第1章三角形的證明（知識歸納題型突破）（原卷版）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊單元速記巧練（北師大版）（北師大版）

第1章三角形的證明（知識歸納+題型突破）1.經(jīng)歷回顧與思考的過程，深刻理解和掌握定理的探索和證明.2.結(jié)合具體實(shí)例感悟證明的思路和方法，能運(yùn)用綜合、分析的方法解決有關(guān)問題.3.能正確運(yùn)用尺規(guī)作圖的基本方法作已知線段的垂直平分線和角的平分線，以及繪制特殊三角形.一、等腰三角形1.三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）3.等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸.判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形.4.含30°的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)：等邊三角形是中考中常考的知識點(diǎn)，并且有關(guān)它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，比如邊長為a的等邊三角形它的高是，面積是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關(guān)系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時也為我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.2.命題與逆命題命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）.要點(diǎn)：①勾股定理的逆定理在語言敘述的時候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”.②直角三角形的全等判定方法，還有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5種判定方法.三、線段的垂直平分線1.線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.2.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線.要點(diǎn)：①注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距離最短問題.四、角平分線1.角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等；判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上.2.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.3.如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線要點(diǎn)：①注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理,注意二者的應(yīng)用范圍；②幾何語言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的方法.遇到角平分線時，要構(gòu)造全等三角形.目錄：題型一等腰三角形的定義題型二等腰三角形三線合一題型三等腰三角形的性質(zhì)與判定綜合題型四等邊三角形的性質(zhì)題型五等邊三角形的性質(zhì)與判定題型六30°直角三角形的性質(zhì)題型七HL題型八勾股定理的逆定理題型九垂直平分線的性質(zhì)題型十垂直平分線的性質(zhì)與判定題型十一角平分線的性質(zhì)題型十二角平分線的性質(zhì)與判定題型十三尺規(guī)作圖題型十四三角形的證明解答證明題綜合題型一等腰三角形的定義【例1】若等腰三角形的頂角為100°，則這個等腰三角形的一個底角的度數(shù)為（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．一個等腰三角形的一條邊長為5，一條邊長為6，請你計算這個三角形的周長是．2．等腰三角形的頂角是，則此等腰三角形的底角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．3．等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少，等腰三角形頂角的度數(shù)是（

）A．或或 B．或 C．或 D．4．已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C． D．或題型二等腰三角形三線合一【例2】如圖，已知，，若，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．鞏固訓(xùn)練：1．下列說法：①等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；②等腰三角形的兩腰上的中線長相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一邊長為，一邊長為，那么它的周長是或．其中不正確的（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④2．如圖，中，，，是邊上的中線，且，則的大小為（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，平分交于點(diǎn)E，若，，則的長為（

）題型三等腰三角形的性質(zhì)與判定綜合【例3】如圖，，D點(diǎn)在邊上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，和的平分線分別交于點(diǎn)F、G，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．如圖所示，在中，平分，平分，且，交于點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．題型四等邊三角形的性質(zhì)【例4】．如圖，是等邊三角形的中線，點(diǎn)E在上，，則等于（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，是等邊三角形的中線，，則的度數(shù)為．2．如圖，在中，D，E是的三等分點(diǎn)，且是等邊三角形，則．題型五等邊三角形的性質(zhì)與判定【例5】．如圖，等邊的兩條高和相交于點(diǎn)O，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰鈍角三角形2．如圖，在中，，過點(diǎn)作，在直線上取點(diǎn)，使得，連接，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．題型六30°直角三角形的性質(zhì)【例6】．如圖，在中，為直角，，于，若，則的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．2鞏固訓(xùn)練：1．如圖在中，，于點(diǎn)D，若，，則的長為（

）．A．4 B．4 C．8 D．162．如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)P，于Q．則與的關(guān)系為（）A． B． C． D．題型七HL【例7】．如圖，若要用“HL”證明，則還需補(bǔ)充條件（

）

A．B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在四邊形中，連接，且，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（

）A． B．C． D．2．如圖，在中，于R，于S，則三個結(jié)論①；②；③中（）A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅①正確 D．僅①和③正確題型八勾股定理的逆定理【例8】．一個三角形的三邊長分別為，，，則這個三角形最長邊上的高為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積是（）

A．4 B． C． D．2．如圖所示，，，，，，則（

）

A． B． C． D．題型九垂直平分線的性質(zhì)【例9】．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，，則（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm鞏固訓(xùn)練：1．如圖所示，在中，是的垂直平分線，的周長為，則的周長為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．已知的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．題型十垂直平分線的性質(zhì)與判定【例10】．如圖，，，則正確的結(jié)論是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．以上說法都正確鞏固訓(xùn)練：1．如圖，直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．小明說：“直線是的垂直平分線．”小亮說：“需再添加一個條件，小明的結(jié)論才正確．”下列判斷正確的是（

）

A．小明說的對B．小亮說的對，可添條件為“”C．小亮說的對，可添條件為“”D．兩人說的都不對2．如圖，在四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形的面積等于．其中正確的有（

）個

A．1 B．2 C．3 D．4題型十一角平分線的性質(zhì)【例11】．在中，，的平分線交于點(diǎn)，，，則到的距離是(

)

A．3 B．4 C．5 D．6鞏固訓(xùn)練：1．如圖，中，是的角平分線，，F(xiàn)是中點(diǎn)，連接，若，，，則的面積為（

）A． B．8 C．9 D．122．如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型十二角平分線的性質(zhì)與判定【例12】．如圖，，，，，則°．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，已知在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，于，，．（1）若，則；（2）已知，，則的長是．2．如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數(shù)是．題型十三尺規(guī)作圖【例13】．如圖，請仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作的三個步驟，要說明，只需要連接、，并證明即可，則這兩個三角形全等的依據(jù)是(

)

A．邊角邊 B．角邊角 C．角角邊 D．邊邊邊鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑兩弧分別交于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接并延長交于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個數(shù)是（

）

①是的平分線；②；③點(diǎn)D在的垂直平分線上；④．A．4 B．3 C．2 D．12．如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算（

）A． B． C． D．3．已知，用尺規(guī)作圖的方法在上取一點(diǎn)P，使，下列選項正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D；②連接，作直線，且與相交于點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）

A．是等邊三角形 B．C． D．題型十四三角形的證明解答證明題綜合【例14】．已知：如圖，于，于，若，；求證：平分．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在中，，求邊上的高．

2．如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)求的周長．3．如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點(diǎn)E，使．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作垂直于，垂足為F，若，求的周長．4．如圖，在中，，，，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在邊上勻速移動，它們的速度分別為，，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)