專題2.1兩條直線的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題2.1兩條直線的位置關(guān)系重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角】1.對(duì)頂角①定義一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.②對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.2.鄰補(bǔ)角①定義有公共頂點(diǎn)和一條公共邊，另一邊互為反向延長線，并且互補(bǔ)的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角.②鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).【題型1對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角的性質(zhì)】【例1】（2021春?甘井子區(qū)期末）如圖，兩條直線a，b相交，若2∠3＝3∠1，則以下各角度數(shù)正確的是（）A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36°【變式11】（2021春?松江區(qū)期中）如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則∠AOE+∠DOB+∠COF等于（）A．150° B．180° C．210° D．120°【變式12】（2021春?雨花區(qū)校級(jí)期末）已知∠1與∠2是對(duì)頂角，∠1與∠3是鄰補(bǔ)角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【變式13】（2021春?萊陽市期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射線OE平分∠BOF，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．48°【知識(shí)點(diǎn)2垂線】①兩條直線相交所成的四個(gè)角內(nèi)有一個(gè)角是90°稱這兩條直線互相垂直.②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.③它們的交點(diǎn)叫做垂足.④垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短.【題型2垂線的唯一性及畫法】【例2】（2021春?圍場(chǎng)縣期末）P為直線l上的一點(diǎn)，Q為l外一點(diǎn)，下列說法不正確的是（）A．過P可畫直線垂直于l B．過Q可畫直線l的垂線 C．連接PQ使PQ⊥l D．過Q可畫直線與l垂直【變式21】（2021春?西城區(qū)校級(jí)期末）下列各圖中，過直線l外點(diǎn)P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是（）A． B． C． D．【變式22】（2021春?訥河市期末）在一張透明的紙上畫一條直線l，在l外任取一點(diǎn)Q，并折出過點(diǎn)Q且與l垂直的直線．這樣的直線能折出（）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【變式23】（2021春?沈陽月考）如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點(diǎn)共線），其理由是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過兩點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【題型3垂線段最短】【例3】（2021春?白堿灘區(qū)期末）直線l外有一點(diǎn)P，直線l上有三點(diǎn)A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么點(diǎn)P到直線l的距離（）A．不小于2cm B．大于2cm C．不大于2cm D．小于2cm【變式31】（2021春?濟(jì)陽區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【變式32】（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，那么體育陳老師測(cè)量小明同學(xué)的體育成績，應(yīng)該選取線段的長度，其依據(jù)是．【變式33】（2020秋?通州區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A在直線m上，點(diǎn)B在直線l上，點(diǎn)A到直線l的距離為a，點(diǎn)B到直線m的距離為b，線段AB的長度為c，通過測(cè)量等方法可以判斷在a，b，c三個(gè)數(shù)據(jù)中，最大的是c．【知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)到直線的距離】點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.【題型4點(diǎn)到直線的距離】【例4】（2021春?錦江區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠ACD＝90°，CE⊥AB，垂足為E，則下面的結(jié)論中，不正確的是（）A．點(diǎn)C到AB的垂線段是線段CD B．CD與AC互相垂直 C．AB與CE互相垂直 D．線段CD的長度是點(diǎn)D到AC的距離【變式41】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則下面的結(jié)論中，正確的有（）①BC與AC互相垂直；②AC與CD互相垂直；③點(diǎn)A到BC的垂線段是線段BC；④點(diǎn)C到AB的垂線段是線段CD；⑤線段BC是點(diǎn)B到AC的距離；⑥線段AC的長度是點(diǎn)A到BC的距離．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式42】（2020春?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC⊥BF，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段BF上，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．線段CD的長度是點(diǎn)C到直線AB的距離 B．線段CF的長度是點(diǎn)C到直線BF的距離 C．線段EF的長度是點(diǎn)E到直線AC的距離 D．線段BE的長度是點(diǎn)B到直線CD的距離【變式43】（2021春?潛山市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列結(jié)論正確的有．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③點(diǎn)A到直線BD的距離為線段AB的長度；④點(diǎn)B到直線AC的距離為125【知識(shí)點(diǎn)4余角和補(bǔ)角】（1）定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．【題型5余角與補(bǔ)角的定義】【例5】（2021春?金山區(qū)期末）如果一個(gè)角的補(bǔ)角的2倍減去這個(gè)角的余角恰好等于這個(gè)角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)．【變式51】（2021?尋烏縣模擬）已知∠A是銳角，∠A與∠B互補(bǔ)，∠A與∠C互余，則∠B﹣∠C的值等于（）A．45° B．60° C．90° D．180°【變式52】（2020秋?麥積區(qū)期末）一個(gè)角的補(bǔ)角加上10°后，等于這個(gè)角的余角的3倍，求這個(gè)角以及它的余角和補(bǔ)角的度數(shù)．【變式53】（2021秋?沂水縣期末）如圖，已知∠AOB＝130°，畫∠AOB的平分線OC，畫射線OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度數(shù)．【題型6相交線中的角度計(jì)算】【例6】（2021秋?雙陽區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足為點(diǎn)O．（1）寫出∠AOF的一個(gè)余角和一個(gè)補(bǔ)角．（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度數(shù)．（3）∠AOF與∠EOF相等嗎？說明理由．【變式61】（2020秋?和平區(qū)期末）平面內(nèi)兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如圖1：①若∠AOE＝20°，則∠DOF＝°；②請(qǐng)寫出∠DOF和∠AOE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，∠DOF與∠AOE的數(shù)量關(guān)系是．【變式62】（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知，O是直線AB上的一點(diǎn)，OC⊥OE．（1）如圖1，若∠COA＝34°，求∠BOE的度數(shù)．（2）如圖2，當(dāng)射線OC在直線AB下方時(shí)，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠BOE內(nèi)部作射線OM，使∠COM+1710∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠【變式