2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章選修系列選修4-5不等式選講教師文檔教案文北師大版

PAGE選修4－5不等式選講授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第204頁[基礎(chǔ)梳理]1．肯定值三角不等式(1)定理1：假如a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立；(2)定理2：假如a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．2．肯定值不等式的解集(1)含肯定值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}??|x|>a{x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．基本不等式定理1：假如a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．定理2：假如a，b>0，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當a＝b時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均．定理3：假如a，b，c全為正實數(shù)，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．4．柯西不等式設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等號當且僅當ad＝bc時成立．1．一組重要關(guān)系|a＋b|與|a|－|b|，|a－b|與|a|－|b|，|a|＋|b|之間的關(guān)系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，當且僅當a＞－b＞0時，等號成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，當且僅當|a|≥|b|且ab≥0時，左邊等號成立，當且僅當ab≤0時，右邊等號成立．2．兩個等價關(guān)系(1)|x|＜a?－a＜x＜a(a＞0)．(2)|x|＞a?x＜－a或x＞a(a＞0)．3．一個關(guān)鍵解肯定值不等式的關(guān)鍵是去掉肯定值符號．4．一個口訣解含肯定值的不等式的基本思路可概括為十二字口訣“找零點，分區(qū)間，逐個解，并起來．”[四基自測]1．(基礎(chǔ)點：解肯定值不等式)不等式|x－1|<1的解集為()A．(1，2) B．(0，2)C．(－1，1) D．(0，1)答案：B2．(基礎(chǔ)點：肯定值不等式的等價轉(zhuǎn)化)不等式|x＋1|>|x－1|的解集為________．答案：(0，＋∞)3．(基礎(chǔ)點：肯定值不等式的意義)若關(guān)于x的不等式|ax－2|＜3的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)＜x＜\f(1,3)))))，則a＝________．答案：－3授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第204頁考點一解肯定值不等式[例](2024·高考全國卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)當a＝1時，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)時，f(x)<0，求a的取值范圍．[解析](1)當a＝1時，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．當x＜1時，f(x)＝－2(x－1)2＜0；當x≥1時，f(x)≥0.所以，不等式f(x)＜0的解集為(－∞，1)．(2)因為f(a)＝0，所以a≥1.當a≥1，x∈(－∞，1)時，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0，所以，a的取值范圍是[1，＋∞)．[破題技法]含肯定值不等式的解法方法解讀適合題型公式法利用公式|x|<a?－a<x<a(a>0)和|x|>a?x>a或x<－a(a>0)干脆求解不等式|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)平方法利用不等式兩邊平方的技巧，去掉肯定值，需保證不等式兩邊同正或同負|f(x)|≥|g(x)|?f2(x)≥g2(x)零點分段法含有兩個或兩個以上肯定值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去肯定值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含肯定值符號的不等式(組)求解|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a圖像法在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖像，利用函數(shù)圖像求解或通過移項構(gòu)造一個函數(shù)如|f(x)|＋|g(x)|≥a可構(gòu)造y＝|f(x)|＋|g(x)|－a或y＝|f(x)|＋|g(x)|與y＝a幾何意義法|x－a|＋|x－b|>m(a>0，b>0，m>0)表示數(shù)軸上點x到a的距離與到b的距離之和大于m形如|x－a|±|x－b|>m的形式(2024·高考全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)?(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)當a＝1時，求不等式?(x)≥0的解集；(2)若?(x)≤1，求a的取值范圍．解析：(1)當a＝1時，?(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋4，x≤－1，,2，－1＜x≤2，,－2x＋6，x＞2.))可得?(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}．(2)?(x)≤1等價于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且當x＝2時等號成立．故?(x)≤1等價于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．考點二肯定值不等式的性質(zhì)[例](2024·大慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.(1)解不等式：f(x)>0；(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|對一切實數(shù)x均成立，求a的取值范圍．[解析](1)原不等式即為|2x－1|－|x＋4|>0，當x≤－4時，不等式化為1－2x＋x＋4>0，解得x<5，即不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－4,|2x－1|－|x＋4|>0))的解集是{x|x≤－4}．當－4<x<eq\f(1,2)時，不等式化為1－2x－x－4>0，解得x<－1，即不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4<x<\f(1,2),|2x－1|－|x＋4|>0))的解集是{x|－4<x<－1}．當x≥eq\f(1,2)時，不等式化為2x－1－x－4>0，解得x>5，即不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2),|2x－1|－|x＋4|>0))的解集是{x|x>5}．綜上，原不等式的解集為{x|x<－1或x>5}．(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9.∴由題意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，故所求a的取值范圍是{a|－8≤a≤10}．[破題技法]巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值(1)求|a|－|b|的范圍：若a±b為常數(shù)M，可利用||a|－|b||≤|a±b|?－|M|≤|a|－|b|≤|M|確定范圍．(2)求|a|＋|b|的最小值：若a±b為常數(shù)M，可利用|a|＋|b|≥|a±b|＝|M|，從而確定其最小值．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|.(1)若f(x)＋2x＞2，求實數(shù)x的取值范圍；(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋f(ax)(a＞1)，若g(x)的最小值為eq\f(1,2)，求a的值．解析：(1)f(x)＋2x＞2即|x＋1|＞2－2x?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋1＞2－2x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＜0,－x－1＞2－2x))?x＞eq\f(1,3)，∴實數(shù)x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).(2)∵a＞1，∴－1＜－eq\f(1,a)＜0，∴g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）x－2，x∈（－∞，－1），,（1－a）x，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,a)))，,（a＋1）x＋2，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，＋∞)).))易知函數(shù)g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,a)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝1－eq\f(1,a).∴1－eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2.考點三不等式的證明[例](2024·高考全國卷Ⅰ)已知a，b，c為正數(shù)，且滿意abc＝1.證明：(1)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.證明：(1)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝eq\f(ab＋bc＋ca,abc)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立．所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≤a2＋b2＋c2.(2)因為a，b，c為正數(shù)且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3eq\r(3,（a＋b）3（b＋c）3（c＋a）3)＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2eq\r(ab))×(2eq\r(bc))×(2eq\r(ca))＝24.當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[破題技法]證明不等式的方法與技巧(1)當已知與所求之間的關(guān)系較明顯，從已知或不等式性質(zhì)入手進行轉(zhuǎn)換，可得到所求時，利用綜合法．(2)假如已知條件與待證明的結(jié)論干脆聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；假如待證明的命題以“至少”“至多”等方式給出或為否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法．(3)在必要的狀況下，可能還須要運用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明．尤其是對含肯定值不等式的求解或證明，其簡化的基本思路是化去肯定值號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解．多以肯定值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略．肯定值三角不等式，則往往作為不等式放縮的依據(jù)．已知實數(shù)a，b，c滿意a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)證明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)證明：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)≤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).證明：(1)1＋a≥2eq\r(a)，1＋b≥2eq\r(b)，1＋c≥2eq\