．【答案】或【分析】當和全等時，得到OA＝CQ，OQ＝PC或OA＝PC，OQ＝QC，代入即可求出a、t的值．【詳解】當和全等時，OA＝CQ，OQ＝PC或OA＝PC，OQ＝QC∵OA＝8=BC，PC＝2t，OQ＝2at，QC＝12?2at，代入得：或，解得：t＝2，a＝1，或t＝4，a＝，∴的所有情況是或故答案為：或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標與圖形的性質(zhì)等知識點，解此題的關(guān)鍵是正確分組討論．三、解答題11．（2020秋·安徽銅陵·八年級銅陵市第二中學?？茧A段練習）如圖，≌，已知，，求的度數(shù)．【答案】【分析】由全等三角形的對應(yīng)角相等知∠B=∠D=30°，然后由三角形外角定理來求∠EFC的度數(shù)．【詳解】解：∵≌，．又∵，∴．∵，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)．全等三角形的對應(yīng)邊相等及全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．12．（2020秋·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，AD=CB，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，AE=CF．求證：（1）AB=CD（2）AB//CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用HL得到直角三角形ADE與直角三角形CBF全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB與三角形CFD全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；（2）由全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得證．【詳解】證明：（1），，∴DE=BF∵，∴（SAS）∴AB=CD；（2）∵∴【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2020秋·吉林長春·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點E，F(xiàn)是AD上的任意兩點、若，，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】12【分析】利用SSS證明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面積=△ACD的面積，通過拼接可得陰影部分的面積=△ABD的面積，再利用三角形的面積公式可求解．【詳解】解：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ADC≌△ADB（SSS），∴S△ADC=S△ADB，∵BC=8，∴BD=4，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴EB=EC，F(xiàn)B=FC，∵EF=EF，∴△BEF≌△CEF（SSS）∴S△BEF=S△CEF，∵AD=6，∴S陰影=S△ADB=BD?AD＝×4×6＝12．故答案為：12．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，理解S陰影=S△ADB是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，小明用塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放一個等腰直角三角尺，點在上，點，分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為______．【答案】7【分析】根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進行解答．【詳解】解：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD=EC=2cm，DC=BE=5cm，∴DE=DC+CE=7（cm），所以兩堵木墻之間的距離為7cm．故答案為：7【點睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．3．（2020秋·北京海淀·八年級海淀實驗中學?？计谥校┙滩闹杏腥缦乱欢挝淖郑核伎迹喝鐖D，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC，固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD，這個實驗說明了什么？如圖中的△ABC與△ABD滿足兩邊和其中一邊的對角分別相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不全等．這說明，有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．小明通過對上述問題的再思考，提出：兩邊分別相等且這兩邊中較大邊所對的角相等的兩個三角形全等．請你判斷小明的說法_____．（填“正確”或“不正確”）【答案】正確【分析】根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知條件，然后可得∠ACG＝∠DFH，進而可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定進行分析問題．【詳解】解：小明的說法正確．理由：如圖，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．∵∠ACB＝∠DFE，∴∠ACG＝∠DFH，在△ACG和△DFH中，，∴△ACG≌△DFH，∴AG＝DH，在Rt△ABG和Rt△DEH中，，∴△ABG≌△DEH，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF．（當△ABC和△DEF是銳角三角形時，證明方法類似）．故答案為正確．【點睛】本題主要考查直角三角形全等的判定及三角形全等的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形全等的判定及三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·云南昭通·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，垂足為，，，射線，垂足為，動點從點出發(fā)，以的速度設(shè)射線運動，為射線上一動點，隨著點運動而運動，且始終滿足．設(shè)點的運動時間為，當______s時，與全等．【答案】6或10或16【分析】根據(jù)題意可分點P在點B的左側(cè)和右側(cè)進行分類求解即可．【詳解】解：設(shè)點P的運動時間為t秒，由題意得：，①當點P在點B的左側(cè)時，且滿足，∵，∴，∵，∴，即，解得：；②當點P在點B的右側(cè)時，且滿足，則，∴，即，解得：；③當點P在點B的右側(cè)時，且滿足，則，∴，即，解得：；綜上所述：當為6或10或16秒時，與全等．故答案為6或10或16．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點E為線段的中點．如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為______厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等．【答案】或【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到點Q的運動速度．【詳解】解：設(shè)點P運動的時間為t秒，則，，∵，∴①當，時，，此時，解得，∴，此時，點Q的運動速度為厘米/秒；②當，時，，此時，，解得，∴點Q的運動速度為厘米/秒；綜上所述，點Q的運動速度為3厘米/秒或厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等．故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等．二、解答題6．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）如圖1，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是上的點，且，請猜想圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（2）如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，在小徑上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達經(jīng)測量得到，米，米，試求兩涼亭之間的距離．【答案】（1），證明見解析；（2）米【分析】（1）延長到點G，使，連接，利用證明，推出，再證明，據(jù)此即可得到；（2）延長至H，使，連接，利用證明，推出，再證明，據(jù)此計算即可求解．【詳解】解：（1）猜想：，證明：如圖1，延長到點G，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）如圖2，延長至H，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵米，米，∴（米）．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學興趣小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一棵樹A；②沿河岸直走有一樹C，繼續(xù)前行到達D處；③從D處沿河岸垂直的方向行走，當?shù)竭_A樹正好被C樹遮擋住的E處時停止行走；④測得的長為6米．根據(jù)他們的做法，回答下列問題