專題01 特殊的平行四邊形中的最值模型-將軍飲馬模型（原卷版）

專題01特殊的平行四邊形中的最值模型-將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據(jù)是：兩點之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關于直線m的對稱點。例1．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為6，點在上，，點是對角線上的一個動點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．例2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．例3．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點在上，且，點分別為邊上的動點，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（

）

A．5 B． C． D．例4．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長為3，E為邊上的動點，連接，將繞點E順時針旋轉得到線段，連接，則的最小值是______．

變式1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）如圖所示，正方形的邊長為2，點為邊的中點，點在對角線上移動，則周長的最小值是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，，，E、F分別是邊AB、BC上的動點，且，M為EF中點，P是邊AD上的一個動點，則的最小值是______．變式3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點F和E．點G和H分別是和上的動點，，那么的最小值為______．

例2．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，則的最小值為______．例3．（2022·重慶中考模擬）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．變式1．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對角線，的長分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為______．變式2．（2022·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．變式3．（2023秋·河南南陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在邊長為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．模型3.修橋選址模型（將軍遛馬模型）【模型解讀】已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線m同側：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．例2．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，菱形的邊在軸上，頂點坐標為，頂點坐標為，點在軸上，線段軸，且點坐標為，若菱形沿軸左右運動，連接、，則運動過程中，四邊形周長的最小值是________．變式1．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．變式2．（2023·黑龍江牡丹江·?？寄M預測）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運動，且．連接，．則周長的最小值是______．變式3．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動點，且，則的最小值是________．

模型4.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內(nèi)側，一個點在外側：（3）兩個點都在內(nèi)側：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點A位于直線m,n的內(nèi)側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2022·江蘇連云港·?？既＃┤鐖D，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，公里，公里，現(xiàn)在要設立兩個車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．例2．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動線段，且，則的最小值為________．

變式1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點是上的動點，連接，過點作，過點作交于點，當取得最小值時，則四邊形的周長為______．

變式2．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5模型5.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

例2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．例2．（2022·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．變式1．（2023·湖北黃岡·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，，點E為的中點，點F在上，且，點G為直線上一動點，的最大值是___________．

變式2．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，四邊形中，，，，，，點為直線左側平面上一點，的面積為，則的最大值為______．課后專項訓練1．（2023春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，，，點P是菱形內(nèi)部一點，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．2．（2023春·福建廈門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．43．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．4．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．25．（2022·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．56．（2022·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（）A．2 B．4 C．2 D．47．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在對角線AC和邊AD上，連接DE，EF，若AC=4，BD=2，則DE，EF之和的最小值為______．8．（2022·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形EFGH，連接AH，CG．若，，，則的最小值為______．9．（2022·山東泰安·模擬預測）如圖，在菱形中，，，點，在上，且，連接，，則的最小值為________．9．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點P、點Q分別在邊上，且，連接和，則的最小值是_______．10．（2023春·江蘇淮安·八年級校考期中）如圖，矩形中，，矩形的對角線相交于點O，點E，F(xiàn)為邊上兩個動點，且，則的最小值為_________．11．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）如圖，己知長方體，是棱上任意一點，是側面對角線上一點，則的最小值是________．

12．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點E是線段上的一個動點，，且，則的最小值是___．13．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．14．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，，在邊上有一線段由B向C運動，點F到達點C后停止運動，E在F的左側，，連接，則周長的最小值為______．

15．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點、是邊上的動點，且，則四邊形周長的最小值為______．16.如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC,P為對角線BD上一點，則PM－PN的最大值為.17．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長為1的正方形中，E為邊上一動點（點E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點E的運動過程中，周長的最小值是______．

18．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，對角線，P是上任意一點，M是對角線上任意一點，則的最小值為___________________．

19．（2023春·黑龍江牡丹江·八年級校考期中）問題背景：（1）如圖（1），在公路的一側有，兩個工廠，，到公路的垂直距離分別為和，，之