高三一輪數(shù)學(xué)第八章 平面解析幾何

第八章平面解析幾何

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線方程

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

考情分析：直線是解

1理.解直線的傾斜角

2019?全國(guó)ID析幾何中最基本的

和斜率的概念，掌握

卷Zi⑴（直線過(guò)定內(nèi)容，對(duì)直線的考查

過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率

點(diǎn)）一是在選擇題、填空

的計(jì)算公式

2018?全國(guó)n題中考查直線的傾

2.掌握確定直線位

卷⑴（直線方程）斜角、斜率、直線的

置的幾何要素

2017?浙江高方程等基本知識(shí)；二

3.掌握直線方程的

考直線的斜是在解答題中與圓、

幾種形式（點(diǎn)斜式、截

率）幃圓、雙曲線、拋物

距式、兩點(diǎn)式及?般

2014?四川高線等知識(shí)進(jìn)行綜合

式），了解斜截式與一

考了”（最值問(wèn)題）考查

次函數(shù)的關(guān)系

核心素養(yǎng)：直觀想象

教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)

自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀

\\基礎(chǔ)纖）梳理》說(shuō)?*&

1.直線的傾斜角

（1）定義：當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，取大軸作為基準(zhǔn)，”軸正向與直線/向上方向之間所成的角叫做直線/

的傾斜角。

（2）規(guī)定：當(dāng)直線,與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。。

（3）范圍：直線/傾斜角的取值范圍是近303。

2.斜率公式

⑴定義式：直線/的傾斜角為《［a詞，則斜率仁tana。

（2）坐標(biāo)式：Pi（xi，V）,P?（X2,M在直線/上，且X|WX2，則/的斜率左

?檄提蕉?

1.當(dāng)直線的傾斜角為］時(shí)，斜率不存在。

2.斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，即兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時(shí)調(diào)換，就是說(shuō)，如果分

子是J2一y1,那么分母必須是X2一片；反過(guò)來(lái)，如果分子是丫|一）明那么分母必須是即一12。

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式LVP=&*—4())不含垂直于入?軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于x軸的直線

y—y\x—xi不含直線X=JTl（XlX%2）和直

兩點(diǎn)式

yi-y\xi-x\線尸丁心工”）

不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原

截距式灣=1(加0)

點(diǎn)的直線

Ar+8y+C=0

一般式平面內(nèi)所有直線都適用

(A2+52^0)

.儂提醒?

“截距式”中截距不是距離，在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0,若不確定，則需分類討論。

一、常規(guī)題

1.直線X—?。?1=0的傾斜角為（）

A.30°B.45°

C.120°D.150°

解析由題得，直線y=^x+坐的斜率為坐，設(shè)其傾斜角為a,則lan1=殺又（TWa<180。，故a=

30°o故選A。

答案A

2.若過(guò)點(diǎn)P（l—和0（3,勿）的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2,1）B.（-1,2）

C.（-8,0）D.（一8,-2）U（L+~）

2^^1dCL"~"1

解析由題意知々—TZ-<°，即工Z-<。，解得一2<?<1。故選A。

3—1+a2+4

答案A

3.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-5,0）,8（3,-3）,C（0,2）,則BC邊上的中線所在直線的方程為

解析由已知，得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一"，且直線BC邊上的中線過(guò)點(diǎn)A,則8C邊上中線的斜率&

=一去，故邊上的中線所在直線的方程為y+；=一專卜一科，即x+13y+5=0。

答案x+13y+5=0

二、易錯(cuò)題

4.（混淆傾斜角與斜率的關(guān)系）若直線x=2的傾斜角為a,則a的值為（）

A.0B.￡

球D.不存在

解析因?yàn)橹本€x=2垂直于x軸，所以傾斜角a為名

答案C

5.（忽視斜率與截距對(duì)直線的影響）如果4c<0,且8C<0,那么直線At+3y+C=0不經(jīng)過(guò)第

象限。

解析因?yàn)锳GO,BC<0,Ar+Bv+C=0,所以y=一今一,，所以48>0,—^>0,所以一叫<0,所以

直線Ar+B.v+C=0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限。

答案三

6.（忽視截距為0的情況）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4,l）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為。

解析設(shè)直線/在x軸、>軸上的截距均為出若a=0,即/過(guò)點(diǎn)（0,0）和（4,1）,所以/的方程為y=1r,即

xv41

X—4y=0o若a#0,設(shè)/的方程為：+[=1,因?yàn)?過(guò)點(diǎn)（4,1）,所以工+"=1，所以〃=5,所以/的方程為x

+y—5=0。綜上可知，所求直線的方程為x—4），=0或x+y—5=0。

答案x—4），=0或x+y—5=0

考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練

互動(dòng)課堂?考向探究

考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率自主練習(xí)

1.（多選）關(guān)于直線/：小x—y—l=0,下列說(shuō)法正確的有（）

A.過(guò)點(diǎn)（小，-2）B,斜率為小

C.傾斜角為60。D.在y軸上的截距為1

解析對(duì)于A,將（小，一2）代入/:<3x-y-l=0,可知不滿足方程，故A不正確；對(duì)于B,由Jlt-y

-1=0,可得>，=61一1,所以k=小,故B正確；對(duì)于C,由左=正，即tana=5,可得直線傾斜角為60°,

故C正確：對(duì)于D,由小x-y—1=0,可得1y直線在y軸上的極距為一1,故D不正確。故選BC。

答案BC

2.如圖所示，直線八，h，，3的斜率分別為k,k"k”則（）

A.k\<k2<kyB.ky<k\<k2

C.k\<k3<kiD.ky<k，2<k\

解析由題圖可知M<0,k2>k3X),所以la>kAh,故選C.

答案C

3.(2021?石家莊模擬)直線x+(/+l)y+l=O的傾斜角的取值范圍是()

A.[o,用B席,力

c.[o,用唱,q碓3聘，力

解析由直線方程可得該直線的斜率為一昌7]又一IV—/3<0,所以傾斜角的取值范圍是[竽，zcio

答案B

4.若點(diǎn)A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為。

5-3a-3

解析因?yàn)橐詂=^1T=l,kAn=7—7=?—3<,由于A,B,。三點(diǎn)共線，所以。-3=1,即。=4。

答案4

1.傾斜角a與斜率女的關(guān)系

⑴當(dāng)同0,舒時(shí)，咐0,+8),且傾斜角越大，斜率越大。

⑵當(dāng)時(shí)，斜率左不存在。

(3)當(dāng)]￡暫J時(shí)，附一8,0),且傾斜角越大，斜率越大。

2.斜率的兩種求法

⑴定義法：若已知直線的傾斜角a或a的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)％=tana(a考)求斜率。

(2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A3,y),8a2,”)，一般根據(jù)斜率公式&=三￡(兇2也)求斜率。

考點(diǎn)二直線的方程

【例1】求適合下列條件的直線方程。

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4—1,—3),傾斜角等于直線>=3A■的傾斜角的2倍；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(3,4),且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形。

解(1)由已知設(shè)直線y=3x的傾斜角為a,則所求直線的傾斜角為2a。

因?yàn)閘ana=3,所以【an2a=.^^nC!=一?。

1—tanb4

又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4一1,-3),因此所求直線方程為)，+3=一條+1),即3%+4,，+15=0。

(2)由題意可知，所求直線的斜率為±1。

又過(guò)點(diǎn)5(3,4),由點(diǎn)斜式得y—4=±(x—3)o

所求直線的方程為x—5+1=0或x+y—7=0。

1.在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件。

2.對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的

情況：若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)。

【變式訓(xùn)練】(1)過(guò)點(diǎn)A(l,3),斜率是直線y=-4x的斜率的g的直線方程是。

I4

解析設(shè)所求直線的斜率為A,依題意4=-4乂：=一?又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,3),因此所求直線方程為y

-3=-1(x-l),即4x+3y-]3=0。

答案4x+3y-13=0

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程是。

解析當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為或+)=1,將(一5,2)代入所設(shè)方程，解得。=一/所以直

線方程為x+2y+l=0;當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y=H,則-5A=2,解得&=一§所以直線方程為

2

y=一尹，即2x+5y=0。故所求直線方程為2K+5.y=0或.r+2y+1=0。

答案2x+5y=0或x+2y+1=0

考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用

【例2】過(guò)點(diǎn)P(2,l)作直線/,與x軸和.y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B,求:

(DAAOB面積的最小值及此時(shí)直線/的方程；

(2)求直線/在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時(shí)直線/的方程；

⑶求解卜儼8|的最小值及此時(shí)直線/的方程。

解(1)解法一：設(shè)直線/的方程為)，-l=A(x-2),

(2k—11

則可得Oj,8(01一24)。

因?yàn)?與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B,

于是SM用=今|例|08|=；^~^(1—2燈=44一生-40244+2^[^^^|=4。

當(dāng)且僅當(dāng)一(=-44,即仁一；時(shí)，△A08的面積有最小值為4,此時(shí)，直線/的方程為y—1=一；(x—

2),即x+2廠4=0。

rv2I

解法二：設(shè)所求直線/的方程為5=1(>0,力>0),則工+廠1。

21(TI211I

又因?yàn)椋ナ畱?、J不力呼bN4,當(dāng)且僅當(dāng)4=]=/，即a=4,8=2時(shí)，ZkAOB的面枳5=呼心有最小值,

為4o

此時(shí)直線/的方程是點(diǎn)+]=1,即x+2y—4=0。

(2k—\、

(2)解法一：因?yàn)锳l―1—,ol,8(0,1—24)(&<0),

2k-11I7

所以截距之和為一^一+1—2k=3-2&-123+27(-2&)?[一力=3+2啦。

此時(shí)-2&=_|=>左=-￥。

故截距之和的最小值為3+2啦，此時(shí)/的方程為y—1=—乎(x—2),即X+啦y—2—啦=0。

21

解法二：因?yàn)?+]=1，

所以截距之和。+〃=(。+份S+￡=3+§+E》3+2'y^^=3+20。

此時(shí)稱=今求得”=啦+1,。=2+啦。

此時(shí)，直線/的方程為京"+就，7=1°

即x+也)，-2一啦=0。

(2k—1]

(3)因?yàn)樾∫?-,oj,B(0,l—2欠)/<0),

所以|例?|PB|=[,+1.74+4乃='5+(—左)&4。

當(dāng)且僅當(dāng)一k=—即&=-I時(shí)，上式等號(hào)成立。

故|附卜『用的最小值為4,此時(shí)，直線/的方程為x+y-3=()。

利用最值取得的條件求解直線方程，一般涉及函數(shù)思想即建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)其結(jié)構(gòu)求最值，有時(shí)也涉

及基本不等式，何時(shí)取等號(hào)，一定要弄清。

【變式訓(xùn)練】(1)(多選)已知直線/的一個(gè)方向向量為“=[一坐，3，且/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2),則下列結(jié)論

中正確的是()

A./的傾斜角等于150。

B./在x軸上的截距等于學(xué)

C./與直線小x-3y+2=0垂直

D./上不存在與原點(diǎn)距離等于孑的點(diǎn)

1

2

解析由已知得直線/的斜率*=—近=一小，設(shè)其傾斜角為仇則tan。=一小，所以。=120。，故A

一6

錯(cuò)誤；直線/的方程為），+2=一小（\一1）,叭屈+），+2—/=0,所以它在x軸上的截距等于1一￥，故B

錯(cuò)誤：直線仍工一3丁+2=0的斜率為坐，坐乂（一5）=一1,所以兩直線垂直，故C正確：原點(diǎn)到直線/的距

離d=l一乎苗，即/上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最小距離大于3故/上不存在與原點(diǎn)距離等于1的點(diǎn)，D正確。故選CD。

答案CD

（2）（2021?八省聯(lián)考）若正方形?條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分

別為,。

解析建立如圖直角坐標(biāo)系，正方形0ABe中，對(duì)角線。8所在直線的斜率為2,設(shè)對(duì)角線所在直線

的傾斜角為仇則tan0=2,由正方形性質(zhì)可知，直線04的傾斜角為。一45。，直線OC的傾斜角為。+45。，

,tan。—tan4502—1I”

故&<w=tan（e_450）=[十⑦,為45°=TT^=3'又%內(nèi)癡=—1,所以koc=13。

答案1-3

區(qū)教師備用題

【例1】（配合考點(diǎn)一使用）（1）直線Zrcosa—y—3=0（aeR,與。的傾斜角的取值范圍是（）

I'兀兀3[]cB.C[兀z，兀3]

區(qū)

。C?⑷2-1]D叫[4-，3-1」

解析直線2xcos。一廠3=0的斜率A=2cosa,因?yàn)閍w]親,，所以;WcosaW坐，因此Z=2cosaW

[I,小]。設(shè)直線的傾斜角為2則有tanJW”,小%又。￡[0,冗），所以。￡用外。即傾斜角的取值范圍是

IM]。

答案B

⑵直線/過(guò)點(diǎn)P（l,0）,且與以421）,W0,5）為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直線/斜率的取值范圍為o

解析設(shè)見與尸8的傾斜角分別為a,從直線外的斜率是公/>=1,直線PB的斜率是&即=一/，當(dāng)直

線/由以變化到與y軸平行的位置PC時(shí)，它的傾斜角由a增至90°,斜率的取值范圍為[1,+~）o當(dāng)直線

/由PC變化到P3的位置時(shí)，它的傾斜角由90。增至四斜率的變化范圍是（一8,一啊。故直線/斜率的取

值范圍是（一8,—yj3]U[1,+0°）o

答案（一8,-V3]U[1,+8）

【例2】（配合例1使用）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4（8,0）,以。A為直徑的圓與直線y=2x

在第一象限的交點(diǎn)為8,則直線48的方程為（）

A.x+2廠8=0B.x-2y-8=0

C.2r+y—16=0D.2A—y—16=0

解析解法一：如圖，由題意知08_LAB,因?yàn)橹本€。8的方程為）=2x,所以直線A8的斜率為一宗因

為A（8.0）,所以直線的方程為），-0=一;。-8）,即x+2y-8=0,故選A。

](x—4)2+)。=16,

解法二：依題意，以0A為直徑的圓的方程為。一4戶+產(chǎn)=脂，解方程組

J=2x,

16

或｛：_；(舍去)，即碓，號(hào))，因?yàn)?8,0),所以M8=，一=一；,所以直線A8的方程為廠0=一/一

L

8),即\+2)，-8=0。故選A。

答案A

第二節(jié)兩條直線的交點(diǎn)與距離公式

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

考情分析：本節(jié)知識(shí)

高考要求難度不高，

一般從下面三個(gè)方

1.能用解方程組的方

面命題：一是利用直

法求兩條相交直線

線方程判定兩條直

的交點(diǎn)坐標(biāo)2018?北京高考T(點(diǎn)

線的位置關(guān)系；二是

2.掌握點(diǎn)到直線的到直線距離的最大

利用兩條直線間的

距離公式，會(huì)求兩平值)

位置關(guān)系求直線方

行直線間的距離2016,全國(guó)n卷14(點(diǎn)

程；三是綜合運(yùn)用直

3.能根據(jù)兩條直線到直線的距離)

線的知識(shí)解決諸如

的斜率判斷這兩條

中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等

直線平行或垂直

常見的題目，但大都

是以客觀題出現(xiàn)

核心素養(yǎng)：直觀想象

教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)

自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀

基、O沙梳理4立心*?K懈&.

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線/”/2,其斜率分別為木，依，則有/1〃/2臺(tái)后=依。特別地，當(dāng)

直線小，2的斜率都不存在時(shí)，人與/2平行。

與Ax+8y+C=0平行的直線，可設(shè)為Ar+8y+/〃=0(〃?WC)。

(2)兩條直線垂直：如果兩條直線小/2斜率存在，設(shè)為觴，公，則/1JJ2O條令=-1。特別地，當(dāng)一條直

線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩直線垂直.

與Ax+By+C=0垂直的直線可設(shè)為8X—AN+〃=0。

2.兩直線相交

ph1+3y+G=0,

(1)交點(diǎn)：直線/i：Aix+Biy+G=0和/2：AM+&)，+C2=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組

|A2x+52y+C2=0

的解一一對(duì)應(yīng)。

(2)相交0方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。

(3)平行分方程組無(wú)解。

(4)重合臺(tái)方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解。

3.三種距離公式

⑴點(diǎn)A(M,yi),8(x2,v)間的距離為|4陰=

、/(X2-X|)2+(V2-W)2。

(2)點(diǎn)P(xo,州)到直線/：Ar+?+C=0的距離為

lAxo+Bvo+C

d=

匕一GI

(3)兩平行直線/1：Ar+By+G=0與A：Av+8_y+C2=0(CiWCz)間的距離為d=,

4.對(duì)稱問(wèn)題

(1)點(diǎn)打&，他)關(guān)于點(diǎn)A(a,。)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2。一為＞,2/)一而。

X—X<)

⑵設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于直線)，=履+8的對(duì)稱點(diǎn)為P'(/,V),則有〈,可求

y+)心J+-vo.,

—、—=K-——十b,

1

出x',yP

?微提醒?

1.兩直線平行或重合的充要條件

直線4：4x+&y+G=0與直線，2：AM+&y+C2=0平行或重合的充要條件是4由2—4辦=0。

2.兩直線垂直的充要條件

直線hAix+S)，+G=0與直線心：AM+&y+C2=0垂直的充要條件是44+8由2=0。

3.點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先將直線方程化為一般式。

(2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將直線方程化為一般式且K,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

\\小堰改演練?卜登；*及?ttzil.

一、常規(guī)題

1.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x-2>-2=0平行的直線方程是()

A.x—2y—1=0B.x—2y+l=0

C.2x+y-2=0D.3+2)，-1=0

解析設(shè)所求直線為x—2y+c=0。直線過(guò)點(diǎn)(1,0),所以I—0+c=0,c=-1。故選A。

答案A

2.若直線at+y+5=0與x-2y+7=0垂直，則實(shí)數(shù)〃的值為()

A.2B.；

C.~2D.一；

答案A

3.已知點(diǎn)3,2)到直線x-y+3=0的距離為1,則〃=o

解析由題意得［誓=1。解得〃=-1+啦或4=一1一0。

答案一1七也

二、易錯(cuò)題

4.(忽視斜率不存在的情況)若直線(3?+2)x+(l-44)y+8=0與(54—2)%+(°+4?—7=()垂直，則a=

解析由兩直線垂直的充要條件，得(3〃+2)(5〃一2)+(1—4/3+4)=(),解得“=0或〃=1。

答案?；?

5.(忽視平行線間系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系)直線2Y+2Y+1=0,x+)，+2=0之間的距離是。

.2-1?叵

解析先將2x+2y+l=0化為x+y+/=0,則兩平行線間的距離d—=4^°

答案呼

6.(不會(huì)求定點(diǎn))直線y=kx—k-2恒過(guò)定點(diǎn)。

解析y=k.x-k-2=k(x-\)-2,所以直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,一2)。

答案(1,-2)

考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練

互動(dòng)課堂?考向探究

考點(diǎn)一兩條直線的平行與垂直關(guān)系自主練習(xí)

1.直線/i：wir-2y+1=0?/2：I=0,則=2"是"h〃h”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由八〃，2得一加(加-1)=1X(—2),得〃?=2或〃?=—1,經(jīng)臉證，當(dāng)m=-1時(shí)，直線A與乙重合，

舍去，所以“〃z=2”是“h〃h”的充要條件。

答案C

2.(多選)已知直線/］：/+紗+1=(),，2：or+(a+2)y+2=0,若/1JJ2，則實(shí)數(shù)〃=()

A.-1B.0

C.2D.-3

解析由知a+a(a+2)=0,解得。=0或〃=一3。故選BD。

答案BD

3.已知直線，I：or+2y+6=0和直線八：X+(。-1)丁+/—1=0,則當(dāng)/“人時(shí)，〃的值為。

解析當(dāng)a=l時(shí)，/］：x+2y+6=0,A:x=0,/1不平行于A;當(dāng)。=0時(shí)，八：.v=-3,I21%—y—1=0,

八不平行于12；當(dāng)aWl且aKO時(shí)，兩直線方程可化為八：y=—^x—3?I2：、=］71產(chǎn)一3+1),由八〃/2可得

ra_1

'2\—a'解得〃=—1。綜上可知，6(=—

、一3#一5+1),

答案一1

格立曰3用

判定兩直線平行與垂直的兩種思路

\k\=ki,

1.若直線/1和上有斜截式方程hy=hx+bi,/：y=ht+b2,則直線/I_L/2的充要條

2IbiW歷，

件是女》2=—1。

2.設(shè)h4x+8y+G=0,6：4以+82y+。2=0,則八〃/?的必要條件是4%=42用(不充分)；/I±/2OAIA2

+5及=0。

考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)

【例1】(1)求證：動(dòng)直線(加+2機(jī)+3)x+(l+〃?一標(biāo))y+31/+i=o(其中/〃￡R)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)

坐標(biāo)。

解解法一：令m=0,則直線方程為

3x+v+l=0①。

再令加=1時(shí)，直線方程為6x+y+4=0②。

(3x+y+1=0,lx=-1,

①和②聯(lián)立方程組,得

l6x+y+4=0,|v=2o

將點(diǎn)A(-l,2)代入動(dòng)直線(〃尸+2m+3)x+(l+加一52?+3m2+1=0中，

(wr+2/n+3)X(-1)+(1+m-m2)X2+3wr+l=(3-l-2)m2+(-2+2)m+24-1-3=0,

22

故此點(diǎn)A(—1,2)坐標(biāo)恒滿足動(dòng)直線方程，所以動(dòng)直線(〃?2+2〃7+3)<￥+(1+/〃一/?7?+3//7+1=0恒過(guò)定點(diǎn)

A(—1,2)。

解法二：將動(dòng)直線方程按機(jī)降賽排列整理，得加2?！?gt;+3)+機(jī)(2x+y)+3x+.y+l=0①，

不論用為何實(shí)數(shù)，①式恒為零，

X-y4-3=0,

v=-1,

所以有，2x+y=0,解得

卜=2。

3x+y+l=0,

故動(dòng)直線恒過(guò)點(diǎn)A(—1,2)。

⑵求經(jīng)過(guò)兩條直線2x+3y+1=0和/一3丹4=0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x+4廠7=0的直線方程。

|2x+3），+l=0,

解解法一：由方程組，|x-3y+4=0,

f5

x

~~y所以交點(diǎn)為卜I,4。

解得q7

卜=0。

因?yàn)樗笾本€與3x+4)，-7=0垂直,

4

所以所求直線的斜率&=示

由點(diǎn)斜式，得y—3=gx+|)。

故所求直線的方程為4x-3y+9=Oo

解法二：設(shè)所求直線的方程為4x-3y+〃i=0。

將解法一中求得的交點(diǎn)坐標(biāo)卜.斗代人上式得4X^—3X^4-,??=0o

所以m=9o

故所求直線的方程為4x-3y+9=0o

解法三：設(shè)所求直線的方程為(2x+3y+l)+*x-3)，+4)=0。

即(2+%)x+(3-3Qy+1+42=0①。

又因?yàn)橹本€①與3x+4y-7=0垂直。

則有3(2+3+4(3—3力=0,所以2=2。

代人①式得所求直線的方程為4x-3y+9=0o

1.過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解決方法

(1)找過(guò)定點(diǎn)的兩條特殊直線方程，求其交點(diǎn)即可。

(2)提取參數(shù)，令參數(shù)的系數(shù)為0。

2.求過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法

(1)列方程組解出交點(diǎn)，根據(jù)條件求出直線方程。

(2)采用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程求解。

【變式訓(xùn)練】(I)方程僅一1M一y+2.+1=0(〃￡對(duì)所表示的直線恒過(guò)()

A.定點(diǎn)(一2,3)B.定點(diǎn)(2,3)

(2.點(diǎn)(一2,3)和點(diǎn)(2,3)D.點(diǎn)(一2,3)和點(diǎn)(3,2)

Iy+1=0,fx==-2,

解析他一l)x—y+2a+1=()可化為一x—y+1+a(x+2)=0,由［.'得］。

b+2=0,ly=3。

答案A

(2)經(jīng)過(guò)兩直線小工一2)，+4=0和%X+丁一2=0的交點(diǎn)尸，且與直線出3尸-4)，+5=0垂直的直線/的

方程為。

卜一2v+4=0,［x=0,4

解析由方程組,'得「即P(0,2)o因?yàn)?，氏所以直線/的斜率攵=一大所以直

lx+y—2=0,ly=2,3

4

線/的方程為y—2=一稈，即4x+3y—6=0。

答案4x+3y-6=0

考點(diǎn)三距離問(wèn)題

【例2】(1)當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線機(jī)r—y+l—2m=0的距離最大時(shí)，〃?的值為()

A.3B.0

C.-1D.1

解析〃口一卜+1-2m=0可化為丁=〃7(彳-2)+1,故該直線過(guò)定點(diǎn)0(2,1),當(dāng)直線PQ和直線相氏-y+1

2—1

—2w=0垂直時(shí)，點(diǎn)P到直線mx—y+\—2m=0的距離取得最大值，此時(shí)m-kpQ=_^=m-1=—1,解得

m=—1o故選C。

答案C

(2)兩條平行直線3x+4廠2=0,3x+4廠12=0之間的距離是()

A.2B?中

C.275D.5

1一2一(一⑵|

解析由兩平行直線間的距離公式可得所求距離d==2o故選Ao

答案A

1.點(diǎn)到直線的距離可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式去求，注意直線方程應(yīng)為一般式。

2.運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d=多瑞的前提是兩直線方程中的x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

【變式訓(xùn)練】(1)己知點(diǎn)P(4,a)到直線41一3)，-1=0的距離不大于3,則。的取值范圍是。

解析點(diǎn)P到直線4x_3y-］=()的距離為口X4―；Xa_"=ll5：M!,由"1網(wǎng)高,即|15—3。壓］5,

得OWaWlO,所以”的取值范圍是［0,10］。

答案［0,10］

(2)若兩平行直線3x-2y—I=0,6x+ay+e=0之間的距離為喟，則c的值是。

64cC

解析依題意知，=解得。=—4,cW—2。由6x+〃y+c=0,可得3%—2y+2=0,又兩平

Ic?|

行直線之間的距離為2出，所以］：>=外￥，解得。=2或c=-6o

13y/32+(-2)213

答案2或一6

考點(diǎn)四對(duì)稱問(wèn)題微專題

微考向I：基本的對(duì)稱問(wèn)題

【例3】已知直線/：2x~3y+1=0,點(diǎn)4(—1,—2)。求：

(1)點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)；

(2)直線〃?：3x—2y—6=0關(guān)于直線/的對(duì)稱直線加’的方程：

(3)直線/關(guān)于點(diǎn)A(—1,一2)對(duì)稱的直線/'的方程。

解(1)設(shè)4'(局y),由已知

fj+TX3=->'p=-l3'

V.c解得，d

［2x亍-3xq+1=0,(7=75。

所以M(-73'制"

(2)在直線機(jī)上取一點(diǎn)M(2,0),則M2,0)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)M'必在直線〃/上。

設(shè)M'(a,b),則

解得“信簿

設(shè)直線機(jī)與直線/的交點(diǎn)為N,

3y+l=0,

則由、,A-n得M43)。

［3x—6=0,

又因?yàn)橛?經(jīng)過(guò)點(diǎn)M4,3),

所以由兩點(diǎn)式得直線加'的方程為9x-46y+102=0o

(3)設(shè)P(x,y)為I'上任意一點(diǎn)，

則尸(x,y)關(guān)于點(diǎn)4-1,-2)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(一2一招一4一)，)，因?yàn)槭?在直線/上,

所以2(—2—%)-3(一4一)，)+1=0,

即2r-3y-9=0?

解決兩類對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵

解決中心對(duì)稱問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題，

在求對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵要抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即

抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解。

微考向2：對(duì)稱的應(yīng)用

【例4】光線從點(diǎn)4一4,-2)射出，射到直線y=x上的點(diǎn)B后被直線y=x反射到)，軸上的點(diǎn)C,又

被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)。(一1,6),求3c所在的直線方程。

解作出大致圖象，如圖所示，設(shè)4關(guān)于直線y=.i的對(duì)稱點(diǎn)為A',D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為O',則易

得A'(―2,—4),(1,6)。

由人射角等于反射角可得A'D'所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)8與C。

v+4r+2

故8c所在的直線方程為壓“=首

即10A-3y+8=0o

光線反射問(wèn)題具有入射角等于反射角的特點(diǎn)，有兩種對(duì)稱關(guān)系，一是入射光線與反射光線關(guān)于過(guò)反射點(diǎn)

且與反射軸垂直的直線（法線）對(duì)稱，二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對(duì)稱。

【題組對(duì)點(diǎn)練】

1.（微考向1）若點(diǎn)3,b）關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，則a,b滿足的條件為（）

A.4a+3/?=0B.34+43=0

C.2。+3力=0D.3〃+2A=0

b—0

17X2=T,

解析設(shè)點(diǎn)、（4,A）關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為&（））,則有?解得4〃+3b=0。故選A。

。+0

=2X-^-,

答案A

2.（微考向2）已知點(diǎn)A（4,-1）,8（8,2）和直線/：X—），-1=0,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）在直線/上，則|附十|P用的

最小值是。

解析設(shè)點(diǎn)Ai與A關(guān)于直線/對(duì)稱，島為48與直線,/的交點(diǎn)，所以|PoAi|=|PoA|,照i|=|幺|。在△AiPB

中，|以i|+|P812Hl陰=|AR|+|Po陽(yáng)=因川+島陰，所以|陽(yáng)+|戶身冽外川+儼。陰=網(wǎng)用。當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到H）時(shí)，

照|十|P8|取得最小值向陰。設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為4（xi,yi）,則由對(duì)稱的充要條件知，

>1±1

xi—4-，