平面問題有限元解法(公式推導(dǎo)講解)

平面問題的有限單元解法10/20/2024南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系有限單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)的求解域）離散成有限個且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合，來模擬或逼近原來的物體，從而將一個連續(xù)的無限自由度問題簡化為離散的有限自由度問題求解的一種數(shù)值分析法。物體被離散后，通過對其中各個單元進行單元分析，最終得到對整個物體的分析。有限單元法的分析步驟如下：物體離散化單元特性分析單元組集，整體分析求解未知節(jié)點的位移由節(jié)點的位移求解各單元的位移和應(yīng)力10/20/2024有限元單元模型中幾個重要概念單元網(wǎng)格劃分中每一個小的塊體節(jié)點確定單元形狀、單元之間相互聯(lián)結(jié)的點節(jié)點力單元上節(jié)點處的結(jié)構(gòu)內(nèi)力載荷作用在單元節(jié)點上的外力（集中力、分布力）約束限制某些節(jié)點的某些自由度彈性模量（楊式模量）E泊松比（橫向變形系數(shù)）μ密度單元單元載荷節(jié)點節(jié)點力約束10/20/20241.研究內(nèi)容內(nèi)容：彈性體在外力或溫度作用下的應(yīng)力、變形、位移等分布規(guī)律。

任務(wù)：解決彈性體的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。

彈性力學的內(nèi)容及基本假定2.研究對象一般彈性實體結(jié)構(gòu)：三維彈性固體、板狀結(jié)構(gòu)、桿件等10/20/2024彈性力學的內(nèi)容及基本假定3.研究方法由平衡方程、幾何方程、物理方程三方面分析4.數(shù)學理論基礎(chǔ)——偏微分方程（高階，二、三個變量）數(shù)值解法：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。10/20/2024彈性力學的內(nèi)容及基本假定5.基本假定（1）.連續(xù)性假定整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐標的連續(xù)函數(shù)。10/20/2024彈性力學的內(nèi)容及基本假定（2）.完全彈性假定

假定物體完全服從虎克（Hooke）定律，應(yīng)力與應(yīng)變間成線性比例關(guān)系。脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線彈性的。（3）.均勻性假定

假定整個物體是由同一種材料組成的，各部分材料性質(zhì)相同。作用：彈性常數(shù)（E、μ）等——不隨位置坐標而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個物體。10/20/2024彈性力學的內(nèi)容及基本假定（4）.各向同性假定（5）.小變形假定

假定物體內(nèi)一點的力學性質(zhì)在所有各個方向都相同。作用：彈性常數(shù)（E、μ）——不隨坐標方向而變化；

假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點位移遠遠小于物體的原來的尺寸。作用：建立方程時，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。使求解的方程線性化。10/20/2024基本概念：外力、應(yīng)力、形變、位移。1.外力：體力、面力(1)體力——分布在物體體積內(nèi)的力——體力分布集度（矢量）xyzO單位：N/m3kN/m3說明：f是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；彈性力學中的幾個基本概念p10/20/2024(2)面力——分布在物體表面的力——面力分布集度（矢量）xyzO單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說明：彈性力學中的幾個基本概念是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；p10/20/20242.應(yīng)力(1)一點應(yīng)力的概念ΔAΔF內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考慮)P截面上P點的應(yīng)力應(yīng)力矢量.的極限方向應(yīng)力分量n(法線)應(yīng)力的法向分量——正應(yīng)力應(yīng)力的切向分量——切應(yīng)力單位:MPa(兆帕)應(yīng)力關(guān)于坐標連續(xù)分布彈性力學中的幾個基本概念10/20/2024(2)一點的應(yīng)力狀態(tài)通過一點P的各個面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：彈性力學中的幾個基本概念10/20/2024用矩陣表示：其中，只有6個量獨立。切應(yīng)力互等定理應(yīng)力正負號的規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負。切應(yīng)力——坐標正面上，與坐標正向一致時為正；坐標負面上，與坐標正向相反時為正。xyzO彈性力學中的幾個基本概念10/20/20243.形變形變——物體的形狀改變xyzO（1）線段長度的改變（2）兩線段間夾角的改變。PBCA——用正應(yīng)變ε度量——切應(yīng)變γ度量（切應(yīng)變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個方向的正應(yīng)變：三個平面內(nèi)的切應(yīng)變：(1)一點形變的度量應(yīng)變的正負：正應(yīng)變：伸長時為正，縮短時為負；切應(yīng)變：以直角變小時為正，變大時為負；彈性力學中的幾個基本概念10/20/2024(2)一點應(yīng)變狀態(tài)其中應(yīng)變無量綱；4.位移注：一點的位移——矢量S應(yīng)變分量均為位置坐標的函數(shù)xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移

分量；v——y方向的位移

分量；w——z方向的位移

分量。量綱：m或mm彈性力學中的幾個基本概念10/20/2024工程力學問題建立力學模型的過程中，一般從三方面進行簡化：結(jié)構(gòu)簡化如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實體結(jié)構(gòu)向板、殼結(jié)構(gòu)的簡化。受力簡化如：根據(jù)圣維南原理，復(fù)雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據(jù)各向同性、連續(xù)、均勻等假設(shè)進行簡化。10/20/2024平面問題的基本理論任何一個實際的彈性力學問題都是空間問題，但是如果所考察的彈性體具有某種特殊的形狀，并且承受的是某些特殊的外力和約束，就可以把空間問題簡化為近似的平面問題。兩種典型的平面問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題10/20/2024平面應(yīng)力問題(1)幾何特征xyyztba一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿

z

方向不變化。10/20/2024xyyztba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標系，以板的中面為xy

平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J為整個薄板的各點都有：由切應(yīng)力互等定理，有結(jié)論：平面應(yīng)力問題只有三個應(yīng)力分量：xy應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。10/20/2024平面應(yīng)變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認為無限長(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標系：以任一橫截面為xy

面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向為無限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面10/20/2024水壩任一橫截面均可視為對稱面，則有所有各點的位移矢量都平行于xy平面?！矫嫖灰茊栴}——平面應(yīng)變問題注：平面應(yīng)變問題中但是，10/20/2024如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題非平面問題10/20/2024三大基本方程根據(jù)靜力學、幾何學和物理學三方面條件，建立三套方程。平面問題中，根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程：

(1-1)根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程：

(1-2)根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程：

(1-3)(1-3‘)10/20/2024平衡微分方程從彈性體中取出一個微分體，根據(jù)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的平衡微分方程。從彈性體中取出一個微小的正平行六面體，它在x和y方向的尺寸分別為dx和dy，在z方向的尺寸為一個單位長度。以x為投影軸，列出投影的平衡方程：約簡以后，兩邊除以dxdy，得：同理，以y為投影軸，列出投影的平衡方程，化簡得：10/20/2024幾何方程經(jīng)過彈性體內(nèi)的任意一點P，沿x軸和y軸的正方向取兩個微小長度的線段PA＝dx和PB＝dy。假定彈性體受力后，P,A,B三點分別移動到P’,A’,B’.線段PA的正應(yīng)變是：注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸縮，是高一階微量，略去不計。線段PB的正應(yīng)變是：線段PA與

PB之間的直角的改變，即切應(yīng)變線段PA的轉(zhuǎn)角α是：線段PB的轉(zhuǎn)角β是：10/20/2024物理方程在理想的彈性體中，形變分量和應(yīng)力分量之間的關(guān)系，在材料力學根據(jù)胡克定律導(dǎo)出如下：在平面應(yīng)力問題中，式變?yōu)椋涸谄矫鎽?yīng)變問題中，只要將上式中的E換為，μ換為就得到平面應(yīng)變問題的物理方程。10/20/2024假定已知任一點P處坐標面上的應(yīng)力分量σx，σ

y

，τxy=τyx

。求經(jīng)過該點的，平行于z軸而傾斜于x軸和

y軸的任何傾斜面上應(yīng)力。在P點附近取一個平面AB，它平行于上述斜面，并經(jīng)過P點劃出一個微小的三棱柱PAB。當AB無限小而趨于P點時，平面AB上的應(yīng)力就成為斜面上的應(yīng)力。平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)斜面AB

的長度為ds，則PB面及PA面的長度分別為

lds及mds，而PAB的面積為

ldsmds/2，棱柱的厚度設(shè)為1。由x軸平衡條件，得：其中，fx為體力分量。將上式除以ds，并令ds趨于0（斜面AB趨于P點），即得：由y軸平衡條件，得：用n表示斜面AB的外法線方向，其方向余弦為：10/20/2024邊界條件若在su部分邊界上給定了約束位移分量和，則對于此邊界上的每一點，位移函數(shù)u和v應(yīng)滿足條件：其中（u）s和（v）s

是位移的邊界值，和在邊界上是坐標的已知函數(shù)。邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：若在su部分邊界上給定了面力和，則由平衡條件得出平面應(yīng)力問題的應(yīng)力(或面力）邊界條件為：其中，l,m是邊界面外法線的方向余弦。10/20/2024圣維南原理在求解彈性力學問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程，還必須滿足邊界上的邊界條件。但是，要使邊界條件得到完全滿足，往往遇到很大的困難。圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大方便。圣維南原理表明，如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。10/20/2024圣維南原理的應(yīng)用例，設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F（a）。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，則只有虛線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變，而其余部分所受影響是可以不計的。由于（d）圖中，面力連續(xù)分布，邊界條件簡單，應(yīng)力容易求得。其它三種情況，應(yīng)力難以求得。把d情況下的應(yīng)力解答應(yīng)用到其它三個情況，雖不能滿足兩端的應(yīng)力邊界條件，但仍然可以表明離桿端較遠處的應(yīng)力狀態(tài)，沒有顯著的誤差。圖e，構(gòu)件右端有位移邊界條件，，d情況的解答，不能滿足位移邊界條件，但e圖右端的面力，一定是合成為經(jīng)過截面形心的力F。所以把圖d情況的解答應(yīng)用于圖e時，仍然只是在靠近兩端處有顯著的誤差，而在離兩端較遠之處，誤差可以不計。10/20/2024圣維南原理的應(yīng)用例，厚度δ=1的梁中，左右兩端x=±l，的邊界面是正、負x面，其上作用有一般分布的面力±

。按照嚴格的應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力分量在邊界上滿足：上式要求在邊界上y值不同的各點，應(yīng)力分量與對應(yīng)的面力分量必須處處相等，這種嚴格的條件是較難滿足的。當l>>h時，x=±l

是梁的邊界的一小部分，可以應(yīng)用圣維南原理，利用靜力等效條件來代替，即，使應(yīng)力的主矢量和主矩分別等于對應(yīng)的面力的主矢量和主矩。10/20/2024圣維南原理的應(yīng)用應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對值分別等于面力的主矢量和主矩的絕對值；面力的主矢量和主矩的方向就是應(yīng)力的主矢量和主矩的方向。10/20/2024按位移法求解平面問題以上幾節(jié)已經(jīng)建立了彈性力學平面問題的基本方程和邊界條件，即：平衡微分方程、幾何方程和物理方程，以及位移的邊界條件和應(yīng)力的邊界條件。求解彈性力學平面問題即求解3個應(yīng)力分量、3個形變分量及2個位移分量的未知函數(shù)。通常采用類似于代數(shù)方程中消元法進行求解。按位移求解的方法，稱為位移法。它以位移分量為基本未知函數(shù)。按應(yīng)力求解的方法，稱為應(yīng)力法。它以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。10/20/2024按位移法求解平面問題平面問題中，取位移分量u和v為基本未知函數(shù)。從方程中消去形變分量和應(yīng)力分量：將幾何方程代入上式利用平衡微分方程和邊界條件，導(dǎo)出用位移表示的平衡微分方程：10/20/2024按位移法求解平面問題利用應(yīng)力邊界條件得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件其中：位移邊界條件如（1-4）不變按位移法求解平面應(yīng)力問題時，要使位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程，在邊界上滿足位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件。10/20/2024按位移法求解平面問題（例題）設(shè)有如圖所示的桿件，在y方向的上端為固定，而下端為自由，受自重體力fx＝0，fy＝ρg的作用。試用位移法求解此問題。解：將這個問題簡化為一維問題處理。設(shè)u=0,v=v(y)，泊松比μ＝0。代入位移表示的平衡微分方程，得：第一式自然滿足，第二式成為：解出：10/20/2024按位移法求解平面問題（例題）設(shè)有左圖所示的桿件，在y方向的上端為固定，而下端為自由，受自重體力fx＝0，fy＝ρg的作用。試用位移法求解此問題。解出：上下邊的邊界條件分別要求：將（a）式代入（b）式得：B＝0，再代入（c）式，即得：得到解答：10/20/2024有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化

將結(jié)構(gòu)分成有限個小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析的第一步，關(guān)系到計算精度和效率，包括以下三個方面：單元類型的選擇。選定單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點數(shù)、節(jié)點自由度數(shù)等。單元劃分。網(wǎng)格劃分越細，節(jié)點越多，計算結(jié)果越精確，但計算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計算精度提高就不明顯，對應(yīng)應(yīng)力變化平緩區(qū)域不必要細分網(wǎng)格。節(jié)點編碼。

注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。用有限元分析計算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。平面問題有限單元法基本概念10/20/2024有限元單元法分析步驟（二）單元特性分析

選擇未知量模式選擇節(jié)點位移作為基本未知量時，稱為位移法；選節(jié)點力作為基本未知量時，稱為力法；取一部分節(jié)點位移和一部分節(jié)點力作為未知量，稱為混合法。分析單元力學性質(zhì)根據(jù)單元材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移關(guān)系式，應(yīng)用幾何方程和物理方程建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元剛度矩陣。計算等效節(jié)點力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，即用等效力來替代所有作用在單元上的力。10/20/2024有限元單元法分析步驟（三）整體分析集成整體節(jié)點載荷矢量F。結(jié)構(gòu)離散化后，單元之間通過節(jié)點傳遞力，作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，形成等效節(jié)點載荷。將所有節(jié)點載荷按照整體節(jié)點編碼順序組集成整體節(jié)點載荷矢量。組成整體剛度矩陣K

，得到總體平衡方程：引進邊界約束條件，解總體平衡方程求出節(jié)點位移。

通過上述分析可以看出有限單元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進行單元分析，合是為了對整體的結(jié)構(gòu)進行綜合分析。10/20/2024有限單元法中基本量的矩陣表示有限單元法(FEM)中，為了簡潔清晰地表示各個基本量以及它們之間的關(guān)系，也為了便于編制程序利用計算機進行計算，廣泛采用矩陣表示和矩陣運算。平面問題中，物體受體力，可用體力列陣表示：

(1)物體受面力，可用面力列陣表示：

(2)3個應(yīng)力分量的應(yīng)力列陣表示：(3)3個形變分量的應(yīng)變列陣表示：(4)2個位移分量的位移列陣表示：

(5)10/20/2024彈性力學中基本方程的矩陣表示幾何方程的矩陣表示為：

(6)物理方程矩陣表示為：

(7)

利用應(yīng)力列陣和應(yīng)變列陣（3）、（4）得：

(8)其中矩陣

(9)只與彈性常數(shù)E及μ有關(guān)，稱為平面問題的彈性矩陣。10/20/2024虛位移原理用u*和v*表示虛位移，用表示與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變。根據(jù)虛功方程：處于平衡狀態(tài)的變形體，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。對于厚度為t的薄板，虛功方程可用矩陣表示為：其中，分別為體力列陣，面力列陣和應(yīng)力列陣。為虛位移列陣有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以作用于某些點的等效集中力來代替。在厚度為t的薄板上，設(shè)作用于i點的集中力沿x及y方向的分量為Fix,

Fiy,作用于j點的力為Fjx,

Fjy等。這些集中力以及它們相應(yīng)的虛位移用列陣表示為：為虛應(yīng)變列陣10/20/2024虛位移原理(續(xù))代入虛功方程，得：上式為集中力作用下的虛功方程。集中力列陣（13）虛位移列陣（14）外力在虛位移上所做的功為：10/20/2024（1）取三角形單元的節(jié)點位移為基本未知量：

(a)其中，

稱為單元的節(jié)點位移列陣；（2）應(yīng)用插值公式，由單元節(jié)點位移求出單元的位移函數(shù)：

(b)其中，N稱為形函數(shù)矩陣；（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的節(jié)點位移求出單元的應(yīng)變：

(c)

其中，B是表示與之間關(guān)系的矩陣；

三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟10/20/2024

(f)其中，F(xiàn)e

是單元的節(jié)點力，k稱為單元勁度列陣；

對三角形板單元，節(jié)點力為：

(e)

（5）應(yīng)用虛功方程，導(dǎo)出單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。對右圖中的i節(jié)點：節(jié)點對單元的作用力為節(jié)點力，作用于單元上。三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（4）應(yīng)用物理方程，由單元的節(jié)點位移求出單元的應(yīng)力：

(d)其中，S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣；

Fe是作用于單元的外力，此外，單元內(nèi)部還作用有應(yīng)力。根據(jù)虛功方程，從而得到節(jié)點力的公式：10/20/2024（7）列出各節(jié)點的平衡方程，組成整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。由于節(jié)點i受有環(huán)繞節(jié)點的單元移置而來的節(jié)點載荷和節(jié)點力因而i節(jié)點的平衡方程為：

（i=1,2,…,n）

(h)三角形單元離散化結(jié)構(gòu)分析步驟(續(xù)）（6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的外力載荷向節(jié)點移置，化為節(jié)點載荷（即求出單元的節(jié)點載荷）：

(g)

將（f）代入（h），整理得：（j)

其中，K稱為整體剛度矩陣，F(xiàn)L是整體節(jié)點載荷列陣，δ是整體節(jié)點位移列陣。

在上述求解步驟中，（2）至（6）是針對每個單元進行的，稱為單元分析；（7）是針對整個結(jié)構(gòu)進行的稱為整體分析。10/20/2024對三角形i,j,m三個節(jié)點，位移函數(shù)應(yīng)當?shù)扔谠摴?jié)點的位移值，即：

三角形單元的位移模式對每個單元，只要求得單元中的位移函數(shù)，就可以應(yīng)用幾何方程求得應(yīng)變，再應(yīng)用物理方程求得應(yīng)力。有限單元法中常取節(jié)點位移為基本未知量，由單元的節(jié)點位移求出單元中的位移函數(shù)是首先必須解決的問題?？梢约俣ㄒ粋€位移模式，來表示單元中的位移函數(shù)（即在單元中做出位移插值函數(shù)）。三角形單元中，可以假定位移分量只是坐標的線性函數(shù)，即假定：6個方程解出α1-6，代入u，v式整理得：其中：10/20/2024三角形單元的位移模式Ni也可以寫成為：其中系數(shù)ai,bi,ci是：其中A就等于三角形ijm的面積：按照解析幾何學，在圖示的坐標系中，為了得出的面積A不致成為負值，節(jié)點i，j，m的次序必須是逆時針轉(zhuǎn)向的。

Ni，Nj，Nm這三個函數(shù)，表明了單元ijm的位移形態(tài)（也就是位移在單元內(nèi)的變化規(guī)律），因而稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù)。10/20/2024三角形單元的位移模式位移模式的表示式可用矩陣表示為：簡寫為：其中是單元的節(jié)點位移列陣。是形態(tài)函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣。有限單元法中，應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣和勁度矩陣的建立以及載荷的移置等，都依賴于位移模式。10/20/2024簡寫為：其中應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣B可寫成分塊形式：

其子矩陣為：單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣利用幾何方程和物理方程，求出單元中的應(yīng)變和應(yīng)力，用節(jié)點位移表示：將位移函數(shù)(16)和(18)代入幾何方程(6)，得出用節(jié)點位移表示單元應(yīng)變。10/20/2024將D表達式(9)和B表達式(27)代入上式，并寫成分塊形式，即得到平面應(yīng)力問題中的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣：單元的應(yīng)力列陣（續(xù)）再將單元的應(yīng)變式(26)代入物理方程(8)，得出用節(jié)點位移表示單元中應(yīng)力的表達式。

其中子矩陣為：簡寫為：其中，10/20/2024由式(26)引起的虛應(yīng)變?yōu)椋河捎诠?jié)點力在虛位移上的虛功應(yīng)當?shù)扔趹?yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，即：

單元的結(jié)點列陣與勁度矩陣對于任一單元，均假設(shè)所受的外力載荷已經(jīng)被移置到節(jié)點上，并且單元已經(jīng)切開，如右圖所示：單元只受到結(jié)點對單元的作用力，即結(jié)點力：假想在結(jié)點i,j,m處發(fā)生了虛位移，即：對單元而言，這些節(jié)點力是外力，使單元內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力。10/20/2024從而建立了單元節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系。對于三角形單元，B中的元素為常量。并且，因此，k可簡寫為：

k稱為單元的勁度矩陣。單元的結(jié)點列陣與勁度矩陣（續(xù)）由于中的元素是常量，并且虛位移的值可以是任意的：則將B和D表達式代入上式，得：令則式可以簡寫為10/20/2024載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣設(shè)單元ijm在坐標為（x，y）的任意一點M，在單位厚度上受有集中載荷fP，其坐標方向的分量為fPx

和fPy

，用矩陣表示為fP=（fPx

fPy

）T，將此集中力移置到單元的節(jié)點處，轉(zhuǎn)換為節(jié)點載荷，并且單元節(jié)點載荷列陣表示為：假想單元的各點發(fā)生了虛位移：由位移模式，相應(yīng)于集中力fP的作用點（x,y）的虛位移為：集中載荷的移置10/20/2024載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣（續(xù)）由于虛位移可以是任意的，所以：把N的表達式（25）代入上式，上式改寫為：其中，Ni,

Nj,

Nm，為它們在M點的函數(shù)值：根據(jù)靜力等效原則，節(jié)點載荷在節(jié)點虛位移上的虛功等于原載荷集中力在其作用點的虛位移上的虛功，即：10/20/2024載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣（續(xù)）例，設(shè)單元ijm的密度為ρ，試求自重的等效節(jié)點載荷。分析：因為fx=0，

fy=-ρg，故由式（43）得：由設(shè)上述單元受有分布的體力f=（fx

fy

）T，可將微分體積tdxdy上的體力ftdxdy當作集中力，利用（40）式積分，得到：體力的移置注意單元的自重為-ρgtA，可見移置到每個結(jié)點的載荷均為1/3自重。10/20/2024載荷向節(jié)點移置，單元的載荷列陣（續(xù)）設(shè)上述單元的某一邊上受有分布的面力

，可將微分面積tds上的面力當作集中載荷，利用（40）式積分，得到：面力的移置例，設(shè)在ij邊上受有沿x方向的均布面力q，試求等效節(jié)點載荷。分析：因為

，故由式（45）得：10/20/2024注意：式(46)和(48）中的編碼i,j,m僅是每個單元的局部編碼，對于整個結(jié)構(gòu)，則將節(jié)點的平衡方程按整體結(jié)點編碼1，2，…，n排列起來，就組成整個結(jié)構(gòu)的節(jié)點平衡方程組：

整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點平衡方程組因此，節(jié)點i的平衡方程是：以上幾節(jié)的分析都是針對單元進行的，即將單元上的外力載荷都向節(jié)點移置而成為節(jié)點載荷；另一方面求出節(jié)點載荷與單元之間的相互作用力，如圖所示。結(jié)點對單元的作用力是節(jié)點力，相反，單元對節(jié)點的作用力。于是，作用于節(jié)點i上的力，有節(jié)點載荷FLi

，和單元對節(jié)點的作用力。即：其中，是對環(huán)繞節(jié)點i的單元求和，寫成標量形式：

10/20/2024由整體平衡方程組，解出節(jié)點位移δ，便可由式(23)和(30)求出每個單元的位移函數(shù)、應(yīng)力和應(yīng)變。整體的結(jié)構(gòu)分析節(jié)點平衡方程組其中，整體節(jié)點位移列陣：整體節(jié)點載荷列陣：K是整體剛度矩陣，其元素是： 整個結(jié)構(gòu)的節(jié)點平衡方程組即整體勁度矩陣的元素,Krs就是按整體節(jié)點編碼的、同下標rs的單元勁度矩陣元素疊加而得到的。10/20/2024平面有限元解法（例）設(shè)有對角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對該結(jié)構(gòu)進行分析，建立單元剛度矩陣、整體剛度矩陣和整體節(jié)點載荷列陣，建立整體節(jié)點方程組，通過編程求解出節(jié)點的位移，并從而求出各單元的應(yīng)力。（為簡單起見，取板的厚度t=1,彈性常數(shù)E=1,泊松比μ＝0）10/20/2024平面有限元解法——劃分單元由于平面薄板沿xz面和yz面均對稱，所以只取1/4之一部分作為分析和計算對象。將對象劃分成4個單元，共有6個節(jié)點，單元和節(jié)點上均編上號碼，其中節(jié)點的整體編碼1至6，以及個單元的節(jié)點局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號ⅠⅡⅢⅣ局部編碼整體編碼i3526j1253m243510/20/2024平面有限元解法——整體勁度矩陣每個單元，節(jié)點的局部編碼和整體編碼對應(yīng)關(guān)系已經(jīng)確定，每個單元勁度矩陣中任一子矩陣在整體勁度矩陣中的位置及其力學意義也就明確了。如單元Ⅰ的kii，即k33，它的四個元素表示當結(jié)構(gòu)的節(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在節(jié)點3的x方向或y方向引起的節(jié)點力。暫時不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體節(jié)點平衡方程組列出：整體勁度矩陣寫成6×6的矩陣，它的每個子塊是2×2的矩陣，實際它是一個12×12的矩陣。如K23，它的四個元素表示當結(jié)構(gòu)的節(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在節(jié)點2的x方向或y方向引起的節(jié)點力。10/20/2024平