數(shù)學版本章整合：第一章導數(shù)及其應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡專題探究專題一導數(shù)的幾何意義的應用1．函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導數(shù)f′(x0)，就是曲線y＝f（x）在點P（x0,f(x0))處的切線的斜率k，即k＝tanα＝f′(x0)．2．利用導數(shù)求曲線過點P（x0，y0)的切線方程時要注意首先判斷點P是否在曲線上,若點P在曲線上，則切線斜率即為f′(x0)，切線方程易得；若點P不是曲線上的點，則應首先設出切點Q(x1,y1）,則切線斜率為f′（x1），再結合kPQ＝f′(x1）以及y1＝f（x1)進行求解．【例1】已知函數(shù)f(x）＝eq\r（x)＋1，g（x)＝alnx，若在x＝eq\f（1,4)處函數(shù)f(x)與g（x）的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為（）A。eq\f(1,4)B。eq\f(1，2） C．1D．4解析：由題意可知f′(x）＝eq\f（1,2)，g′（x）＝eq\f(a,x），由f′eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4）））＝g′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,4))）,得eq\f（1，2)×＝eq\f（a,\f（1,4))，可得a＝eq\f(1,4），經(jīng)檢驗,a＝eq\f（1,4）滿足題意．答案:A【例2】已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln（x－a)相切，則實數(shù)a的值為（）A．1B．2 C．－1D．－解析：設直線y＝x＋1與曲線y＝ln（x－a）相切的切點為（x0，y0)，則y0＝x0＋1且y0＝ln(x0－a)．又∵y′＝eq\f(1，x－a)，∴y′eq\a\vs4\al(｜)x＝x0＝eq\f（1，x0－a）＝1，即x0－a＝1,故x0＝a＋1，所以a＋1＋1＝ln(a＋1－a），解得a＝－2。答案：D專題二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下:(1)確定f(x）的定義域；（2）求導數(shù)f′（x)；(3)由f′（x）＞0(或f′（x）＜0)解出相應的x的范圍．當f′（x)＞0時，f(x）在相應區(qū)間上是增函數(shù);當f′(x）＜0時f(x）在相應區(qū)間上是減函數(shù)．2．已知f（x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(遞減），等價于f′(x)≥0(≤0)在區(qū)間I上恒成立，由此可根據(jù)不等式恒成立求得函數(shù)解析式中所含參數(shù)的取值范圍．3．在利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性的解題過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)通過討論導數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解單調(diào)性的題目時要注意判斷端點能否取到．【例3】已知函數(shù)f(x）＝x2－4x＋（2－a)lnx,a∈R。（1)當a＝8時,求f（x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在［2，＋∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3）若f(x）存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍．解:（1）當a＝8時，f(x)＝x2－4x－6lnx，f′（x)＝2x－4－eq\f（6，x)＝eq\f（2x2－4x－6,x），令f′(x）＞0得x＞3;令f′（x）＜0得0＜x＜3,所以f(x)的增區(qū)間是(3，＋∞)，減區(qū)間是(0，3）．(2）由題意知f′（x）＝2x－4＋eq\f(2－a，x)≥0在[2，＋∞)上恒成立,即a≤2x2－4x＋2。令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，則g(x)在[2,＋∞）上的最小值為g（2)＝2。所以a≤2.(3)依題意f′（x）＝2x－4＋eq\f(2－a，x)＜0在(0，＋∞)上有解，即2x2－4x＋2－a＜0在(0,＋∞）上有解，因此必有Δ＝16－8（2－a)＞0，即a＞0。專題三利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1．求可導函數(shù)f（x)極值的步驟（1)求導數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x）＝0的根；(3)檢驗f′（x)在方程f′(x）＝0的根的左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負,那么函數(shù)y＝f（x）在這個根處取得極大值;如果在根的左側附近為負，右側為正，那么函數(shù)f（x）在這個根處取得極小值．2．函數(shù)的最大值與最小值設y＝f(x）是定義在區(qū)間［a，b]上的函數(shù)，y＝f（x)在(a，b）內(nèi)有導數(shù)，求y＝f(x)在［a，b］上的最大值與最小值,可分兩步進行：（1）求y＝f(x)在（a，b)內(nèi)的極值．(2）將y＝f（x）在各極值點的極值與f(a）,f（b）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．3．利用函數(shù)的導數(shù)求極值和最值主要有兩類題型:一類是給出具體的函數(shù)，直接利用求極值或最值的步驟進行求解．另一類是告訴極值或最值，求參數(shù)的值．【例4】已知函數(shù)f（x）＝ax3＋cx＋d(a≠0）是R上的奇函數(shù)，當x＝1時，f（x）取得極值－2.（1)求f(x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)求證：對任意x1，x2∈(－1，1)，不等式｜f（x1)－f(x2)|＜4恒成立．（1）解:由奇函數(shù)的定義有f(－x）＝－f(x），x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0。因此f（x)＝ax3＋cx，f′（x）＝3ax2＋c。由條件f（1）＝－2為f（x）的極值可知，必有f′(1）＝0，故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋c＝－2，，3a＋c＝0,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,c＝－3。))因此f（x)＝x3－3x，f′（x)＝3x2－3＝3(x＋1)（x－1）．當x∈(－∞，－1)時，f′（x）＞0，故f（x)在（－∞，－1）上是增函數(shù)；當x∈（－1,1)時，f′（x）＜0，故f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)；當x∈（1，＋∞)時，f′（x)＞0，故f(x)在(1，＋∞）上是增函數(shù)．∴f(x）在x＝－1處取得極大值,極大值為f(－1）＝2。(2)證明:由(1)知f(x)＝x3－3x（x∈［－1,1]）是減函數(shù)，且f（x）在［－1，1]上的最大值M＝f（－1)＝2，最小值m＝f（1)＝－2,∴對任意的x1，x2∈(－1，1），恒有|f(x1)－f(x2)｜＜M－m＝2－(－2）＝4。專題四利用導數(shù)研究方程、不等式綜合問題用導數(shù)解決不等式問題主要是指運用導數(shù)求解不等式、比較大小、證明不等式等；用導數(shù)研究方程問題，主要是指根據(jù)方程構造函數(shù)，然后利用導數(shù)，研究得到函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,從而結合函數(shù)圖象來研究方程的根的個數(shù)、大小等問題．這是導數(shù)的重要應用之一，也是高考的重點和熱點內(nèi)容．【例5】已知函數(shù)g（x)＝x－eq\f（1，x）－2lnx.（1）求證：當x≥1時，g（x)≥0恒成立；(2）討論方程x－eq\f(1,x)－g（x）＝2x3－4ex2＋tx根的個數(shù)．(1）證明:因為g（x）＝x－eq\f（1,x）－2lnx，所以g′（x)＝1＋eq\f(1，x2)－eq\f(2，x)＝eq\f（x2－2x＋1，x2）＝eq\f（x－12,x2)≥0，所以g(x)在[1，＋∞)是單調(diào)增函數(shù),所以g（x)≥g(1）＝1－1－2ln1＝0，即g(x)≥0對于x∈[1,＋∞）恒成立．(2）解：由已知得，方程可化為2lnx＝2x3－4ex2＋tx。因為x＞0，所以方程為eq\f(2lnx,x）＝2x2－4ex＋t.令L(x)＝eq\f（2lnx,x），H(x）＝2x2－4ex＋t。因為L′（x)＝2·eq\f（1－lnx，x2)，當x∈(0，e]時,L′(x)≥0，所以L′(x)在(0，e］上為增函數(shù)；x∈［e，＋∞)時，L′（x）≤0,所以L′(x）在[e，＋∞）上為減函數(shù)，所以當x＝e時，L（x）max＝L(e）＝eq\f（2,e）。又H(x)＝2x2－4ex＋t＝2(x－e）