第12講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系-2023年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（北師大版）

第12講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問(wèn)題中的運(yùn)用.一.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.二.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對(duì)稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).設(shè)一元二次方程的兩根為、，則①當(dāng)△≥0且時(shí)，兩根同號(hào)．當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為正數(shù)；當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)．②當(dāng)△＞0且時(shí)，兩根異號(hào)．當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大；當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大．要點(diǎn)：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．考點(diǎn)1：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例1．若、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算求值即可．【解析】解：∵、是一元二次方程的兩根，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若、是一元二次方程的兩根，則，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．例2．設(shè)方程的兩個(gè)根為，，則的值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【解析】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記，．考點(diǎn)2：通過(guò)化簡(jiǎn)、變形利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例3．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，若，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系代入求解即可得到答案．【解析】解：由題意可得，，，∵，∴，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：，．例4．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，代入代數(shù)式即可求解．【解析】解：∵、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，即，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例5．若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，則的值為（

）A．7 B．3 C．－5 D．9【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．【解析】解：∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知：若是一元二次方程的兩個(gè)根，則，；是解本題的關(guān)鍵．例6．已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則=（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，對(duì)分式進(jìn)行運(yùn)算，代入求解即可．【解析】解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根則，，，故選B【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，．例7．設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，，進(jìn)而推出，再推出，代入即可得到答案．【解析】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，?！啵?，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，正確推出是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例8．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則m的值為（

）A．3或 B． C．3 D．2或【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，則這兩個(gè)根的和為零，從而得，解方程即可．【解析】設(shè)一元二次方程的兩個(gè)根分別為、，由題意得：，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，解方程得：，，此時(shí)，判別式的值，符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，關(guān)鍵是由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的一元二次方程．例9．若關(guān)于的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】B【分析】設(shè)、是的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出，再根據(jù)倒數(shù)的定義，得出，再利用等量代換，得出，求出的值，再根據(jù)原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即可求出符合題意的的值．【解析】解：設(shè)、是的兩根，∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得：，∵方程的兩根互為倒數(shù)，∴可得，∴，解得：，∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，當(dāng)時(shí)，，∴符合題意，當(dāng)時(shí)，，∴不符合題意．∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．例10．是方程的兩個(gè)實(shí)根，若恰成立，則的值為（

）A． B．或 C． D．或1【答案】A【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合判別式的取值范圍，進(jìn)行求解即可．【解析】解：是方程的兩個(gè)實(shí)根，則：，解得：，，∴整理得：，解得：或，∵，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)要注意判別式的符號(hào)．考點(diǎn)4：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分析、判斷命題真假例11．關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個(gè)正根B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值大C．兩個(gè)負(fù)根D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值小【答案】D【分析】方程整理為一般形式，設(shè)兩根分別為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a+b與ab，判斷即可．【解析】解：設(shè)方程兩根設(shè)為a，b，方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，則一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對(duì)值比負(fù)根的絕對(duì)值小．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，絕對(duì)值，以及根的判別式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例12．有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個(gè)結(jié)論中，①如果，那么方程M和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號(hào)異號(hào)，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個(gè)根，那么一定是方程N(yùn)的一個(gè)根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必定是．其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，得出，得出即可判斷①；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由即可判斷②；將代入方程中可得出，方程兩邊同時(shí)除以4可得出，由此可得出是方程的一個(gè)根，即可判斷③；設(shè)相同的根為，將其代入兩方程中作差后可得出，解之可得出，進(jìn)而可得出兩方程有相同的根，即可判斷④．【解析】解：，方程的一個(gè)根為1，方程有一個(gè)根為1，如果，那么方程和方程有一個(gè)公共根為1，結(jié)論①正確；，，，，方程和方程的兩根之積必相等，結(jié)論②正確；是方程的一個(gè)根，，即，是方程的一個(gè)根，結(jié)論③正確；設(shè)相同的根為，則，①②得：，．，，，，，．即有相同的根，結(jié)論④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，逐一分析四條選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系比較根的大小例13．設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將一元二次方程化成一般式，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出x1+x2=(1m)=m1，x1x2=n，，然后根據(jù)，得出m1<0，n>0，即可求解．【解析】解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1m）x+n=0，∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．∴x1+x2=(1m)=m1，x1x2=n，∵，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m1<0，n>0，∴m<1，n>0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系“，是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），則x1+x2=，x1x2=”是解題的關(guān)鍵．例14．關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】將原式整理為一元二次方程的一般式，根據(jù)關(guān)于x的方程(x?2)(x?3)=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別式可判斷A選項(xiàng)；運(yùn)用根于系數(shù)的關(guān)系可判斷選項(xiàng)B；運(yùn)用求根公式可判斷選項(xiàng)C、D．【解析】解：(x?2)(x?3)=m整理為x2?5x+6?m=0，A、∵關(guān)于x的方程(x?2)(x?3)=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2?4ac＞0，即(?5)2?4×1×(6?m)＞0，解得：m＞，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、根據(jù)根于系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=，∴，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、當(dāng)m>0時(shí)，，，∴當(dāng)m>0時(shí)，x1<2<3<x2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、由C可知此選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．考點(diǎn)6：解答證明題例15．已知關(guān)于x的方程：．(1)求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，滿足，求a的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或3【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，從而得到，再由，可得到關(guān)于a的方程，即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意得：，∴不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意得：，∴，即，∵，∴，解得：或3，即a的值為或3．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根；熟練掌握判別式確定根的存在情況，靈活應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例16．關(guān)于的一元二次方程：(1)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(2)若、是方程的兩根，且．求的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由根的判別式可得答案；（2）將，代入，計(jì)算可得答案．【解析】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，；（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，得出關(guān)于的一元二次方程．例17．已知關(guān)于的方程(1)求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值及相應(yīng)的．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)，，；，，【分析】（1）證明方程有兩個(gè)相異的根，即求根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解；（2）根據(jù)韋達(dá)定理，兩根之和，兩根之積的關(guān)系即可求解．【解析】（1）證明：由題意得，在一元二次方程中，，，，∴∴，∵，即，∴無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．故證明過(guò)程如上述所示．（2）解：據(jù)題意得，，，，，，∵方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴異號(hào)或有一個(gè)為，由，當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)，方程為，解得，；當(dāng)，時(shí)，，解得，此時(shí)，方程為，解得，，故答案是：，，；，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解和掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．例18．閱讀下列材料并完成練習(xí)題：已知一元一次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和∵∴對(duì)比系數(shù)可得：，類比上面的證明方法：(1)如果一元三次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，，______，______，______．(2)已知方程，求值：______．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）將一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解為，再將其按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方式展開(kāi)，最后得到，，，由此即可求解；（2）由（1）的結(jié)論代入即可求得，，，再將變形為，由此即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)材料提示得，，∴，，，∴，，，故答案為：，，．（2）解：根據(jù)（1）的結(jié)論得，一元三次方程中，，，，，∴，，，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)一元二次方程的韋達(dá)定理推理一元三次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．例19．閱讀下列材料：韋達(dá)定理：若一元二次方程的兩根分別為．則，．閱讀下面應(yīng)用韋達(dá)定理的過(guò)程：若一元二次方程的兩根分別為．求的值．解：該一元二次方程的判別式，由韋達(dá)定理可得：，，解答下列問(wèn)題：(1)設(shè)方程的兩根分別為，不解方程，利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值；(2)若關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且，利用韋達(dá)定理求k的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，再代入，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，可得，，從而得到，再由可得到關(guān)于k的方程，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴設(shè)方程的兩根分別為，由韋達(dá)定理得：，∴；（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，∴，∴，由韋達(dá)定理得：，∵，∴，即，∴，解得：（舍去）或1，所以k的值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或6【答案】A【分析】結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及解出方程進(jìn)行分類討論即可得出答案．【解析】解：∵，∴，,則兩根為：3或1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及解二元一次方程，正確解出方程進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）已知m、n是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．0 B．－10 C．3 D．10【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【解析】解：∵m、n是一元二次方程的兩個(gè)根，∴mn=－5，m2+2m5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=0，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方程解的意義，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和方程解的意義得出mn=5，m2+2m=5是解題的關(guān)鍵．3．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出=3，a=3，再求代數(shù)式的值即．【解析】解：∵一元二次方程的兩根分別記為，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=a=3，∴a=3，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值，掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵．4．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根先確定m的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，把變形為，再代入得方程，求出m的值即可．【解析】解:∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴,∴∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∵，又∴把代入整理得,解得,故選A【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于m的一元二次方程．5．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【解析】解：解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為_(kāi)__________．【答案】2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解析】解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為a，b，由題意得：，，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，檢驗(yàn)：，∴符合題意，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】，然后根據(jù)方程的解的定義以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到關(guān)于k的一元一次方程，即可解得答案．【解析】解：∵是方程的根∴，∴∴k=4故答案是4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握相關(guān)知識(shí)并熟練使用，同時(shí)注意解題中需注意的問(wèn)題是本題的解題關(guān)鍵．8．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_(kāi)____．【答案】【分析】先根據(jù)題意可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=4，ab=3，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．【答案】/0.125【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2m，x1x2=，再由x12+x22=變形得到（x1+x2）22x1x2=，即可得到4m2m=，然后解此方程即可．【解析】解：根據(jù)題意得x1+x2=2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）22x1x2=，∴4m2m=，∴m1=，m2=，∵Δ=16m28m＞0，∴m＞或m＜0時(shí)，∴m=不合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，，．10．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_(kāi)____．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解的定義得到x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根據(jù)＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，據(jù)此求解即可．【解析】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當(dāng)k＝2時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當(dāng)k＝5時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，不符合題意；∴k＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，只要判定即可得到答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，整體代入得到求解即可得到答案．【解析】（1）證明：關(guān)于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯(lián)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．（2020·湖北·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據(jù)建立不等式即可求解；(2)先提取公因式對(duì)等式變形為，再結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．【解析】解：(1)由題意可知，，整理得：，解得：，∴的取值范圍是：．故答案為：．(2)由題意得：，由韋達(dá)定理可知：，，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．13．（2019·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.（1）求的取值范圍.（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，且，求的值.【答案】（1）.（2）.【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，結(jié)合|x1x2|=4可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x26x+（4m+1）=0有實(shí)數(shù)根，∴△=（6）24×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x26x+（4m+1）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=42，即3216m=16，解得：m=1．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合|x1x2|=4，找出關(guān)于m的一元一次方程．一、單選題1．方程的兩根為，，下列各式正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可．【解析】根據(jù)題意有：，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為，，則，．2．已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個(gè)根為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2代入計(jì)算即可．【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩個(gè)根，∴x1+x22，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)x1，x2為方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則有x1+x2，x1?x2=．3．若是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（）A．4 B．3 C． D．【答案】B【分析】直接利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得．【解析】解：是一元二次方程的兩個(gè)根，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．已知，是一元二次方程的兩根，則的值為（

）A．0 B．2 C．1 D．－1【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2=2，x12?2x1?1=0，兩式相加，即可求解．【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=1，x12?x1?1=0，兩式相加得：x12?x1?1+x1+x2=1移項(xiàng)得：x12+x2=2故選B【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程解的定義、根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】通分：，根據(jù)韋達(dá)定理：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，可得出答案．【解析】解：由韋達(dá)定理：，可得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)的掌握情況．6．已知方程的兩根分別為、，則的值為（

）A．1 B． C．2023 D．【答案】B【分析】由題意得，，將代數(shù)式變形后再代入求解即可．【解析】解：∵方程的兩根分別為、，∴，，，∴∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．熟練掌握代數(shù)式的求值技巧是解題的關(guān)鍵．7．若關(guān)于的一元二次方程（且）與關(guān)于的一元一次方程有一個(gè)公共解，且方程只有一個(gè)解，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是方程和的一個(gè)公共解，可得出是方程的一個(gè)解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出，整理后即可得出結(jié)論．【解析】解：∵關(guān)于的一元二次方程與關(guān)于的一元一次方程有一個(gè)公共解，∴是方程的一個(gè)解，∵方程只有一個(gè)解，∴，整理得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出是解題的關(guān)鍵．8．若方程有兩個(gè)同號(hào)不等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)同號(hào)不等的實(shí)數(shù)根，得到，以及兩根之積大于0，列出不等式組進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵方程有兩個(gè)同號(hào)不等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查根與判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，以及兩根之積為是解題的關(guān)鍵．9．已知，，若，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先推出，，進(jìn)而得到a、b相當(dāng)于是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得到．【解析】解：∵，，∴，，∴a、b相當(dāng)于是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．10．若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據(jù)判別式求出符號(hào)題意的值即可得到答案．【解析】解：∵是方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．設(shè)分別是一元二次方程的根，填空：（1）．___________，___________．（2）．___________，___________．（3）．___________，___________．【答案】1/1.5/【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【解析】（1）．，．（2）．，．（3）．，．故答案為：，1；，；，．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，．12．已知是一元二次方程的兩根，則________．【答案】8【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【解析】解：利用根與系數(shù)的關(guān)系可知：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系：，關(guān)鍵是要記住公式．13．若α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則_____．【答案】4【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則，進(jìn)而得出，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，再利用整體代入的方法計(jì)算即可．【解析】解：∵α方程的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∵α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根的定義，得出是解題的關(guān)鍵．14．若實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】先根據(jù)題意可以把、看作是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，再代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵、分別滿足，∴可以、看作是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．若、為的兩根，則的值為_(kāi)_____．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【解析】解：α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時(shí)，，．16．若，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是___________．【答案】7【分析】根據(jù)題意得到，，再將所求式子變形為，代入計(jì)算即可．【解析】解：∵，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的概念，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．17．關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根、且，則m的取值范圍是________；【答案】【分析】根據(jù)根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于的不等式組，通過(guò)解該不等式組，求得的取值范圍．【解析】解：∵的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式組，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．若關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程的兩根分別記為則的值為_(kāi)________．【答案】【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，；，；…，；把原式變形，再代入，即可求出答案．【解析】解：∵，，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：，；，；…，；∴原式故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．三、解答題19．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m滿足2x1+x2＝m+1，求m的值．【答案】（1）m≤；（2）．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需用求出m即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，先得到，又，計(jì)算可得兩根，再由兩根的積建立等式求解即可.【解析】（1）由題意得：解得：故m的取值范圍為；（2）由題意得：聯(lián)立①得：將的值代入②得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，均在取值范圍內(nèi)，符合要求故m的值為.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則有，這是?？键c(diǎn)，需重點(diǎn)掌握.20．關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)根x1，x2滿足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．【答案】（1）k＜；（2）k＝0【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=（2k1）=12k，x1?x2=k2，代入x1+x2+x1x21=0，即可求出k值．【解析】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0∴k＜；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k1?x2＝k2∵x1+x2+x1x2﹣1＝0∴1﹣2k+k2﹣1＝0∴k＝0或2∵由（1）得，k＜∴k＝2舍去∴k＝0．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟記根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．21．已知關(guān)于的一元二次方程.（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)的值是1.【分析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根的條件，即Δ≥0求解即可；（2）由韋達(dá)定理把x1+x2和x1x2分別用含m的式子表達(dá)出來(lái)，然后根據(jù)x12+x22=16+x1x2求解即可.【解析】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根，，;（2）由韋達(dá)定理得，

，解得

（舍去）實(shí)數(shù)的值是1.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記（1）“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.22．已知，是方程的兩根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題意可得：，，然后將原式化為，再整體代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)，整體代入計(jì)算后開(kāi)平方根求得的值，將原式化為，再整體代入計(jì)算即可；（3）將原式化為，再整體代入計(jì)算即可；（4）由（2）知的值，再開(kāi)算術(shù)平方根即可．【解析】（1）解：∵，是方程的兩根，∴，，∴，∴的值為；（2）∵∴，∴，∴，∴的值為；（3）∵，∴的值為；（4）由（2）知：，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．已知關(guān)于的方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）求出判別式的符號(hào)，進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：∵，∴；∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根為，則：，∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，∴是整數(shù)，∵為正整數(shù)，∴．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判別式小于0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，以及根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．24．關(guān)于x的一元二次方程：有實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若，是方程的兩根，且，求m的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)有實(shí)數(shù)根，可得，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到求出，，代入已知等式中，求出m值即可．【解析】（1）解：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴；（2）解：∵，是方程的兩個(gè)根，∴，，∵，∴，解得：，即m的值是2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．25．已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，只要判定即可得到答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，整體代入得到求解即可得到答案．【解析】（1）證明：關(guān)于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次