（挑戰(zhàn)壓軸）專項2.3二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【挑戰(zhàn)壓軸】專項2.3二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、選擇題1．（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）已知a是不為0的常數(shù)，函數(shù)y＝ax和函數(shù)y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：當(dāng)a＞0時，y＝ax的函數(shù)圖像經(jīng)過原點和一，三象限，y＝﹣ax2+a的圖像開口向下，與y軸交于正半軸．當(dāng)a＜0時，y＝ax函數(shù)圖像經(jīng)過原點和二，四象限，y＝﹣ax2+a的圖像開口向上，與y軸交于負(fù)半軸．故選：C．2．（2022?郴州）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+5，下列說法正確的是（）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（﹣1，5） C．該函數(shù)有最大值，最大值是5 D．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大【答案】D【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系數(shù)為1，1＞0，函數(shù)圖象開口向上，A錯誤；函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（1，5），B錯誤；函數(shù)圖象開口向上，有最小值為5，C錯誤；函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，x＜1時y隨x的增大而減??；x＞1時，y隨x的增大而增大，D正確．故選：D．3．（2022?煙臺）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0）．下列結(jié)論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【解答】解：①由圖可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合題意．②由題意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合題意．③將（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合題意．④由圖象可知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解，故④不符合題意．故選：D．4．（2022?梧州模擬）在函數(shù)①y＝4x2，②，③中，圖象開口大小順序用序號表示應(yīng)為（）A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③【答案】C【解答】解：∵|4|＝4，||＝，|﹣|＝，∴＜＜4，∵|a|越小，開口越大，∴②＞③＞①，故選：C．5．（2022?老河口市模擬）如圖，二次函數(shù)y＝αx2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），對稱軸是直線x＝﹣1，下列結(jié)論錯誤的是（）A．αbc＞0 B．b2﹣4αc＞0 C．2α﹣b＝0 D．3α+2c＜0【答案】D【解答】解：∵二次函數(shù)開口向下，∴a＜0，∵圖象交于y軸正半軸，∴c＞0，∵對稱軸x＝＝﹣1，∴b＜0，∴abc＞0，故A選項正確，不符合題意；∵二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故B選項正確，不符合題意；∵對稱軸x＝＝﹣1，∴﹣b＝﹣2a，∴2a﹣b＝0，故C選項正確，不符合題意；∵2a﹣b＝0，∴b＝2a，∵當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＝0，即a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∵c＞0，∴3a+2c＞0，故D選項錯誤，符合題意；故選：D．6．（2022?鹿城區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數(shù)），當(dāng)﹣2≤x≤3時，函數(shù)y的最小值為﹣2，則m的值為（）A．± B．﹣或 C．﹣或 D．或2【答案】B【解答】解：∵二次函數(shù)為y＝mx2﹣4mx，∴對稱軸為x＝＝＝2，①當(dāng)m＞0時，∵二次函數(shù)開口向上，∴當(dāng)﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝2取得最小值﹣2，將x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝，②當(dāng)m＜0時，∵二次函數(shù)開口向下，∴當(dāng)﹣2≤x≤3時，函數(shù)在x＝﹣2取得最小值﹣2，將x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝﹣，綜上，m的值為或﹣，故選：B．7．（2022?武進(jìn)區(qū)一模）二次函數(shù)y＝2（x+1）2+3的頂點坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）【答案】B【解答】解：∵二次函數(shù)為y＝2（x+1）2+3，∴頂點坐標(biāo)為：（﹣1，3），故選：B．8．（2022?嵐山區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于（﹣3，0），對稱軸為x＝﹣1．則下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＝0；④若（﹣，y1）（，y2）是圖象上的兩點，則y1＞y2；⑤若y≤c，則﹣2≤x≤0．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，∴c＜0，∵拋物線的對稱軸在x軸的負(fù)半軸，∴a，b同號，∴b＞0，∴abc＜0，①錯誤；設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為（x，0），由題意得，對稱軸x＝＝﹣1，解得x＝1，∴當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＝0，當(dāng)x＝2時，y＝4a+2b+c，根據(jù)拋物線開口向上，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大可知，y＞0，即4a+2b+c＞0，②正確；∵對稱軸x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，把b＝2a代入a+b+c＝0得3a+c＝0，③正確；設(shè)拋物線上與點（﹣，y1）的對稱點為（x1，y1），由題意得（﹣+x1）＝﹣1，解得x1＝﹣，∵﹣＜，根據(jù)拋物線開口向上，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大可得，y1＜y2，④錯誤．由題圖可知，拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c），設(shè)拋物線上與（0，c）對稱的點的坐標(biāo)為（x2，c），由題意得（0+x2）＝﹣1，解得x2＝﹣2，由題圖可以看出，當(dāng)y≤c時，﹣2≤x≤0，⑤正確．共有3個選項正確．故選：B．9．（2022?長清區(qū)二模）二次函數(shù)y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），當(dāng)5≤x≤6時，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，則a的取值范圍是（）A． B． C．或 D．或【答案】D【解答】解：原函數(shù)化為：y＝a（x﹣3）2﹣9a﹣5，當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，對稱軸是直線x＝3，∴當(dāng)5≤x≤6時，y隨x的增大而增大，∴﹣5a﹣5≤y≤﹣5，∵y的整數(shù)值只有4個，∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8，∴≤a＜，當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝3，∴當(dāng)5≤x≤6時，y隨x的增大而減小，∴﹣5≤y≤﹣5a﹣5，∵y的整數(shù)值只有4個，∴﹣2≤﹣5a﹣5＜﹣1，∴﹣＜a≤﹣．綜上：﹣＜a≤﹣或≤a＜，故選：D．10．（2022?灤南縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下面結(jié)論：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此拋物線經(jīng)過點C（t，n），則2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一個根．其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸正半軸相交，∴c＞0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴＝1，即b＝﹣2a，∴b＞0．①∵（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a），當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＞0．∵a＜0，∴﹣a＞0，∵b＞0，c＞0，∴b+c﹣a＞0，∴（b+c+a）（b+c﹣a）＞0，即（b+c）2＞a2，故①正確；②由二次函數(shù)圖象的對稱性可知，當(dāng)x＝2時，y＞0，即4a+2b+c＞0，故②正確；③由圖象可知，當(dāng)x＝1時，二次函數(shù)取得最大值，即最大值為a+b+c．∴當(dāng)x＝m時，y＝am2+bm+c＝m（am+b）+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b）．故③正確；④由二次函數(shù)圖象的對稱性可知，圖象上的點C（t，n）關(guān)于對稱軸x＝1對稱的點的坐標(biāo)為（2﹣t，n），且點（2﹣t，n）在二次函數(shù)圖象上，∴x＝2﹣t是方程ax2+bx+c＝n的一個根．故④正確．故選：D．11．（2022?吳中區(qū)模擬）拋物線y＝2（x+3）（x﹣1）的對稱軸是（）A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣1【答案】D【解答】解：∵y＝2（x+3）（x﹣1）與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0），∴對稱軸為x＝＝＝﹣1，故選：D．12．（2022?樂陵市模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），圖象上部分點的坐標(biāo)（x，y）的對應(yīng)值如下表所示，則方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）x…04…y…0.37﹣10.37…A．0或4 B．或4﹣ C．1或5 D．無實根【答案】B【解答】解：將（0，0.37）代入y＝ax2+bx+c得c＝0.37，∵拋物線經(jīng)過（0，0.37），（4，0.37），∴拋物線對稱軸為直線x＝2，ax2+bx+1.37＝0可整理為ax2+bx+c＝﹣1，∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1的一個交點坐標(biāo)為（，﹣1），由拋物線的對稱性可得：拋物線與直線y＝﹣1的另一交點坐標(biāo)為（4﹣，﹣1），∴ax2+bx+1.37＝0的根是x1＝或x2＝4﹣．故選：B．13．（2022?泰山區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（﹣4，0），其對稱軸為直線x＝﹣1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③3b+2c＞0；④a﹣b≥am2+bm．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①∵拋物線開口向下，∴a＜0．∵拋物線與y軸正半軸相交，∴c＞0．∵對稱軸在x軸負(fù)半軸，∴x＝﹣＜0，∴＞0，即a，b同號，∴b＜0．∴abc＞0．故①錯誤；②設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為（x，0）由題意得，對稱軸x＝＝﹣1，解得x＝2，∴拋物線與x軸的另一個交點為（2，0）．∴當(dāng)x＝2時，y＝4a+2b+c＝0，故②錯誤；③由②得，當(dāng)x＝2時，y＝4a+2b+c＝0，根據(jù)拋物線開口向下，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)y＝a+b+c＞0∵拋物線的對稱軸x＝﹣＝﹣1，∴a＝b，∴a+b+c＝b+b+c＞0，整理得3b+2c＞0．故③正確；④∵由題意得，（﹣1，y1）是拋物線的頂點坐標(biāo)，∴當(dāng)x＝﹣1時，二次函數(shù)有最大值y1＝a﹣b+c，∴無論x取何值，二次函數(shù)值都不大于y1，∴a﹣b+c≥am2+bm+c，整理得a﹣b≥am2+bm．故④正確．綜上所述，以上結(jié)論共有2個正確．故選：B．14．（2022?石景山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如表：x…﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：①二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）2﹣2的形式②二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的兩個根為0或2④若y＞0，則x＞3其中所有正確的結(jié)論為（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③【答案】D【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3時的函數(shù)值相同，都是1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝1，當(dāng)x＝1時，y＝﹣2∴拋物線的頂點為（1，﹣2），∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）2﹣2的形式，所以①正確；∵由表格可知x＝1時函數(shù)的值最小，∴拋物線的開口向上，故②錯誤；∵x＝0與x＝2關(guān)于對稱軸對稱，∴x＝0時，y＝﹣1.5，x＝3時，y＝﹣1.5，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的兩個根為0或2，故③正確；∵拋物線的開口向上，x＝﹣1和x＝3時，y＝0，∴若y＞0，則x＞3或x＜﹣1，故④錯誤；綜上所述：其中正確的結(jié)論有①③．故選：D．15．（2022?晉中一模）板球是以擊球、投球和接球為主的運(yùn)動，該項目主要鍛煉手眼的協(xié)調(diào)能力，集上肢動作控制能力、技巧與力量為一體的綜合性運(yùn)動．如圖，是運(yùn)動員擊球過程中板球運(yùn)動的軌跡示意圖，板球在點A處擊出，落地前的點B處被對方接住，已知板球經(jīng)過的路線是拋物線，其表達(dá)式為y＝﹣x2+x+1，則板球運(yùn)行中離地面的最大高度為（）A．1 B． C． D．4【答案】B【解答】解：將二次函數(shù)y＝﹣x2+x+1，化成y＝﹣（x﹣4）2+，當(dāng)x＝4時，y有最大值，y最大值＝，因此，板球運(yùn)行中離地面的最大高度為．故選：B．16．（2022?拱墅區(qū)模擬）已知拋物線y＝﹣2x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m﹣6，n），B（m+2，n），則n的值為（）A．﹣32 B．﹣18 C．﹣16 D．﹣12【答案】A【解答】解：∵拋物線y＝﹣2x2+bx+c過點A（m﹣6，n），B（m+2，n），∴對稱軸是直線x＝m﹣2．又∵拋物線y＝﹣2x2+bx+c與x軸只有一個交點，∴設(shè)拋物線解析式為y＝﹣2（x﹣m+2）2，把A（m﹣6，n）代入，得n＝﹣2（m﹣6﹣m+2）2＝﹣32，即n＝﹣32．故選：A．17．（2022?石家莊模擬）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各選項中，正確的是（）A．這個函數(shù)的圖象開口向下 B．這個函數(shù)的圖象與x軸無交點 C．當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而增大 D．這個函數(shù)的最小值小于﹣6【答案】D【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點（0，﹣4），（3，﹣4），∴拋物線對稱軸為直線x＝，∵拋物線經(jīng)過點（﹣2，6），∴當(dāng)x＜時，y隨x增大而減小，∴拋物線開口向上，且跟x軸有交點，故A，B錯誤，不符合題意；∴x＞時，y隨x增大而增大，故C錯誤，不符合題意；由對稱性可知，在x＝處取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正確，符合題意．故選：D．18．（2022?舟山一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（﹣2，3），B（2，1），若拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（）A．﹣＜a≤﹣或a≥1 B．a(chǎn)≥﹣或a＜﹣ C．≤a≤1且a≠0 D．a(chǎn)≤﹣或a≥1【答案】A【解答】解：當(dāng)a＞0時，x＝﹣2時y≥3，x＝2時，y≥1，∴，解得a≥1，當(dāng)a＜0時，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2，聯(lián)立方程組，∴ax2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝+4a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，當(dāng)x＝﹣2時，y＝4a+4+1＝3，∴a＝﹣，此時拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，∴﹣＜a≤﹣，綜上所述：a≥1或﹣＜a≤﹣時，拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）與線段AB有兩個不同的交點，故選：A．19．（2022?羅湖區(qū)校級一模）如圖，將拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到圖形C1，當(dāng)直線y＝x+b（b＜1）與圖形C1恰有兩個公共點時，則b的取值范圍是（）A．﹣3＜b＜1 B．﹣3≤b＜1 C．﹣1≤b＜1 D．﹣1＜b＜1【答案】A【解答】解：如圖，當(dāng)y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，即：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點B時，與新圖象有一個公共點，把B（3，0）代入y＝x+b得：3+b＝0，∴b＝﹣3，當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點A時，與新圖象有三個公共點，把A（﹣1，0）代入y＝x+b中得：﹣1+b＝0，∴b＝1，∴當(dāng)直線y＝x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍是﹣3＜b＜1．故選：A．20．（2021?仁懷市模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)的圖象（如圖所示），當(dāng)直線y＝x+m與新圖象有3個或4個交點時，m的取值范圍是（）A． B． C．﹣6≤m≤﹣2 D．﹣7≤m≤﹣3【答案】D【解答】解：如圖所示，直線l、n在圖示位置時，直線與新圖象有3個交點，y＝﹣x2+x+6，令y＝0，則x＝3或﹣2，則點A（3，0），將點A的坐標(biāo)代入y＝x+m并解得：m＝﹣3，二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣6，聯(lián)立y＝x2﹣x﹣6、y＝x+m并整理得：x2﹣2x﹣6﹣m＝0，Δ＝4+4（6+m）＝0，解得：m＝﹣7，故答案為：﹣7或﹣3．有上圖可以看出：當(dāng)﹣7＜m＜﹣3時，直線y＝x+m與這個新圖象有四個交點，故選：D．21．（2022?歷下區(qū)一模）已知拋物線P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），將拋物線P繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線P′，當(dāng)1≤x≤3時，在拋物線P′上任取一點M，設(shè)點M的縱坐標(biāo)為t，若t≤3，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設(shè)拋物線P'上任意一點（x，y），則點（x，y）原點旋轉(zhuǎn)180°后對應(yīng)的點為（﹣x，﹣y），∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，∴拋物線P'的解析式為y＝﹣x2+4ax+3，∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，當(dāng)x＝2a時，y有最大值4a2+3，∵1≤x≤3，①當(dāng)2a＜1時，即a＜，x＝1時y有最大值，∴2+4a≤3，∴a≤，此時a≤；②當(dāng)2a＞3時，即a＞，x＝3時y有最大值，∴﹣6+12a≤3，∴a≤，此時a不存在；③當(dāng)1≤2a≤3時，即≤a≤，x＝2a時y有最大值，∴4a2+3≤3∴a＝0，此時a不存在；綜上所述：0＜a≤，故選：A．22．（2021秋?房縣期末）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+1與坐標(biāo)軸交點情況是（）A．一個交點 B．兩個交點 C．三個交點 D．無交點【答案】C【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝1，當(dāng)y＝0時，0＝﹣x2+2x+1，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4?（﹣1）?1＝8＞0．∴與x軸有兩個交點∴即該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸共有三個交點．故選：C．23．（2022?興寧區(qū)校級模擬）二次函數(shù)的圖象（1≤x≤3）如圖所示，則該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi)，函數(shù)值y的取值范圍是（）A．y≥1 B．1≤y≤3 C． D．0≤y≤3【答案】C【解答】解：∵函數(shù)y的最小值是，最大值是3，∴函數(shù)y的取值范圍是≤y≤3，故選：C．二．填空題（共5小題）24．（2022?泌陽縣四模）請寫出一個過點（0，1）且開口向上的二次函數(shù)解析式．【答案】y＝x2+1【解答】解：∵開口向上，∴a＞0，且與y軸的交點為（0，1），∴函數(shù)