第1講有理數(shù)（講義）

第1講有理數(shù)有理數(shù)是初中數(shù)學六年級下學期第一章第一節(jié)的內(nèi)容．重點是有理數(shù)的相關概念辨析，利用對數(shù)軸的理解對有理數(shù)進行大小比較，絕對值的化簡等．難點是絕對值的化簡及運算．預習階段，我們會針對基礎知識部分進行著重講解，相關難點會在春季班課程中講解．模塊一：有理數(shù)的意義知識精講正數(shù)和負數(shù)在現(xiàn)實生活中，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量．有理數(shù)的概念整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．有理數(shù)的分類按意義分：；按符號分：．注意：（1）零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，零是正數(shù)和負數(shù)的分界；（2）零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負數(shù)；零和負數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)．例題解析如果把收入80元記作80元，那么下列各數(shù)分別表示什么意義？（1）10元；（2）3.5元；（3）元；（4）0元．【難度】★【答案】（1）收入10元；（2）收入3.5元；（3）支出100元；（4）沒有收入也沒有支出．【解析】解題關鍵是理解‘正’和‘負’的相對性，確定一對具有相反意義的量，常見的具有相反意義的量：收入與支出、上升與下降、前進與后退、向東與向西等．【總結】本題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義．下列說法錯誤的是（）A．收入200元和支出300元是相反意義的量B．向北走6千米和向南走6千米是相反意義的量C．節(jié)約20千克糧食和浪費20千克水是相反意義的量D．存款2000元和取款3160元是相反意義的量【難度】★【答案】C【解析】糧食和水是兩回事，故錯誤．【總結】本題考查了具有相反意義的量．下列說法中正確的是（）A．正有理數(shù)和負有理數(shù)組成了全體有理數(shù)B．在有理數(shù)中，零的意義僅表示沒有C．所有的小數(shù)都是有理數(shù)D．0既不是正數(shù)也不是負數(shù)【難度】★【答案】D【解析】有理數(shù)按正負可分為：正有理數(shù)、零、負有理數(shù)；有理數(shù)按意義可分為：整數(shù)和分數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．【總結】本題考查了有理數(shù)的分類及意義．把下列各數(shù)填入它所屬的圈內(nèi)：，69，，，，0，46%，0．76，，．【難度】★【答案】正數(shù)：、、、、、；負數(shù)：、、．【解析】根據(jù)有理數(shù)的分類填寫即可．【總結】本題考查了有理數(shù)的分類．下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是整數(shù)？哪些是非負數(shù)？哪些是有理數(shù)？ ，0.126，0，，，4.5，，101.0101，，20．【難度】★★【答案】正數(shù)：、、、、、、；整數(shù)：、0、、；非負數(shù)：、、、、、、、；有理數(shù)：、、、、、、、、．【解析】根據(jù)正數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)的意義分類填寫【總結】本題考查了有理數(shù)的意義和分類．回答問題：（1）有沒有最小的正數(shù)？有沒有最大的正數(shù)？有沒有最小的負數(shù)？有沒有最大的負數(shù)？有沒有最小的有理數(shù)？有沒有最大的有理數(shù)？（2）有沒有最小的非負數(shù)？有沒有最大的非負數(shù)？有沒有最小的非正數(shù)？有沒有最大的非正數(shù)？（3）有沒有這樣的有理數(shù)，它既是正數(shù)也是負數(shù)？有沒有這樣的有理數(shù)，它既不是正數(shù)，也不是負數(shù)？【難度】★★【答案】（1）沒有，沒有，沒有，沒有，沒有，沒有；（2）有，沒有，沒有，有；（3）沒有，有．【解析】正確的有理數(shù)分類．【總結】本題考查了有理數(shù)的分類及意義．改寫下列各句，使其不含負數(shù)：（1）海平面上升了米表示_____________________；（2）公交車向北行駛了千米表示______________________．【難度】★★【答案】（1）海平面下降了0.8米；（2）公交車向南行駛了5千米．【解析】上升對應的相反意義的量是下降；向北對應的相反意義的量是向南．【總結】本題考查了正負數(shù)的意義及具有相反意義的量．某市2016年元旦的最高氣溫為2，最低氣溫為，那么這天的最高氣溫比最低氣溫高______．【難度】★★【答案】．【解析】由題意最高氣溫減去最低氣溫，即可得到答案，．【總結】本題考查了有理數(shù)的意義及簡單運算．觀察下列數(shù)列，填上空缺的數(shù)．（1）1，，2，，3，______，______，______；（2）1，，3，，5，______，______，______．【難度】★★【答案】（1）3，4，4；（2）6，7，8．【解析】（1）從舉出的數(shù)可以看出，兩數(shù)之間互為相反數(shù)即可；（2）數(shù)字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶數(shù)前面是負號，奇數(shù)前面是正號．【總結】本題考查了按規(guī)律填數(shù)．在一次數(shù)學測驗中，小智所在班的平均分為87分，把高于平均分的高出部分記為正，（1）小智得了94分，應記作多少分？（2）小智的同學小方得分被記作分，他的實際成績是多少分？【難度】★★【答案】（1）分；（2）分．【解析】根據(jù)正負數(shù)在日常生活中常用來表示具有相反意義的量；（1）小智得了94分，應記作；（2）小方被記作分，他實際得分是．【總結】本題考查了根據(jù)正負數(shù)的意義解答簡單實際問題的能力．某中學對初一男生進行引體向上的測試，以能做7個為標準，超過的次數(shù)用正數(shù)表示，不足的用負數(shù)表示，其中8名男生的成績?nèi)缦卤恚?0310（1）這8名男生有幾人達標？（2）達標的百分比是多少？【難度】★★★【答案】（1）達標的成績?yōu)?、0、3、1、0，達標人數(shù)有5人；（2）達標率為．【解析】（1）根據(jù)非負數(shù)是達標人數(shù)即可；（2）達標人數(shù)除以總人數(shù)即可．【總結】本題考查了正數(shù)和負數(shù)及百分數(shù)的應用．若以45分鐘為1個單位，并記每天上午10時為0，10時以前記為負，10時以后記為正．例如9:15記為，10:45記為1等，依次類推，上午7:45應記為（） A． B． C． D．【難度】★★★【答案】【解析】時以前記為負，時以后記為正，且以分鐘為個單位時間單位；上午與時相隔分，即個單位；應記為．故選．【總結】本題考查了正負數(shù)的意義．模塊二：數(shù)軸知識精講數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示．在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零．零的相反數(shù)是零．例題解析指出下列數(shù)軸上的的點A、B、C、D分別表示什么數(shù)．【難度】★【答案】數(shù)軸上的各點分別表示．【解析】任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示．【總結】本題考查了數(shù)軸上的點表示數(shù)．用數(shù)軸上的點分別表示，5，，3.2以及它們的相反數(shù)，并用“<”把它們連接起來．【難度】★【答案】如圖所示，5，，3.2的相反數(shù)分別是4，，，，大小順序為：．【解析】見上圖．【總結】本題考查了數(shù)軸上的點表示數(shù)以及相反數(shù)的概念．下列各數(shù)中，哪些數(shù)是相等的？哪些數(shù)互為相反數(shù)？ 2.3，，，，4.5，5，，．【難度】★【答案】相等的有：與；互為相反數(shù)的有：與、與．【解析】相等的量及互為相反數(shù)的量定義．【總結】本題考查了有理數(shù)的互化及相反數(shù)的意義．已知a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：（1）在數(shù)軸上作出它們的相反數(shù)；（2）用“<”按從小到大的順序將這四個數(shù)連接起來．【難度】★★【答案】見解析．【解析】（1）只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)．（2），數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的總比左邊的大．【總結】本題考查了相反數(shù)的定義及有理數(shù)的大小比較．以下敘述中，正確的是（）A．正數(shù)和負數(shù)互為相反數(shù)B．表示相反意義的量的兩個數(shù)互為相反數(shù)C．任何有理數(shù)都有相反數(shù)D．任何有理數(shù)都有倒數(shù)【難度】★★【答案】C【解析】只有符號不同的兩個數(shù)，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)；0沒有倒數(shù)．【總結】本題考查了正負數(shù)的意義及應用．在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離為2個單位，則a=______．【難度】★★【答案】．【解析】到原點的距離為2個單位的點即．【總結】本題考查了數(shù)軸的應用．數(shù)軸上有A，B兩點，如果點A對應的數(shù)是，且A，B兩點的距離為3個單位，求點B對應的數(shù)．【難度】★★【答案】，．【解析】解：設點對應的數(shù)為，由題意得：，解得：或．【總結】本題考查了數(shù)軸的應用及意義．如圖，如果數(shù)a到原點的距離是數(shù)b到原點的距離的3倍，則數(shù)軸的原點可能是A，B，C，D四點中的哪些點？【難度】★★★【答案】點C或點D．【解析】由題意得：，根據(jù)圖形分以下兩種情況討論，=1\*GB3①當時，數(shù)軸的原點為點；=2\*GB3②當時，數(shù)軸的原點為點．【總結】本題考查了數(shù)軸的知識應用．模塊三：絕對值知識精講絕對值的概念一個數(shù)在數(shù)軸上所對應的點與原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值．一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．絕對值的數(shù)學表達用符號表示數(shù)a的絕對值．有理數(shù)的比較大小正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。}解析求1.3，，，0，的絕對值．【難度】★【答案】．【解析】一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．【總結】本題考查了絕對值的計算．下列結論中，正確的是（）A．一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)B．一個數(shù)的絕對值一定不是負數(shù)C．一個數(shù)的絕對值一定是正數(shù)D．一個數(shù)的絕對值的相反數(shù)一定是負數(shù)【難度】★【答案】B【解析】．【總結】本題考查了絕對值的意義．絕對值小于3的整數(shù)有______個，分別為____________________．【難度】★【答案】；．【解析】因為，且為整數(shù)；所以，故有個．【總結】本題考查了絕對值的意義．已知，那么x=______．【難度】★【答案】．【解析】因為，故．【總結】本題考查了絕對值的意義及計算．如圖，a、b為數(shù)軸上兩點表示的有理數(shù)，則在，，，中，負數(shù)有幾個？【難度】★★【答案】個．【解析】由題意得：；則；；；．故均為正數(shù)．【總結】本題考查了有理數(shù)絕對值意義及大小比較．判斷題：（1）；（）（2）；（）（3）（）；（）（4）若，則；（）（5）若，則；（）（6）若，則；（）（7）若，則；（）（8）若，則．（）【難度】★★【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）√．【解析】，由絕對值的性質和意義可得，舉反例即可．【總結】本題考查了絕對值的意義．設數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則化簡后的結果為多少？【難度】★★【答案】．【解析】先判斷絕對值里的正負，再由性質進行去絕對值運算；由數(shù)軸得：，故原式．【總結】本題考查了絕對值的性質．已知，求化簡后的結果．【難度】★★★【答案】．【解析】由，則，所以．【總結】本題考查了含絕對值符號的化簡．如果，，求的絕對值．【難度】★★★【答案】．【解析】解：由題意得：；分情況討論：如當時，原式，其絕對值為；同理即可得其它情況均為6．【總結】本題考查了絕對值的計算及應用．化簡：（1）； （2）； （3）．【難度】★★★【解析】（1）=1\*GB3①當時，；=2\*GB3②當時，．（2）=1\*GB3①當時，；=2\*GB3②當時，；=3\*GB3③當時，．（3）=1\*GB3①當時，原式；=2\*GB3②當時，原式；=3\*GB3③當時，原式．【總結】本題主要考查零點分段法的運用，解題時注意要分類討論，綜合性較強，老師可以選擇性講解．隨堂檢測把下列各數(shù)填入它所屬的圈內(nèi)： ，12，，，，，，，101，2．333．【難度】★【解析】【總結】本題考查了整數(shù)的分類．填空：（1）某水庫的水位上升3米，記作米，那么水位下降4米，記作______米；（2）如果規(guī)定向東走為正，那么走了千米的意義是__________________________；（3）如果表示增加20%，那么表示_________________；（4）時鐘的分針順時針方向旋轉了記作，那么逆時針方向旋轉記作______．【難度】★【答案】（1）；（2）向西走千米；（3）降低；（4）．【解析】解題關鍵是理解‘正’和‘負’的相對性，確定一對具有相反意義的量．【總結】本題考查了正負數(shù)的意義．判斷：（1）整數(shù)包括正整數(shù)和負整數(shù)；（）（2）比正有理數(shù)小的數(shù)是負有理數(shù)；（）（3）一定是負數(shù)；（）（4）一個數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是它本身．（）【難度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√．【解析】有理數(shù)按意義可分為整數(shù)和分數(shù)；按正負可分為正有理數(shù)，0，負有理數(shù)．【總結】本題考查了有理數(shù)的意義和分類．用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，并將它們從小到大排列起來．（1）3的相反數(shù)；（2）的相反數(shù)；（3）的相反數(shù)的倒數(shù)；（4）0；（5）的絕對值；（6）的絕對值的相反數(shù)．【難度】★★【答案】見解析．【解析】代表；代表；代表；代表；代表4；代表．．【總結】本題考查了絕對值的意義及大小比較．求下列各數(shù)的絕對值：（1）； （2）； （3）a（a<0）；（4）3b（b>0）； （5）（a<2）； （6）．【難度】★★【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）分類討論：當時，其絕對值為；當時，其絕對值為；