專題09 三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型（原卷版）

專題09三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·福建南平·八年級?？茧A段練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行認(rèn)識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個(gè)角“凹”逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如圖2，連結(jié)AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連結(jié)CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，．．．．．．．．．．大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論．任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_________；(2)探索及應(yīng)用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分．例2．（2023·吉林·八年級統(tǒng)考期末）圖1是用一種彭羅斯瓷磚平鋪成的圖案，它的基礎(chǔ)部分是“風(fēng)箏”和“飛鏢”兩郎分，圖2中的“風(fēng)箏”和“飛鏢”是由圖3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在對角線上截取，連按，，可將菱形分割為“風(fēng)箏”（凸四邊）和“飛鏢”（凹四邊形）兩部分，則圖2中的°．例3．（2023·廣東河源·八年級校考期末）（1）模型探究：如圖1所示的“鏢形”圖中，請?zhí)骄颗c、、的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分，平分，，，請直接寫出的度數(shù)．例4.（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖所示，在中，，在上，，是上的任意一點(diǎn)，求證．例5．（2023·浙江杭州·八年級專題練習(xí)）（2018十三中開學(xué)考）已知，在中，∠A=60°，（1）如圖①，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC=；（2）如圖②，∠ABC和∠ACB的三等分線分別對應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，則；（3）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，…，（內(nèi)部有個(gè)點(diǎn)），則；（4）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，…，，若，求n的值．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號）例2.（2023春·廣東·七年級專題練習(xí)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°例3．（2022秋·河北廊坊·八年級?？计谥校┤鐖D，將三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形的外部時(shí)，測量得，，則為（

）

A． B． C． D．例4．（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于如何證明這個(gè)定理呢？我們知道，平角是，要證明這個(gè)定理就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角中去，請根據(jù)如下條件，證明定理．（1）【定理證明】

已知：如圖①，求證：．（2）【定理推論】如圖②，在中，有，點(diǎn)D是延長線上一點(diǎn)，由平角的定義可得，所以_______，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)D、E分別是的邊延長線上一點(diǎn)．（3）若，，則_______．（4）若，則_______．【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D、E分別是四邊形的邊延長線上一點(diǎn)．（5）若，，則_________．（6）分別作和的平分線，如圖⑤，若，則和的關(guān)系為__________．（7）分別作和的平分線，交于點(diǎn)O，如圖⑥，求出，和的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

例5．（2022春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末）中，，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令，，．初探：(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且，則_____________；(2)如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_____________；(3)如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_____________；再探：(4)如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的內(nèi)部，寫出此時(shí)∠1，∠2，之間的關(guān)系，并說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，、是邊、上的點(diǎn)，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且點(diǎn)在邊上，沿翻折后得到，且點(diǎn)在邊上，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進(jìn)行翻折，使，則∠FE的度數(shù)是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°3．（2023·河南·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點(diǎn)，依此類推，與的角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形紙片，，現(xiàn)將該紙片沿折疊，使點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處．其中，點(diǎn)在紙片的內(nèi)部，點(diǎn)、分別在邊、上．若，則等于（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，邊上的點(diǎn)，連接，將沿著翻折，使點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)G重合，若，，則的度數(shù)為．

6．（203·四川德陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A＝60°將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處．如果∠A′DB＝50°，那么∠A′ED的度數(shù)為．7．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，將△ABC沿著DE翻折，若∠1+∠2＝80°，則∠B＝度．8．（2023·山東八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，D是上一點(diǎn)，延長至E，使．試確定與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（一題多解）．9．（2023·重慶·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，P，Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn)，B，P，Q，C構(gòu)成凸四邊形．

求證：．10．（2023秋·山東·八年級專題練習(xí)）已知，在中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)D是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到．(1)如圖，若，則______；(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了，，之間的關(guān)系，請您替小明寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明．11．（2023·北京·一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號）；①②③定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小潔的探究過程，請補(bǔ)充完整：（2）通過觀察、測量、折疊等操作活動(dòng)，寫出兩條對燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫出結(jié)果）．12．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）發(fā)現(xiàn)與探究【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可推理得：如圖1在四邊形中，判斷與的數(shù)量關(guān)系．請將如下說理過程補(bǔ)充完整．解：，理由：延長交于點(diǎn)，∵是的外角，∴________________________________，同理，是的外角，∴________________________________，∴（等量代換）．【驗(yàn)證】某木材零件如圖2所示，圖紙要求，，零件樣品生產(chǎn)出來后，經(jīng)測量得到，請你用“發(fā)現(xiàn)”得到的結(jié)論判斷該零件樣品是否符合規(guī)格，并說明理由．【探究】如圖3是某公司開發(fā)的可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖所示），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變，為了舒適，需調(diào)整的大小，使，請直接寫出，應(yīng)將圖中______（填“增加”或“減小”）______°．13．（2023春·上海·七年級專題練習(xí)）（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點(diǎn)為，，求的度數(shù)．（2）如圖，和分別平分和，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，且B、P、D三點(diǎn)共線，，則_________．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)在直線外時(shí)，如下圖：，，求的度數(shù)．14．（2023春·福建福州·七年級校考期末）如圖①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．15．（2022春·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習(xí)）【問題情境】已知，在的兩邊上分別取點(diǎn)B、C，在的內(nèi)部取一點(diǎn)O，連接、．設(shè)，，探索與、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在的邊上時(shí)，，此時(shí)，則與、、之間的數(shù)量關(guān)系是．【問題再探】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在的內(nèi)部時(shí)，請寫出與、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在的外部