專題07 三角形中的特殊模型-平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型（解析版）

專題07.三角形中的特殊模型-平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點(diǎn)，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。平分平行（射影）構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰1）角平分線加平行線必出等腰三角形．模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫弧，與分別于點(diǎn)C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，過上一點(diǎn)M作，與OB相交于點(diǎn)N，，則．

【答案】25度/【分析】通過兩直線平行，同位角相等，再利用角平分線定義求解即可．【詳解】∵，∴，由題意可知：平分，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，作已知角的角平分線及其定義和平行線的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖和平行線的性質(zhì)及角平分線定義的應(yīng)用．例2．（2023·浙江·八年級期中）如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長等于．【答案】13【分析】根據(jù)BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周長是AB+AC.【詳解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周長=AD+DE+AE=AB+AC=13【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，其中運(yùn)用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)創(chuàng)造等腰三角形的條件是關(guān)鍵．例3．（2023·廣東·八年級期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，CF平分∠BCD交AD于F點(diǎn)，則EF的長為cm．【答案】1【分析】根據(jù)角平分線的概念、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可分別推出AE=AB，DF=DC，進(jìn)而推出EF=AE+DF-AD．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，則∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可證：DF＝DC＝AB＝3cm，則EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線的概念和平行線的性質(zhì)，由等角推出等邊．例4.（2023.江蘇八年級期中）如圖，已知：在中，，于D，的角平分線交AD與F，交AB于E，交AB于G．，，則__________，__________．【答案】4cm；4cm．【詳解】過E作EH垂直BC交BC于H點(diǎn)，易證；由角度分析易知，即，則有；又可證，則，則，．【點(diǎn)睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型1）內(nèi)角平分線定理圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線。結(jié)論：2）外角平分線定理?xiàng)l件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點(diǎn)D。結(jié)論：．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長分別是a，b，c，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形。結(jié)論：=c：a：b。例1．（2023·江蘇揚(yáng)州·七年級?？计谀┤鐖D，在中，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積為1，則的面積為．【答案】42【分析】連接BF，利用高相等，底邊成比例的三角形面積之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：連接BF，如圖，∵，∴∵是的中點(diǎn)，∴，∴∵，∴∴∴∴∴故答案為：42．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形面積之間的關(guān)系，熟練掌握高相等的三角形，面積的比就等于底邊的比是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·浙江八年級專題練習(xí)）如圖，的角平分線、、交于點(diǎn)，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．三條高的比為【答案】B【分析】根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)，利用等積法即可求解．【詳解】解：∵的角平分線、、交于點(diǎn)，∴點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，設(shè)點(diǎn)到三角形三邊的距離為x故選：B【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確角平分線的性質(zhì)在幾何證明中的作用．例3．（2023·河南駐馬店·?？既＃╅喿x以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》是2006年科學(xué)出版社出版的圖書，作者是（美）喬治·波利亞．本書通過對各種類型生動(dòng)而有趣的典型問題（有些是非數(shù)學(xué)的））進(jìn)行細(xì)致剖析，提出它們的本質(zhì)特征，從而總結(jié)出各種數(shù)學(xué)模型．共高三角形：有一條公共高的三角形稱為共高三角形．共高定理：如圖①，設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)P為直線外一點(diǎn)，則有下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖①，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，．．．．．．按要求完成下列任務(wù)：(1)請你按照以上證明思路，結(jié)合圖①完成剩余的證明；(2)如圖②，，①畫出的平分線（不寫畫法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）；②若的平分線交于D，求證：；(3)如圖③，E是平行四邊形邊上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)F，連接，若的面積為2，則的面積為；【答案】(1)見解析(2)①圖見解析②證明見解析(3)2【分析】（1）利用面積公式，補(bǔ)全證明即可；（2）①根據(jù)角平分線的作圖方法，畫出的平分線即可；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，以及共高定理，即可得證；（3）證明，得到，根據(jù)共高定理，得到：，進(jìn)而得到即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：補(bǔ)全剩余證明如下：∵∴；（2）①如圖所示：即為所求；②證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵是的平分線，∴，∴，由共高定理，得：，∴；（3）∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴又∵，∴，由共高定理，可得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖方法，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．理解并掌握共高定理，是解題的關(guān)鍵．例4、△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點(diǎn)D，求證：．證明：過C作AD的平行線交AB于點(diǎn)E．∵∴，∠1=∠3，∠2=∠4∵AD為∠BAC的外角平分線∴∠1=∠2∴∠3=∠1=∠2=∠4∴AE=AC∴例5.（2022秋·北京·八年級北京八十中?？计谥校┰谥校珼是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)時(shí)，_____；(2)如圖2，當(dāng)平分時(shí)，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長到E．使得，連接，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)16【分析】（1）過A作于E，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（2）過D作于E，于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（3）根據(jù)已知和（1）（2）的結(jié)論求出和的面積，即可求出答案．【詳解】（1））過A作于E，∵點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，∴，∴故答案為：；（2）過D作于E，于F，∵為的角平分線，∴，∵，，∴；（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，∵，平分，∴由（2）知：，∴，∴，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023湖北省武漢市八年級月考）如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，F(xiàn)G平分∠EFD交AB于點(diǎn)G，若∠BEF＝70°，則∠AGF的度數(shù)為（

）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)平分得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：證明：∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠DFG，∵FG平分∠DEF，∴∠EFG＝∠DFG，∴∠EFG＝∠EGF，∵∠BEF＝70°，∴∠AGF＝∠EFG＝（180°﹣70°）＝55°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知平行線及角平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·貴州·中考模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用角平分線和平行可以證明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答．【詳解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵M(jìn)NBC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和平行可以證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC＝9，AB＝15，則CE的長為（）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再證明得AG，最后利用勾股定理列出方程進(jìn)行解答．【詳解】解：過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，∴BC＝，在Rt△ACF和Rt△AGF中，，∴（HL），∴AC＝AG＝9，設(shè)CE＝x，則FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6，∵，即，解得x＝，即CE＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及勾股定理的應(yīng)用等知識，關(guān)鍵是推出∠CEF＝∠CFE和由勾股定理列出方程，體現(xiàn)了方程思想．4．（山西省大同市廣靈縣2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖在中，的角平分線交于，若，，則平行四邊形的周長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，即可得到AD//BC，即∠AEB=∠CBE，再根據(jù)BE是∠ABC的角平分線，即可得到∠ABE=∠CBE=∠AEB，即AB=AE，從而可以求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=3，∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，∴∠AEB=∠CBE，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵ED=2，∴AD=AE+DE=5，∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)判定△ABE是等腰三角形．5．（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的三邊的長分別是9、12、15．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過O點(diǎn)作，垂足分別為D，E，F(xiàn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：，根據(jù)勾股定理可求解的長，再利用三角形的面積公式計(jì)算可求解．【詳解】解：過O點(diǎn)作，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∵的三條角平分線交于點(diǎn)O，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，、、分別平分、、，，的周長為18，，則的面積為（

）A．18 B．30 C．36 D．72【答案】C【分析】過I點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式得到，據(jù)此即可求得．【詳解】解：過I點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖，∵、、分別平分、、，∴，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形的面積．7．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，平分于，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，

其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，證得，可得；由等角的余角相等，可證得；然后由的度數(shù)不確定，可得不一定等于；又由，和的高相等，所以：：．【詳解】解：①正確，在中，，平分，于，；②正確，在與中，，所以，即；③正確，因?yàn)楹投寂c互余，根據(jù)同角的余角相等，所以；④錯(cuò)誤，因?yàn)榈亩葦?shù)不確定，故不一定等于；⑤錯(cuò)誤，因?yàn)?，和的高相等，所以：：．故正確的個(gè)數(shù)為個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，平分，平分，延長交的延長線于點(diǎn)F．①；②E為的中點(diǎn)；③若，，則；④若四邊形的面積為27，且，則的長為18，其中正確的結(jié)論有．

【答案】①②③④【分析】①根據(jù)平分，平分，，推出，進(jìn)而得，證明；②通過，推出為的中點(diǎn)；③由，推出，得出的長；④由①②③可得的面積等于四邊形的面積為27，再根據(jù)及面積公式求出的長．【詳解】解：，，，，平分，平分，，，，，，，①正確；，，，，，，，為的中點(diǎn)；②正確；，，，③正確；四邊形的面積為27，由①②③可得的面積為27，，，，，，的長為18，④正確．故答案為：①②③④【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．9．（2022春·四川成都·七年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)E，BE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BD交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，連接AE，有以下結(jié)論：①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正確的結(jié)論有（將所有正確答案的序號填寫在橫線上）．【答案】①③④.【分析】①根據(jù)角平分線的定義得到∠EBC=∠ABC，∠DCE=∠ACD，根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)相似三角形的判定定理得到兩個(gè)三角形相似，不能得出全等；③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到結(jié)論；④由于E是兩條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出點(diǎn)E到BA、AC、BC和距離相等，從而得出AE為∠BAC外角平分線這個(gè)重要結(jié)論，再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)與外角性質(zhì)進(jìn)行角度的推導(dǎo)即可輕松得出結(jié)論．【詳解】①BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC=(∠BAC+∠ABC)=∠EBC+∠BAC，∴∠BEC=∠BAC，故①正確；∵②△HEF與△CBF只有兩個(gè)角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所以不能得出全等的結(jié)論，故②錯(cuò)誤；③BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE=∠GEB，∴∠ABE=∠GEB，∴BG=GE，同理CH=HE，∴BG?CH=GE?EH=GH，∴BG=CH+GH，故③正確；④過點(diǎn)E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如圖，∵BE平分∠ABC，∴EM=ED，∵CE平分∠ACD，∴EN=ED，∴EN=EM，∴AE平分∠CAM，設(shè)∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如圖，則∠BAC=180?2z，∠ACB=180?2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180，∴2y+180?2z+180?2x=180，∴x+z=y+90，∵z=y+∠AEB，∴x+y+∠AEB=y+90，∴x+∠AEB=90，即∠ACE+∠AEB=90，故④正確.故答案為①③④.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等多個(gè)知識點(diǎn).判斷出AE是△ABC的外角平分線是關(guān)鍵.10．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，垂足為D，平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，，則的長為．

【答案】【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作于H，利用勾股定理求出，利用等面積法求出，則由勾股定理可得，由角平分線的定義得到，再由得到，代值計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作于H，在中，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的定義，三角形面積，正確求出的長是解題的關(guān)鍵．11．（2023江蘇八年級月考）如圖，在中，，過頂點(diǎn)的直線，、的平分線分別交于點(diǎn)、，若，，則的長為．【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)勾股定理，易求得.由于平分，故，而，所以，所以，根據(jù)等角對等邊，故有.同理，有，所以.考點(diǎn)：1.勾股定理；2.平行線中三線八角的性質(zhì)；3.等腰三角形的性質(zhì).12．（2023遼寧省葫蘆島八年級期末）如圖，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周長為10cm，那么BC的長為．【答案】10cm【分析】由角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得OD=BD，OE=CE，從而BC的長等于△ODE的周長，問題即解決．【詳解】∵BO平分∠ABC∴∠ABO=∠DBO∵OD∥AB∴∠DOB=∠ABO∴∠DBO=∠DOB∴OD=BD同理OE=CE∵OD+DE+OE=10cm∴BC=BD+DE+CE=OD+DE+OE=10cm故答案為：10cm【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得到兩個(gè)等腰三角形．13．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，，垂足為E，，．與的面積之比為；若的面積為52，則．【答案】4【分析】（1）過點(diǎn)D作于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，進(jìn)而求得與的面積之比；（2）根據(jù)（1）求出的與的面積之比，得到的面積，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)D作于F，是的角平分線，，，；，，，解得，故答案為：，4．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，的三邊長分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個(gè)三角形，則等于．

【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的邊上的高相等，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作于D，于E，于F，

∵O是三條角平分線的交點(diǎn)，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積的求法，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB外角，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，試問：EF與BE、CF關(guān)系如何？【答案】EF＝BE﹣CF【分析】根據(jù)角平分線得出∠ABD＝∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠CBD，推出∠ABD＝∠EDB，推出DE＝BE，同理推出DF＝CF，即可得出答案．【詳解】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，同理DF＝CF，∵EF＝DE﹣DF，∴EF＝BE﹣CF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，等腰三角形的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出DE＝BE和CF＝DF．16．（2023·福建泉州·八年級階段練習(xí)）（1）如圖1所示，在△ABC中，EF∥BC，點(diǎn)D在EF上，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，若已知BE=3,CF=5,求EF的長度；（2）如圖2所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.【答案】（1）8；（2）BE﹣CF＝EF．【分析】（1）根據(jù)BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可證BE＝ED和DF＝CF，然后可得BE+CF＝EF，代入即可得到結(jié)論．（2）由（1）知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴BE+CF＝EF．∵BE=3，CF=5，∴EF=3+5=8；（2）BE﹣CF＝EF．理由如下：由（1）知BE＝ED．∵CD平分∠ACG，∴∠ACD=∠DCG．∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG，∴∠EDC＝∠ACD，∴CF＝DF．又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩角相等或兩邊相等．17．（2023春·浙江寧波·七年級?？计谀┙瞧椒志€性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，小儲發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請完成下列探索過程：

【知識回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，作于點(diǎn)，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點(diǎn)，其中，求．【應(yīng)用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，則的長度為__________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）10【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得，由三角形的面積公式可得，結(jié)合即可求解；（3）過E作于G，連接，由P為中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)是邊上的中線，設(shè)，根據(jù)三角形的面積的計(jì)算得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

平分，，，，同理可證，∴．，，設(shè)，則，，；（3）解：過E作于G，連接，

∵P為中點(diǎn)，∴，設(shè)，∵是邊上的中線，∴設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的角平分線，，∴，∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·七年級單元測試）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長線于點(diǎn)，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長BE至M，