25.4解直角三角形的應(yīng)用方向角（第2課時(shí)）（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)能力提升）

25.4解直角三角形的應(yīng)用—方向角（第2課時(shí)）（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上?！ど贤飧街芯拍昙?jí)階段練習(xí)）如圖，客輪在海上由B向C航行，在B處測(cè)得燈塔A的方位角為北偏東，測(cè)得C處的方位角為南偏東，航行后到達(dá)C處，在C處測(cè)得A的方位角為北偏東，則C到A的距離是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：∠C=25°+20°=45°，，，再利用銳角三角函數(shù)分別求出CD、AD的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：∠C=25°+20°=45°，，，∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴∠CBD=45°，∴∠C=∠CBD，∠ABD=30°，∴CD=BD，在中，，∴，在中，∠ABD=30°，，∴，∴，即C到A的距離是．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，明確題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)單元測(cè)試）已知海面上一艘貨輪在燈塔的北偏東方向，海監(jiān)船在燈塔的正東方向海里處，此時(shí)海監(jiān)船發(fā)現(xiàn)貨輪在它的正北方向，那么海監(jiān)船與貨輪的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】根據(jù)題意先建立直角三角形，然后結(jié)合三角函數(shù)中正切的定義求解即可．【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形并靈活運(yùn)用三角函數(shù)求解是解題關(guān)鍵．3．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，一艘船從A處向北偏東30°的方向行駛10千米到B處，再?gòu)腂處向正西方向行駛20千米到C處，這時(shí)這艘船與A的距離（

）A．15千米 B．10千米 C．千米 D．千米【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AD和BD的長(zhǎng)，從而得到CD的長(zhǎng)，再用勾股定理求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，，，∴，，∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法．二、解答題4．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，小島在港口的南偏西方向，距離港口81海里處，甲船從出發(fā)，沿方向以9海里/時(shí)的速度駛向港口，乙船從港口出發(fā)，沿南偏東方向，以18海里/時(shí)的速度駛離港口，現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，（，，）（1）出發(fā)后幾小時(shí)兩船與港口的距離相等？（2）出發(fā)后幾小時(shí)乙船在甲船的正東方向？【答案】（1）3小時(shí)；（2）4小時(shí)【分析】（1）求幾小時(shí)后兩船與港口的距離相等，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題解決．（2）過點(diǎn)P作PE⊥CD，垂足為E．則點(diǎn)E在點(diǎn)P的正南方向，則得到相等關(guān)系，C、D兩點(diǎn)到在南北方向上經(jīng)過的距離相等，因而根據(jù)方程就可以解決．【詳解】解：（1）設(shè)出發(fā)后x小時(shí)兩船與港口P的距離相等．根據(jù)題意得819x=18x．解得x=3．故出發(fā)后3小時(shí)兩船與港口P的距離相等．（2）設(shè)出發(fā)后y小時(shí)乙船在甲船的正東方向，此時(shí)甲、乙兩船的位置分別在點(diǎn)C，D處．連接CD，過點(diǎn)P作PE⊥CD，垂足為E．則點(diǎn)E在點(diǎn)P的正南方向．在Rt△CEP中，∠CPE=37°，則PE=PC?cos37°．在Rt△PED中，∠EPD=60°，則PE=PD?cos60°．則PC?cos37°=PD?cos60°．則（819y）cos37°=18y?cos60°．即（819y）=18y解得y=4答：出發(fā)后4小時(shí)乙船在甲船的正東方向．【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，在船舶運(yùn)動(dòng)過程中，構(gòu)建解直角三角形的問題，考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的變式認(rèn)識(shí)能力．5．（2022·上海嘉定·九年級(jí)期末）如圖，在航線的兩側(cè)分別有兩個(gè)燈塔和，燈塔到航線的距離為千米，燈塔到航線的距離為千米，燈塔位于燈塔南偏東方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔北偏西方向的（在航線上）處，正沿該航線自東向西航行，分鐘后該輪船行至燈塔正南方向的點(diǎn)（在航線上）處．(1)求兩個(gè)燈塔和之間的距離；(2)求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時(shí)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)兩個(gè)燈塔和之間的距離為千米(2)該輪船航行的速度是千米/小時(shí)【分析】（1）由題意，得，，，，然后解直角三角形分別求出，即可得到答案；（2）解直角三角形求出，，則，然后求出，設(shè)該輪船航行的速度是千米/小時(shí)則，由此求解即可．（1）解：由題意，得，，，，在Rt△中，，∴，∴，在Rt△中，，∴，∴，∴答：兩個(gè)燈塔和之間的距離為千米；（2）解：在Rt△中，，∴，∴，在Rt△中，，∴，∴，∴，在Rt△中，,由題意，得，∴，∴，∴，設(shè)該輪船航行的速度是千米/小時(shí)由題意，得∴（千米/小時(shí)）答：該輪船航行的速度是千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理與航海問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)．6．（2022·上海黃浦·九年級(jí)期末）如圖，在東西方向的海岸線1上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN，在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一觀測(cè)站O，現(xiàn)測(cè)得位于觀測(cè)站O的北偏西37°方向，且與觀測(cè)站O相距60千米的小島A處有艘輪船開始航行駛向港口MN．經(jīng)過一段時(shí)間后又測(cè)得該輪船位于觀測(cè)站O的正北方向，且與觀測(cè)站O相距30千米的B處．(1)求AB兩地的距離：（結(jié)果保留根號(hào)）(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）【答案】(1)(2)不能，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．（2）延長(zhǎng)AB交l于D，比較OD與OM、ON的大小即可得出結(jié)論．（1）過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．由題意，得MN=1,OM=58,，OA=60,OB=30∴AC=，∴∴（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸延長(zhǎng)AB交l于D，∵AC∥OD∴∴∴，解得∵M(jìn)N=1,OM=58∴ON=59∴∴如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計(jì)算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）一艘輪船自西向東航行，在處測(cè)得東偏北21.3°方向有一座小島，繼續(xù)向東航行80海里到達(dá)處，測(cè)得小島此時(shí)在輪船的東偏北63.5°方向上．之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島最近？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】輪船繼續(xù)向東航行20海里，距離小島C最近．【分析】過C作AB的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，分別在Rt△ACD與Rt△BCD中用式子表示CD，從而求得BD的值，即離小島C最近的距離．【詳解】解：過點(diǎn)作⊥直線，垂足為點(diǎn)．此時(shí)輪船離小島最近，即為所求．由題意可知∶，海里，，設(shè)海里．在△中，，，海里，∴海里．在△中，，，海里，∴，即．解得∶，即海里．答∶輪船繼續(xù)向東航行20海里，距離小島最近．【點(diǎn)睛】解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．8．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）據(jù)新華社12月13日電，參加湄公河聯(lián)合巡邏執(zhí)法的中國(guó)巡邏船順利返航.已知在巡邏過程中，某一天上午，我巡邏船正在由西向東勻速行駛，10:00巡邏船在處發(fā)現(xiàn)北偏東53.1°方向，相距10海里的處有一個(gè)不明物體正在向正東方向移動(dòng)，10:15巡邏船在處又測(cè)得該物體位于北偏東18.4°方向的處，若巡邏船的速度是每小時(shí)36海里．（1）試在圖中畫出點(diǎn)的大概位置，并求不明物體移動(dòng)的速度；（2）假設(shè)該不明物體移動(dòng)的方向和速度保持不變，巡邏船航行的方向的速度也不變，試問什么時(shí)候該物體與我巡邏船之間的距離最近？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】（1）不明物體移動(dòng)的速度為12海里/小時(shí)；（2）到10:20時(shí)，兩者之間距離最近．【分析】（1）設(shè)10：15時(shí)，巡邏船在B處，作北偏東18.4°方向，交過點(diǎn)C的水平線于點(diǎn)D即可；利用53.1°的三角函數(shù)值求得AF，CF長(zhǎng)，進(jìn)而求得FB即CG的長(zhǎng)，進(jìn)而利用18.4°的正切值可得GD長(zhǎng)，也就求得了CD長(zhǎng)，除以時(shí)間即為移動(dòng)的速度；（2）兩者之間的最近距離為直線CD與AB的距離，根據(jù)GD和BQ相等可得相應(yīng)的關(guān)系式．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)D即可為所求作；作于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由題意，，，海里，在△中，，，海里，∴海里，海里．∴海里．又海里，∴海里，從而海里，在△中，，，∴海里，∴海里，海里/小時(shí)，∴不明物體移動(dòng)的速度為12海里/小時(shí)；（2）由題意，不明物體沿移動(dòng)，我巡邏船沿運(yùn)動(dòng)，且∥，∴兩者之間的最近距離為直線與的距離．設(shè)又過了分鐘，不明物體移動(dòng)到點(diǎn)，我巡邏船到達(dá)點(diǎn)，這時(shí)，則海里，海里．∴，解得．∴到10∶20時(shí)，兩者之間距離最近．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；利用所給角的度數(shù)作出相應(yīng)輔助線，得到直角三角形是解決本題的突破點(diǎn)；利用相應(yīng)的銳角三角函數(shù)求得相關(guān)線段長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)益，海監(jiān)部門對(duì)我領(lǐng)海實(shí)施常態(tài)化巡航管理．如圖，一艘正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船接到固定監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的值守人員報(bào)告：在處南偏東方向上，距離處14海里的處有一可疑船只滯留，海監(jiān)船以每小時(shí)28海里的速度向正東方向航行，在處測(cè)得監(jiān)測(cè)點(diǎn)在其北偏東方向上，繼續(xù)航行半小時(shí)到達(dá)了處，此時(shí)測(cè)得監(jiān)測(cè)點(diǎn)在其北偏東方向上．（1）、兩處間的距離為_________海里；如果聯(lián)結(jié)圖中的、兩點(diǎn)，那么是________三角形；如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它__________【填“能”或“不能”】到達(dá)處；（2）如果監(jiān)測(cè)點(diǎn)處周圍12海里內(nèi)有暗礁，那么海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【答案】（1）14；等邊；能；（2）安全【分析】（1）根據(jù)題意可得△PAB是等腰三角形，故可得PB=AB=14海里，再求得∠BPQ=60°即可得△PBQ是等邊三角形，最后證明A、B、Q三點(diǎn)共線即可；（2）過點(diǎn)作，求出PC=7，判斷>12，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，根據(jù)題意知，∠PAB=90°60°=30°，∠PBA=30°+90°=120°∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°∴∠APB=180°30°120°=30°∴∠PAB=∠APB∴PB=AB=(海里)∵PQ=14(海里)∴PQ=PB∵PF//BE∴∠BPF=∠PBE=30°∵∠QPF=30°∴∠BPQ=60°∴△PBQ是等邊三角形，∴∠PBQ=60°∵∠PBA=120°∴∠PBA+∠PBQ=120°+60°=180°∴點(diǎn)A、B、Q在同一直線上所以，如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它能到達(dá)Q處；故答案為：14，等邊，能；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵是等邊三角形，∴，∵，∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用方向角問題以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．【能力提升】1．如圖，MN是一條東西方向的海岸線，在海岸線上的A處測(cè)得一海島在南偏西32°的方向上，向東走過780米后到達(dá)B處，測(cè)得海島在南偏西37°的方向，求小島到海岸線的距離．（參考數(shù)據(jù)：tan37°＝cot53°≈0.755，cot37°＝tan53°≈1.327，tan32°＝cot58°≈0.625，cot32°＝tan58°≈1.600．）【分析】先過點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，設(shè)CD＝x米，根據(jù)AB＝BD﹣AD，然后代值計(jì)算即可求出小島到海岸線的距離．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，設(shè)CD＝x米，∵AB＝BD﹣AD，∴xtan37°﹣xtan32°＝780，解得：x＝6000，答：小島到海岸線的距離6000米．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．2．某市開展一項(xiàng)自行車旅游活動(dòng)，線路需經(jīng)A、B、C、D四地，如圖，其中A、B、C三地在同一直線上，D地在A地北偏東30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏東75°方向．且BC＝CD＝20km，問沿上述線路從A地到D地的路程大約是多少？（最后結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）【分析】求出∠DCA的度數(shù)，再判斷出BC＝CD，據(jù)此即可判斷出△BCD是等邊三角形．過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，求出∠DAC的度數(shù)，利用三角函數(shù)求出AB的長(zhǎng)，從而得到AB+BC+CD的長(zhǎng)．【解答】解：由題意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等邊三角形．過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，如圖所示：由題意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∵△BCD是等邊三角形，∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，∴AB＝＝≈7km，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．答：從A地跑到D地的路程約為47km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣方向角問題；通過解直角三角形求出AB是解決問題的關(guān)鍵．3．釣魚島是我國(guó)的神圣領(lǐng)土，中國(guó)人民維護(hù)國(guó)家領(lǐng)土完整的決心是堅(jiān)定的，多年來，我國(guó)的海監(jiān)、漁政等執(zhí)法船定期開赴釣魚島巡視．某日，我海監(jiān)船（A處）測(cè)得釣魚島（B處）距離為20海里，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行，在C處測(cè)得釣魚島在北偏東45°的方向上，距離為10海里，求AC的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】作BD⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于D，根據(jù)正弦的定義求出BD、CD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，計(jì)算即可．【解答】解：作BD⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于D，由題意得，∠BCD＝45°，BC＝10海里，∴CD＝BD＝10海里，∵AB＝20海里，BD＝10海里，∴AD＝＝10，∴AC＝AD﹣CD＝10﹣10海里．答：AC的距離為（10﹣10）海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，某湖心島上有一亭子A，在亭子A的正東方向上的湖邊有一棵樹B，在這個(gè)湖心島的湖邊C處測(cè)得亭子A在北偏西45°方向上，測(cè)得樹B在北偏東36°方向上，又測(cè)得B、C之間的距離等于200米，求A、B之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）【分析】本題可通過構(gòu)建直角三角形來解答，過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于H，要先求出CH的值然后再求AH，BH的值，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)．【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，由題意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，∴HC≈161.8，在Rt△AHC中，，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∴AH≈161.8，又AB＝AH+BH，∴AB≈279.4，∴AB≈279（米），答：A、B之間的距離為279米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)方向角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形．如果兩個(gè)直角三角形有公共的直角邊，先求出公共邊一般是解題的常用方法．5．已知在港口A的南偏東75°方向有一礁石B，輪船從港口出發(fā)，沿正東北方向（北偏東45°方向）前行10里到達(dá)C后測(cè)得礁石B在其南偏西15°處，求輪船行駛過程中離礁石B的最近距離．【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)B的位置，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到輪船行駛過程中離礁石B的最近距離為里．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，AC＝10，∴AB＝AC＝5，過B作B