專題1.5解直角三角函數(shù)應(yīng)用-坡度坡角應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）

專題1.5解直角三角函數(shù)應(yīng)用坡度坡角應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2021秋?濟(jì)陽區(qū)期末）如圖，一山坡的坡度i＝1：，小明從A處爬到B處所走的直線距離AB＝100米，則他在垂直方向上升的高度CB為米．【解答】解：∵山坡的坡度i＝1：，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝×100＝50（米），故答案為：50．（2021秋?南召縣月考）如圖所示，某商場要在一樓和二樓之間搭建扶梯BC，已知一樓與二樓之間的地面高度差為3.5米，扶梯BC的坡度，則扶梯BC的長度為米．【解答】解：∵扶梯BC的坡度為：3，∴tanB＝，∴∠B＝30°，∴BC＝2×3.5＝7（米），故答案為：7．3．（2022?瑤海區(qū)三模）圖1、圖2分別是一滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，且G、E、D三點(diǎn)共線，若雪仗EM長為1m，EF＝0.4m，∠EMD＝30°，∠GFE＝62°，求此刻運(yùn)動(dòng)員頭部G到斜坡AB的高度h（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin62°≈0.88、cos62°≈0.47、tan62°≈1.88）【解答】解：如圖，連接GE，則GE⊥EF，GD＝GE+ED．在Rt△GEF中，∵∠GEF＝90°，∠GFE＝62°，EF＝0.4m，∴GE＝EF?tan62°≈0.4×1.88＝0.752（m），在Rt△EDM中，∵∠EDM＝90°，∠EMD＝30°，EM＝1m，∴ED＝EM＝0.5（m），∴GD＝GE+ED≈1.3m．故此刻運(yùn)動(dòng)員頭部G到斜坡AB的高度h約為1.3m．4．（2022?太平區(qū)一模）某商場從安全和便利的角度出發(fā)，提升顧客的購物體驗(yàn)，準(zhǔn)備將自動(dòng)扶梯由原來的階梯式改造成斜坡式．如圖，已知商場的層高AD為6m，坡角∠ABD為30°，改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的坡角∠ACB為16°，請你計(jì)算改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯AC相比改造前AB增加的長度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝6m，∴AB＝2AD＝12m，在Rt△ACD中，∠ACD＝16°，AD＝6m，∴AC＝≈≈21.42（m），則AC﹣AB＝21.42﹣12≈9.4（m），答：改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯AC相比改造前AB增加的長度約為9.4m．5．（2022春?北碚區(qū)校級月考）如圖，為了測量陶行知紀(jì)念館AB的高度，小李在點(diǎn)C處放置了高度為1.5米的測角儀CD，測得紀(jì)念館頂端A點(diǎn)的仰角∠ADE＝51°，然后他沿著坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到達(dá)點(diǎn)F，再沿水平方向走4米就到達(dá)了紀(jì)念館底端點(diǎn)B．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求點(diǎn)D到紀(jì)念館AB的水平距離；（2）求紀(jì)念館AB的高度約為多少米？【解答】解：（1）延長AB交水平線于點(diǎn)M，過F作FN⊥CM于N，延長DE交AM于H，則四邊形HMCD為矩形，∴HM＝CD＝1.5米，DH＝CM，∵斜坡CF的坡度i＝1：2.4，∴＝，∴CN＝2.4FN，∵CF＝6.5米，∴BM＝FN＝2.5（米），CN＝6（米），∵M(jìn)N＝BF＝4米，∴DH＝CM＝6+4＝10（米），答：點(diǎn)D到紀(jì)念館AB的水平距離為10米；（2）在Rt△ADH中，tan∠ADE＝則AH＝DH?tan∠ADE＝10×tan51°≈12.3（米），∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM﹣BM＝12.3+1.5﹣2.5≈11.3（米），答：紀(jì)念館AB的高度約為11.3米．6．（2022?黃巖區(qū)一模）如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°．已知原傳送帶AB長為4m．（1）求新傳送帶AC的長度；（2）如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出5m的通道，試判斷距離B點(diǎn)4m的貨物MNQP是否需要挪走，并說明理由．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝4（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（m），答：新傳送帶AC的長度為8m；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC?cos∠ACD＝4（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝4（m），∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），∵4＜5，∴貨物MNQP需要挪走．7．（2022?鐵嶺模擬）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動(dòng)，對地下車庫作了改進(jìn)．如圖，這小區(qū)原地下車庫的入口處有斜坡AC長為13米，它的坡度為i＝1：2.4，AB⊥BC，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為13°，即∠ADC＝13°（此時(shí)點(diǎn)B、C、D在同一直線上）．（1）求這個(gè)車庫的高度AB；（2）求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)D與原起點(diǎn)C的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）【解答】解：（1）由題意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，設(shè)AB＝5x，則BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：這個(gè)車庫的高度AB為5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC＝，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)D與原起點(diǎn)C的距離為9.7米．8.（2022?瑤海區(qū)二模）2021年底中國高鐵運(yùn)營里程數(shù)已達(dá)4萬公里，中國高鐵發(fā)展速度之快、質(zhì)量之高令全世界驚嘆，是當(dāng)之無愧的“國家名片”．如圖所示某條高鐵路基的橫斷面是四邊形ABCD，AD∥BC，路基頂BC寬10米，斜坡AB長為15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i＝1：2.5，求路基底AD的長．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【解答】解：過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，則四邊形BEFC為矩形，∴EF＝BC＝10，CF＝BE，在Rt△BAE中，sinα＝，cosα＝，則BE＝AB?sinα≈15×0.53≈8.0，AE＝AB?cosα≈15×0.85≈12.8，則CF＝BE＝8，∵斜坡CD的坡度i＝1：2.5，∴DF＝2.5×8＝20，∴AD＝12.8+10+20≈43（米），答：路基底AD的長約為43米．9.（2022春?渝中區(qū)校級月考）圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角∠EAD為22°，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為37°，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）【解答】解：（1）過B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，則BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距離約為1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，則AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四邊形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，則AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為0.9米．10．（2022?營口）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測量一幢大樓MN的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是58°，沿著山坡向上走75米到達(dá)B處，在B處測得大樓頂部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求大樓MN的高度．（圖中的點(diǎn)A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）【解答】解：過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，過點(diǎn)B作BD⊥MN，垂足為D，則BE＝DN，DB＝NE，∵斜坡AB的坡度i＝3：4，∴＝，∴設(shè)BE＝3a米，則AE＝4a米，在Rt△ABE中，AB＝＝＝5a（米），∵AB＝75米，∴5a＝75，∴a＝15，∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，設(shè)NA＝x米，∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，∴MN＝AN?tan58°≈1.6x（米），∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，∴tan22°＝＝≈0.4，解得：x＝57.5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝57.5是原方程的根，∴MN＝1.6x＝92（米），∴大樓MN的高度約為92米．11．（2022?鄂州）亞洲第一、中國唯一的航空貨運(yùn)樞紐——鄂州花湖機(jī)場，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機(jī)A的仰角為30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，鉛垂高度DG＝30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求：（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；（2）此時(shí)飛機(jī)的高度AB．（結(jié)果保留根號）【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，∴＝，∴GC＝3DG＝90（米），在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），∴兩位市民甲、乙之間的距離CD為30米；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，則DG＝BH＝30米，DH＝BG，設(shè)BC＝x米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC?tan45°＝x（米），∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝60+90，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝60+90是原方程的根，∴AB＝（60+90）米，∴此時(shí)飛機(jī)的高度AB為（60+90）米．12．（2021?內(nèi)江）在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度．如圖所示，測得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部D的仰角為30°，在E處測得樹CD頂部D的仰角為60°，求樹高CD．（結(jié)果保留根號）【解答】解：作BF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得ABFC是矩形，∴CF＝AB，∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，∴AB＝2，∴CF＝2，設(shè)DF＝x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，則BF＝＝x（米），在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC＝，∴EC＝（x+2）米．∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．解得：x＝4+1，則CD＝4+1+2＝（4+3）米．答：CD的高度是（4+3）米．13．（2021?郴州）如圖，莽山五指峰景區(qū)新建了一座垂直觀光電梯．某測繪興趣小組為測算電梯AC的高度，測得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B處測得電梯頂端C的仰角α＝45°，求觀光電梯AC的高度．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.