專題09 相似模型鞏固練習（提優(yōu)）-（解析版）

相似模型鞏固練習1． 新型冠狀病毒感染引發(fā)“疫情就是命令，現場就是戰(zhàn)場”．家住武漢火神山醫(yī)院旁的小華，目睹這與時間賽跑的建設場面，在家里的小華從離窗臺A水平距離2m的M點望去，通過窗臺A處剛好俯瞰到遠處醫(yī)院箱式板房頂部遠端E點，小華又向窗戶方向前進0.8m到Q點，恰好通過窗臺A處看到板房頂部近處D點，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直線BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC長300m，請你幫助小華計算DE的長度．【解答】200m．【解析】延長ED交AB于H，延長MQ交BA的延長線于T．由題意MT＝2m，MQ＝0.8m，∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），∵四邊形BCDH是矩形，∴DH＝BC＝300（m），∵QT∥DH，∴TAAH∵MT∥DE，∴MTEH∴2EH∴EH＝500（m），∴DE＝500﹣300＝200（m）2． 如圖，小亮、小明利用家門口路燈的燈光來測量該路燈的高度，小明在A處時，小亮測得小明的影長AM為2米，小明向前走2米到B處時，小亮測得小明的影長BM'為1米．已知小明的身高AA'（BB'）為1.72米，求燈高CD的長．【解答】5.16米【解析】由題意知AA′∥CD，則△MAA′∽△MCD．所以AA'CD=AMMC同理，△M′BB′∽△M′CD，所以BB'CD=M'BM'C聯立①②并解得：BC＝2，CD＝5.16．答：燈高CD的長是5.16米．3． 如圖，小明家窗外有一堵圍墻AB，由于圍墻的遮擋，清晨太陽光恰好從窗戶的最高點C射進房間的地板F處，中午太陽光恰好能從窗戶的最低點D射進房間的地板E處，小明測得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測得OE＝1m，OF＝5m，求圍墻AB的高度．【解答】4m【解析】延長OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，設AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF∴xx+(5?1)解得：x＝4．經檢驗：x＝4是原方程的解．答：圍墻AB的高度是4m．4． 如圖，河對岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點D處，自己的影長DF＝3m，沿BD方向到達點F處再測自己的影長FG＝4m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿AB的高度．【解答】6.4m【解析】∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴CDAB=DF又∵CD＝EF，∴DFBF∵DF＝3，FG＝4，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，∴3DB+3∴BD＝9，BF＝9+3＝12，∴1.6AB解得，AB＝6.4m．答：路燈桿AB的高度為6.4m．5． 如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．①計算小亮在路燈D下的影長；②計算建筑物AD的高．【解答】①1.5；②12【解析】①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴EP∴1.8∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴HP∴1.8∴DA＝12．6． 如圖，平臺AB上有一棵直立的大樹CD，平臺的邊緣B處有一棵直立的小樹BE，平臺邊緣B外有一個向下的斜坡BG．小明想利用數學課上學習的知識測量大樹CD的高度．一天，他發(fā)現大樹的影子一部分落在平臺CB上，一部分落在斜坡上，而且大樹的頂端D與小樹頂端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F處，經測量，CB長53米，BF長2米，小樹BE高1.8米，斜坡BG與平臺AB所成的∠ABG＝150°．請你幫小明求出大樹CD的高度（結果保留一位小數）．【解答】15.8米【解析】延長CB交EF于點H，過點F作FM⊥EB的延長線于點M∵∠ABG＝150°，BE⊥CB∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°∴∠MFB＝30°∵BF的長為2米，∴BM＝1米，MF=3∵BE⊥CB，MF⊥BE∴BH∥MF∴△EBH∽△EMF∴BH又∵EB＝1.8米∴BH∴BH=∵BE∥CD∴△HBE∽△HCD∴BH∵CB＝53∴9∴CD＝15.8米∴大樹CD的高度為15.8米．7． 街道旁邊有一根電線桿AB和一塊半圓形廣告牌，有一天，小明突然發(fā)現，在太陽光照射下，電線桿的頂端A的影子剛好落在半圓形廣告牌的最高處G，而半圓形廣告牌的影子剛好落在地面上一點E，已知BC＝5米，半圓形的直徑為6米，DE＝2米．求電線桿的高度．【解答】9米【解析】連接OF，過點G作GH⊥AB于H，則BOGH是矩形．OG＝3m，BO＝BC+CO＝8（m），∴BH＝3m，GH＝8m．∵FE是⊙O的切線，∴∠OFE＝90°∴FE=OE2∵太陽光線是平行光線，∴AG∥EF，又∵GH∥OE，∴∠E＝∠AGH．又∵∠OFE＝∠AHG＝90°，∴△AGH∽△OEF，∴EFHG=OF解得：AH＝6．即AB＝AH+HB＝6+3＝9（m），答：電線桿的高度為9米．8． 甲乙兩位同學利用燈光下的影子來測量一路燈A的高度，如圖，當甲走到點C處時，乙測得甲直立身高CD與其影子長CE正好相等，接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走，走到點E處時，甲直立身高EF的影子恰好是線段EG，并測得EG＝2.5m．已知甲直立時的身高為1.75m，求路燈的高AB的長．（結果精確到0.1m）【解答】5.8米【解析】如圖，設AB＝x，由題意知AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD＝CE，∴AB∥CD∥EF，∴BE＝AB＝x，∴△ABG∽△FEG，∴ABFE=BG∴x7解得：x=35答：路燈高AB約為5.8米．9． 如圖（1）是一種廣場三聯漫步機，其側面示意圖如圖（2）所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°．求點D到地面的高度是多少？【解答】（10+802）cm【解析】過A作AF⊥BC，垂足為F，過點D作DH⊥AF，垂足為H．∵AF⊥BC，垂足為F，∴BF＝FC=12BC＝40cm根據勾股定理，得AF=AB2?BF∵∠DHA＝∠DAC＝∠AFC＝90°，∴∠DAH+∠FAC＝90°，∠C+∠FAC＝90°，∴∠DAH＝∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AHFC∴AH40∴AH＝10cm，∴HF＝（10+802）cm．答：D到地面的高度為（10+802）cm．10．閱讀下面材料，完成學習任務：數學活動測量樹的高度在物理學中我們學過光的反射定律．數學綜合實踐小組想利用光的反射定律測量池塘對岸一棵樹的高度AB測量和計算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點C處放置了一塊平面鏡，小華站在BC的延長線上，當小華從平面鏡中剛好看到樹的頂點A時．測得小華到平面鏡的距離CD＝2米，小華的眼睛E到地面的距離ED＝1.5米；②將平面鏡從點C沿BC的延長線向后移動10米到點F處，小華向后移動到點H處時，小華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點A，這時測得小華到平面鏡的距離FH＝3米；③計算樹的高度AB：設AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴AB任務：請你根據材料中得到的測量數據和計算步驟，將剩余的計算部分補充完整．【解答】見解析【解析】設AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴ABED∴x1.5∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH∴△ABF∽△GHF，∴ABGH∴x1.5∴y2解得y＝20，把y＝20代入x1.5得x1.5=20∴樹的高度AB為15米．11．小明用這樣的方法來測量建筑物的高度：如圖所示，在地面上（E處）放一面鏡子，他剛好從鏡子中看到建筑物（AB）的頂端B，他的眼睛離地面1.25米（CD＝1.25米），如果小明離鏡子1.50米（CE＝1.50米），與建筑物的距離是181.50米（CA＝181.50米）．那么建筑物的高是多少米？【解答】150米【解析】∵AC＝181.5、CE＝1.5，∴AE＝180，根據題意得∠AEB＝∠CED，∵Rt△AEB∽Rt△CED，∴ABCD=AE解得AB＝150．答：建筑物的高是150米．12．如圖，一條東西走向的筆直公路，點A、B表示公路北側間隔150米的兩棵樹所在的位置，點C表示電視塔所在的位置．小王在公路PQ南側直線行走，當他到達點P的位置時，觀察樹A恰好擋住電視塔，即點P、A、C在一條直線上，當他繼續(xù)走180米到達點Q的位置時，以同樣方法觀察電視塔，觀察樹B也恰好擋住電視塔．假設公路兩側AB∥PQ，且公路的寬為60米，求電視塔C到公路南側PQ的距離．【解答】360米【解析】如圖所示，作CE⊥PQ于E，交AB于D點，設CD為x，則CE＝60+x，∵AB∥PQ，∴△ABC∽△PQC，∴CDAB=CE解得x＝300，∴x+60＝360米，答：電視塔C到公路南側所在直線PQ的距離是360米．13．小明和幾位同學做手的影子游戲時，發(fā)現對于同一物體，影子的大小與光源到物體的距離有關．因此，他們認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置．于是，他們做了以下嘗試．（1）如圖1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，邊長AB為30cm，在其正上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長度和為6cm．那么燈泡離地面的高度為．（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放，請計算此時橫向影子A′B，D′C的長度和為多少？（3）有n個邊長為a的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A′B，D′C的長度和為b，求燈泡離地面的距離．（寫出解題過程，結果用含a，b，n的代數式表示）【解答】（1）180cm；（2）12cm；（3）n【解析】（1）設燈泡離地面的高度為xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根據相似三角形對應高的比等于相似比的性質，可得ADA'D'∴3036解得x＝180．（2）設橫向影子A′B，D′C的長度和為ycm，同理可得∴6060+y解得y＝12cm；（3）記燈泡為點P，如圖：∵AD∥A′D′，∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根據相似三角形對應高的比等于相似比的性質，可得ADA'D'（直接得出三角形相似或比例線段均不扣分）設燈泡離地面距離為x，由題意，得PM＝x，PN＝x﹣a，AD＝na，A′D′＝na+b，∴nana+b=ax=1x=n14．小明想知道學校旗桿的高，他在某一時刻測得直立的標桿高1米時影長0.9米，此時他測旗桿影長時，因為旗桿靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，他測得落在地面上的影長BC為2.7米，又測得墻上影高CD為1.2米，請你求旗桿AB的高度．【解答】4.2m【解析】過點D作DE⊥AB于點E，則BE＝CD＝1.2m，∵他在某一時刻測得直立的標桿高1米時影長0.9米，∴AEED=10.9，即AE2.7∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2m．答：旗桿的高度是4.2m．15．問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量．下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm．乙組：如圖2，測得學校旗桿的影長為900cm．丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm．任務要求：（1）請根據甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；（2）如圖3，設太陽光線NH與⊙O相切于點M．請根據甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082＝2602）【解答】（1）12m；（2）12cm【解析】（1）由題意可知：∠BAC＝∠EDF＝90°，∠BCA＝∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴ABDE=AC∴DE＝1200（cm）．所以，學校旗桿的高度是12m．（2）解法一：與①類似得：ABGN=AC∴GN＝208．在Rt△NGH中，根據勾股定理得：NH2＝1562+2082＝2602，∴NH＝260．設⊙O的半徑為rcm，連接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．則∠OMN＝∠HGN＝90°，又∵∠ONM＝∠HNG，∴△OM