專題22 矩形的性質(zhì)與判定（分層精練）（解析版）

專題22矩形的性質(zhì)與判定（分層精練）1．（2022?聊城）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）A．測量兩條對角線是否相等 B．度量兩個角是否是90° C．測量兩條對角線的交點(diǎn)到四個頂點(diǎn)的距離是否相等 D．測量兩組對邊是否分別相等【答案】C【解答】解：A、測量兩條對角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項A不符合題意；B、度量兩個角是否是90°，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項B不符合題意；C、測量對角線交點(diǎn)到四個頂點(diǎn)的距離是否都相等，可以判定是否為矩形，故選項C符合題意；D、測量兩組對邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：C．2．（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【答案】D【解答】解：A．∵?ABCD中，AB＝AD，∴?ABCD是菱形，故選項A不符合題意；B．∵?ABCD中，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項B不符合題意；C．?ABCD中，AB＝AC，不能判定?ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D．∵?ABCD中，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項D符合題意；故選：D．3．（2022?日照）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為（）A．27° B．53° C．57° D．63°【答案】D【解答】解：如圖，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故選：D．4．（2022?甘肅）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個矩形，只需添加的一個條件是．【答案】∠A＝90°（答案不唯一）【解答】解：需添加的一個條件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：∠A＝90°（答案不唯一）．5．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝．【答案】【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴點(diǎn)F為AO中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，∴EF為△AOD的中位線，∴EF＝OD＝BD＝．故答案為：．6．（2022?黔東南州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，則四邊形OCED的周長是．【答案】20【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四邊形OCED是菱形，∴菱形OCED的周長＝4OC＝4×5＝20，故答案為：20．7．（2022?十堰）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF，AG分別架在墻體的點(diǎn)B，C處，且AB＝AC，側(cè)面四邊形BDEC為矩形．若測得∠FBD＝55°，則∠A＝°．【答案】110【解答】解：∵四邊形BDEC為矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，故答案為：110．8．（2021?鞍山）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，DH⊥AC，垂足為點(diǎn)H，若∠ADH＝2∠CDH，則AD的長為．【答案】3【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，∵∠ADH＝2∠CDH，∴∠CDH＝30°，∠ADH＝60°，∵DH⊥AC，∴∠DHA＝90°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝3，故答案為：3．9．（2021?哈爾濱）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥OB，垂足為點(diǎn)F．若BC＝2AF，OD＝6，則BE的長為．【答案】3【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OE⊥BC，∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，又∵BC＝2AF，∵AF＝BE，在Rt△AFO和Rt△BEO中，，∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），∴∠AOF＝∠BOE，∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，∴∠BOE＝60°，∵OB＝OD＝6，∴BE＝OB?sin60°＝6×＝3，故答案為：3．10．（2021?徐州）如圖，四邊形ABCD與AEGF均為矩形，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周長為20cm，則圖中陰影部分的面積為cm2．【答案】24【解答】解：∵矩形AEGF的周長為20cm，∴AF+AE＝10cm，∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，∴陰影部分的面積＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），故答案為：24．11．（2021?賀州）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點(diǎn)，以CD為斜邊作Rt△GCD，GD＝GC，連接GE，GF．若BC＝2GC，則∠EGF＝．【答案】45°【解答】解：∵CD為斜邊作Rt△GCD，GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°，∴∠FDG＝∠FDC+∠CDG＝90°+45°＝135°，∵E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點(diǎn)，BC＝2GC，∴DF＝DG，CE＝CG，∴∠DGF＝∠DFG＝（180°﹣∠FDG）＝×45°＝22.5°，同理，可得∠CEG＝∠CGE＝（180°﹣∠ECG）＝，∴∠EGF＝∠DGC﹣∠DGF﹣∠EGC＝90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°．故答案為：45°．12．（2021?連云港）如圖，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果AB＝AE，求證：四邊形ACED是矩形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC．∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形．13．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點(diǎn)為E，過點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的長．【解答】（1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝90°，∵OF⊥BC，∴∠OFC＝90°，∴∠OFC＝∠C＝∠OEC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OF＝EC；（2）解：∵BD＝2，∴OE＝1，∵∠A＝30°，OE⊥AC，∴AO＝2OE＝2，∴AD＝AO﹣OD＝2﹣1＝1．14．（2022?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長BE與CD的延長線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵∠BDF＝90°．∴四邊形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四邊形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，∴S矩形ABDF＝DF?AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD?CD＝×4×3＝6，∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四邊形ABCF的面積S為18．15．（2021?長沙）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，AB＝4．（1）求證：?ABCD是矩形；（2）求AD的長．【解答】（1）證明：∵△AOB為等邊三角形，∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，∴BD＝AC，∴?ABCD是矩形；（2）解：∵?ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝AB＝4．16．（2020?北京）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四邊形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．17．（2019?云南）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB：∠ODC＝4：3，∴∠AOB：∠ABO＝4：3，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，∴∠ABO＝54°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．18．（2020?廣州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面積為48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴△AOD的面積為12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故選：C．19．（2019?安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為．【答案】【解答】解：連接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時，AD的值最小，此時，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值為；故答案為：．20．（2